Rigidez local - Local rigidity

Los teoremas de rigidez local en la teoría de subgrupos discretos de grupos de Lie son resultados que muestran que las pequeñas deformaciones de ciertos subgrupos de este tipo son siempre triviales. Es diferente de la rigidez de Mostow y más débil (pero se mantiene con más frecuencia) que la superrigidez .

Historia

El primer teorema de este tipo fue probado por Atle Selberg para subgrupos discretos co-compactos de los grupos unimodulares . Poco después, Eugenio Calabi probó una afirmación similar en el marco de grupos fundamentales de variedades hiperbólicas compactas. Finalmente, André Weil extendió el teorema a todos los subgrupos co-compactos de grupos de Lie semisimplejos . Howard Garland y Madabusi Santanam Raghunathan hicieron más tarde la extensión a celosías no compactas . El resultado ahora se conoce como rigidez Calabi-Weil (o simplemente Weil). ${\ Displaystyle \ mathrm {SL} _ {n} (\ mathbb {R})}$

Declaración

Deformaciones de subgrupos

Sea un grupo generado por un número finito de elementos y un grupo de Lie. Entonces el mapa definido por es inyectivo y este dota de una topología inducida por el de . Si es un subgrupo de, entonces una deformación de es cualquier elemento de . Se dice que dos representaciones se conjugan si existe tal que para todos . Véase también variedad de personajes . ${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle g_ {1}, \ ldots, g_ {n}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} (\ Gamma, G) \ to G ^ {n}}$${\ Displaystyle \ rho \ mapsto (\ rho (g_ {1}), \ ldots, \ rho (g_ {n}))}$${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} (\ Gamma, G)}$${\ Displaystyle G ^ {n}}$${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} (\ Gamma, G)}$${\ Displaystyle \ phi, \ psi}$${\ Displaystyle g \ in G}$${\ Displaystyle \ phi (\ gamma) = g \ psi (\ gamma) g ^ {- 1}}$${\ Displaystyle \ gamma \ in \ Gamma}$

Celosías en grupos simples que no sean de tipo A1 o A1 × A1

El enunciado más simple es cuando es un enrejado en un grupo de Lie simple y este último no es localmente isomórfico a o y (esto significa que su álgebra de Lie no es la de uno de estos dos grupos). ${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {C})}$${\ Displaystyle \ Gamma}$

Existe una vecindad en la inclusión tal que cualquiera se conjuga .${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} (\ Gamma, G)}$${\ Displaystyle i: \ Gamma \ subconjunto G}$${\ Displaystyle \ phi \ in U}$${\ Displaystyle i}$

Siempre que tal afirmación sea válida para un par , diremos que se mantiene la rigidez local. ${\ Displaystyle G \ supset \ Gamma}$

Celosías en ${\ Displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {C})}$

La rigidez local se mantiene para celosías compactas en . Una celosía en la que no es cocompacta tiene deformaciones no triviales provenientes de la teoría de la cirugía de Dehn hiperbólica de Thurston . Sin embargo, si se agrega la restricción de que una representación debe enviar elementos parabólicos a elementos parabólicos, entonces se mantiene la rigidez local. ${\ Displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {C})}$${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {C})}$${\ Displaystyle \ Gamma}$

Celosías en ${\ Displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R})}$

En este caso, la rigidez local nunca se mantiene. Para las celosías cocompactas, una pequeña deformación sigue siendo una celosía cocompacta, pero puede que no esté conjugada con la original (ver espacio de Teichmüller para más detalles). Las celosías no compactas son prácticamente libres y, por lo tanto, tienen deformaciones sin celosía.

Grupos de Semisimple Lie

La rigidez local se mantiene para las celosías en grupos de Lie semisimple siempre que estos últimos no tengan un factor de tipo A1 (es decir, localmente isomórfico a o ) o que el primero sea irreducible. ${\ Displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {C})}$

Otros resultados

También hay resultados de rigidez local donde se cambia el grupo ambiental, incluso en el caso de que falle la superrigidez. Por ejemplo, si es una celosía en el grupo unitario y entonces la inclusión es localmente rígida. ${\ Displaystyle \ Gamma}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {SU} (n, 1)}$${\ Displaystyle n \ geq 2}$${\ Displaystyle \ Gamma \ subconjunto \ mathrm {SU} (n, 1) \ subconjunto \ mathrm {SU} (n + 1,1)}$

Una red uniforme en cualquier grupo topológico generado de forma compacta es topológicamente localmente rígida , en el sentido de que cualquier deformación suficientemente pequeña de la inclusión es inyectiva y es una red uniforme en . Un retículo uniforme irreducible en el grupo de isometría de cualquier espacio geodésicamente completo apropiado que no sea isométrico al plano hiperbólico y sin factores euclidianos es localmente rígido. ${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle i: \ Gamma \ subconjunto G}$${\ Displaystyle \ varphi (\ Gamma)}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mathrm {CAT} (0)}$

Pruebas del teorema

La prueba original de Weil consiste en relacionar las deformaciones de un subgrupo en el primer grupo de cohomología de con coeficientes en el álgebra de Lie de , y luego mostrar que esta cohomología se desvanece para las celosías cocompactas cuando no tiene un factor simple de tipo absoluto A1. Una demostración más geométrica que también funciona en los casos no compactos utiliza la teoría de estructuras de Charles Ehresmann (y William Thurston ) . ${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle (G, X)}$

Referencias