Ángulo mágico - Magic angle

El ángulo mágico es un ángulo definido con precisión, cuyo valor es de aproximadamente 54,7356 °. El ángulo mágico es una raíz de un polinomio de Legendre de segundo orden , P ₂ (cos θ ) = 0 , por lo que cualquier interacción que dependa de este polinomio de Legendre de segundo orden desaparece en el ángulo mágico. Esta propiedad hace que el ángulo mágico sea de particular importancia en la espectroscopia de RMN de estado sólido con giro de ángulo mágico . En la resonancia magnética , las estructuras con colágeno ordenado , como tendones y ligamentos , orientadas en el ángulo mágico, pueden aparecer hiperintensas en algunas secuencias; esto se llama artefacto o efecto del ángulo mágico.

Definición matemática

Ángulo mágico

El ángulo mágico θ _m es

${\ Displaystyle \ theta _ {\ mathrm {m}} = \ arccos {\ frac {1} {\ sqrt {3}}} = \ arctan {\ sqrt {2}} \ approx 0.955 \, 32 \ {\ text {rad}} \ approx 54.7 ^ {\ circ} \ !,}$

donde arccos y arctan son las funciones coseno inversa y tangente respectivamente. OEIS :  A195696

θ _m es el ángulo entre la diagonal espacial de un cubo y cualquiera de sus tres bordes de conexión, ver imagen.

Otra representación del ángulo mágico es la mitad del ángulo de apertura que se forma cuando se gira un cubo desde su eje diagonal espacial, que puede representarse como arcos - 1 / 3 o 2 arctan  √ 2 radianes ≈ 109,4712 °. Este doble ángulo mágico está directamente relacionado con la geometría molecular tetraédrica y es el ángulo entre dos vértices y el centro exacto de un tetraedro ( es decir , el ángulo central del borde también conocido como ángulo tetraédrico).

Ángulo mágico y resonancia magnética nuclear

Efecto de ángulo mágico visto en la resonancia magnética del hombro

En la espectroscopia de resonancia magnética nuclear (RMN), tres interacciones magnéticas nucleares prominentes, el acoplamiento dipolar , la anisotropía de desplazamiento químico (CSA) y el acoplamiento cuadrupolar de primer orden , dependen de la orientación del tensor de interacción con el campo magnético externo.

Al girar la muestra alrededor de un eje dado, su dependencia angular promedio se convierte en:

${\ Displaystyle \ left \ langle 3 \ cos ^ {2} \ theta -1 \ right \ rangle = \ left (3 \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {r}} -1 \ right) \ left (3 \ cos ^ {2} \ beta -1 \ right) \ !,}$

donde θ es el ángulo entre el eje principal de la interacción y el campo magnético, θ _r es el ángulo del eje de rotación en relación con el campo magnético y β es el ángulo (arbitrario) entre el eje de rotación y el eje principal del Interacción.

Para acoplamientos dipolares, el eje principal corresponde al vector internuclear entre los espines acoplados; para el CSA, corresponde a la dirección con el mayor deshielding; para el acoplamiento cuadrupolar, corresponde al eje z del tensor de gradiente de campo eléctrico.

El ángulo β no se puede manipular, ya que depende de la orientación de la interacción con respecto al marco molecular y de la orientación de la molécula con respecto al campo externo. El ángulo θ _r , sin embargo, puede ser decidido por el experimentador. Si se establece θ _r  =  θ _m ≈ 54,7 °, entonces la dependencia angular promedio llega a cero. El giro del ángulo mágico es una técnica en espectroscopia de RMN de estado sólido que emplea este principio para eliminar o reducir la influencia de interacciones anisotrópicas, aumentando así la resolución espectral.

Para una interacción independiente del tiempo, es decir, acoplamientos dipolares heteronucleares, CSA y acoplamientos cuadrupolares de primer orden, el componente anisotrópico se reduce en gran medida y casi se suprime en el límite del giro rápido, es decir, cuando la frecuencia de giro es mayor que el ancho de la interacción.

El promedio es sólo cercano a cero en un tratamiento de teoría de perturbaciones de primer orden ; Los términos de orden superior hacen que aparezcan frecuencias permitidas en múltiplos de la frecuencia de giro, creando bandas laterales giratorias en los espectros.

Las interacciones dependientes del tiempo, como los acoplamientos dipolares homonucleares, son más difíciles de promediar a sus valores isotrópicos mediante el giro del ángulo mágico; una red de espines fuertemente acoplados producirá una mezcla de estados de espín durante el curso de la rotación de la muestra, interfiriendo con el proceso de promediado.

Aplicación a las imágenes médicas: el artefacto del ángulo mágico

El artefacto del ángulo mágico se refiere al aumento de la señal que se observa cuando las secuencias de resonancia magnética con un tiempo de eco corto (TE) (p. Ej., T ₁ o secuencias de espín-eco de densidad protónica) se utilizan para obtener imágenes de tejidos con fibras de colágeno bien ordenadas en una dirección (p. Ej., tendón o cartílago hialino articular). Este artefacto ocurre cuando el ángulo que forman tales fibras con el campo magnético es igual a θ _m .

Ejemplo: este artefacto entra en juego al evaluar los tendones del manguito rotador del hombro. El efecto de ángulo mágico puede crear la apariencia de tendinitis del supraespinoso .

Caucho reforzado

Para lograr una carga óptima en una manguera de goma recta, las fibras deben colocarse en un ángulo de aproximadamente 54,7 grados angulares, también conocido como ángulo mágico. El ángulo mágico de 54,7 equilibra exactamente la tensión longitudinal inducida por la presión interna y la tensión del aro (circunferencial).

Referencias