Teoría categórica - Categorical theory

La "prueba de Vaught" vuelve a dirigir aquí. No debe confundirse con la prueba de Tarski-Vaught .
No confundir con la teoría de categorías .

En lógica matemática , una teoría es categórica si tiene exactamente un modelo ( hasta el isomorfismo ). Se puede considerar que una teoría de este tipo define su modelo y caracteriza de manera única su estructura.

En la lógica de primer orden , solo las teorías con un modelo finito pueden ser categóricas. La lógica de orden superior contiene teorías categóricas con un modelo infinito . Por ejemplo, los axiomas de Peano de segundo orden son categóricos y tienen un modelo único cuyo dominio es el conjunto de números naturales ℕ .

En la teoría de modelos , la noción de teoría categórica se refina con respecto a la cardinalidad . Una teoría es κ - categórica (o categórica en κ ) si tiene exactamente un modelo de cardinalidad κ hasta el isomorfismo. El teorema de categoricidad de Morley es un teorema de Michael D. Morley  ( 1965 ) que afirma que si una teoría de primer orden en un lenguaje contable es categórica en alguna cardinalidad incontable , entonces es categórica en todas las cardinalidades incontables.

Saharon Shelah  ( 1974 ) extendió el teorema de Morley a incontables idiomas: si el idioma tiene cardinalidad κ y una teoría es categórica en algún cardinal incontable mayor o igual que κ, entonces es categórica en todas las cardinalidades mayores que  κ .

Historia y motivación

Oswald Veblen en 1904 definió una teoría como categórica si todos sus modelos son isomorfos. De la definición anterior y del teorema de Löwenheim-Skolem se deduce que cualquier teoría de primer orden con un modelo de cardinalidad infinita no puede ser categórica. Uno es entonces inmediatamente conducido a la noción más sutil de categoría κ , que pregunta: ¿para qué cardinales κ hay exactamente un modelo de cardinalidad κ de la teoría dada T hasta el isomorfismo? Esta es una pregunta profunda y solo se logró un progreso significativo en 1954 cuando Jerzy Łoś notó que, al menos para las teorías completas T sobre lenguajes contables con al menos un modelo infinito, solo podía encontrar tres formas para que T fuera κ- categoría en algunos casos.  κ :

  • T es totalmente categórico , es decir , T es κ -categórico para todos los infinitos cardinales  κ .
  • T es incontablemente categórico , es decir , T es κ -categórico si y solo si κ es un cardinal incontable .
  • T es numerablemente categórico , es decir , T es κ -categórico si y solo si κ es un cardinal contable.

En otras palabras, observó que, en todos los casos en los que podía pensar, la categoría κ en cualquier cardinal incontable implicaba la categoría κ en todos los demás cardenales incontables. Esta observación estimuló una gran cantidad de investigación en la década de 1960, que finalmente culminó con el famoso resultado de Michael Morley de que estas son, de hecho, las únicas posibilidades. Posteriormente, Saharon Shelah amplió y perfeccionó la teoría en la década de 1970 y más allá, lo que llevó a la teoría de la estabilidad y al programa más general de teoría de clasificación de Shelah .

Ejemplos de

No hay muchos ejemplos naturales de teorías que sean categóricas en algún incontable cardinal. Los ejemplos conocidos incluyen:

  • Teoría de la identidad pura (sin funciones, constantes, predicados distintos de "=" o axiomas).
  • El ejemplo clásico es la teoría de campos algebraicamente cerrados de una característica dada . La categoricidad no dice que todos los campos algebraicamente cerrados de característica 0 tan grandes como los números complejos C sean iguales a C ; sólo se afirma que son isomorfos como campos a C . De ello se deduce que aunque los cierres p-ádicos completados C p son todos isomórficos como campos de C , pueden (y de hecho tienen) tener propiedades topológicas y analíticas completamente diferentes. La teoría de campos algebraicamente cerrados de característica dada no es categórica en ω (el infinito cardinal contable); existen modelos de trascendencia grado 0, 1, 2, ..., ω .
  • Espacios vectoriales sobre un campo contable determinado. Esto incluye grupos abelianos de exponente primo dado (esencialmente lo mismo que los espacios vectoriales sobre un campo finito) y grupos abelianos divisibles sin torsión (esencialmente lo mismo que los espacios vectoriales sobre los racionales ).
  • La teoría del conjunto de números naturales con función de sucesor.

También hay ejemplos de teorías que son categóricas en ω pero no categóricas en incontables cardinales. El ejemplo más simple es la teoría de una relación de equivalencia con exactamente dos clases de equivalencia , ambas infinitas. Otro ejemplo es la teoría de órdenes lineales densos sin puntos finales; Cantor demostró que cualquier orden lineal contable es isomorfo a los números racionales.

Propiedades

Toda teoría categórica está completa . Sin embargo, lo contrario no se sostiene.

Cualquier teoría T categórica en algún infinito cardinal κ está muy cerca de ser completa. Más precisamente, la prueba de Łoś – Vaught establece que si una teoría satisfactoria no tiene modelos finitos y es categórica en algún cardinal infinito κ al menos igual a la cardinalidad de su lenguaje, entonces la teoría está completa. La razón es que todos los modelos infinitos son equivalentes a algún modelo de cardinal κ según el teorema de Löwenheim-Skolem , por lo que todos son equivalentes ya que la teoría es categórica en κ . Por tanto, la teoría es completa ya que todos los modelos son equivalentes. Es necesaria la suposición de que la teoría no tiene modelos finitos.

Ver también

Notas

Referencias