Límite inferior y límite superior - Limit inferior and limit superior

En matemáticas , el límite inferior y el límite superior de una secuencia se pueden considerar como límites limitantes (es decir, eventuales y extremos) de la secuencia. Pueden pensarse de manera similar para una función (ver límite de una función ). Para un conjunto, son el mínimo y el superior de los puntos límite del conjunto , respectivamente. En general, cuando hay múltiples objetos alrededor de los cuales se acumula una secuencia, función o conjunto, los límites inferior y superior extraen el más pequeño y el más grande de ellos; el tipo de objeto y la medida del tamaño dependen del contexto, pero la noción de límites extremos es invariante. Límite inferior también se denomina límite infimum , límite infimum , liminf , límite inferior , límite inferior , o límite interior ; límite superior, es también conocido como límite extremo superior , límite supremo , limsup , límite superior de , límite superior o límite exterior .

Una ilustración de límite superior y límite inferior. La secuencia x _n se muestra en azul. Las dos curvas rojas se acercan al límite superior y al límite inferior de x _n , que se muestran como líneas negras discontinuas. En este caso, la secuencia se acumula alrededor de los dos límites. El límite superior es el mayor de los dos y el límite inferior es el menor de los dos. Los límites inferior y superior concuerdan si y solo si la secuencia es convergente (es decir, cuando hay un solo límite).

El límite inferior de una secuencia se denota por ${\ Displaystyle x_ {n}}$

$${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n} \ quad {\ text {o}} \ quad \ varliminf _ {n \ to \ infty} x_ {n}.}$$

${\ Displaystyle x_ {n}}$

$${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n} \ quad {\ text {o}} \ quad \ varlimsup _ {n \ to \ infty} x_ {n}.}$$

Definición de secuencias

los límite inferior de una secuencia (x _n ) se define por

$${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n}: = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ Big (} \ inf _ {m \ geq n} x_ {m} {\ Big )}}$$

$${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n}: = \ sup _ {n \ geq 0} \, \ inf _ {m \ geq n} x_ {m} = \ sup \ {\, \ inf \ {\, x_ {m}: m \ geq n \, \}: n \ geq 0 \, \}.}$$

Del mismo modo, el límite superior de (x _n ) se define por

$${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n}: = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ Big (} \ sup _ {m \ geq n} x_ {m} {\ Big )}}$$

$${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n}: = \ inf _ {n \ geq 0} \, \ sup _ {m \ geq n} x_ {m} = \ inf \ {\, \ sup \ {\, x_ {m}: m \ geq n \, \}: n \ geq 0 \, \}.}$$

Alternativamente, a veces se utilizan las notaciones y . ${\ Displaystyle \ varliminf _ {n \ to \ infty} x_ {n}: = \ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n}}$${\ Displaystyle \ varlimsup _ {n \ to \ infty} x_ {n}: = \ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n}}$

Los límites superior e inferior se pueden definir de manera equivalente utilizando el concepto de límites subsecuentes de la secuencia . Un elemento de los números reales extendidos es un límite subsecuente de si existe una secuencia estrictamente creciente de números naturales tal que . Si es el conjunto de todos los límites subsecuentes de , entonces ${\ Displaystyle (x_ {n})}$${\ Displaystyle \ xi}$${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$${\ Displaystyle (x_ {n})}$${\ Displaystyle (n_ {k})}$${\ Displaystyle \ xi = \ lim _ {k \ to \ infty} x_ {n_ {k}}}$${\ Displaystyle E \ subseteq {\ overline {\ mathbb {R}}}}$${\ Displaystyle (x_ {n})}$

${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n} = \ sup E}$

y

${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n} = \ inf E.}$

Si los términos de la secuencia son números reales, el límite superior y el límite inferior siempre existen, ya que los números reales junto con ± ∞ (es decir, la recta numérica real extendida ) están completos . De manera más general, estas definiciones tienen sentido en cualquier conjunto parcialmente ordenado , siempre que existan el suprema y el infima , como en una red completa .

Siempre que exista el límite ordinario, el límite inferior y el límite superior le serán iguales; por lo tanto, cada uno puede considerarse una generalización del límite ordinario que es principalmente interesante en los casos en que el límite no existe. Siempre que lim inf x _n y lim sup x _n existan, tenemos

${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n} \ leq \ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n}.}$

Los límites inferior / superior están relacionados con la notación O grande en el sentido de que unen una secuencia sólo "en el límite"; la secuencia puede exceder el límite. Sin embargo, con la notación de O grande, la secuencia solo puede exceder el límite en un prefijo finito de la secuencia, mientras que el límite superior de una secuencia como e ^{- n} puede ser menor que todos los elementos de la secuencia. La única promesa hecha es que alguna cola de la secuencia puede estar limitada por encima del límite superior más una constante positiva arbitrariamente pequeña, y limitada por debajo por el límite inferior menos una constante positiva arbitrariamente pequeña.

El límite superior y el límite inferior de una secuencia son un caso especial de los de una función (ver más abajo).

El caso de las secuencias de números reales

En el análisis matemático , el límite superior y el límite inferior son herramientas importantes para estudiar secuencias de números reales . Dado que el supremum y el infimum de un conjunto ilimitado de números reales pueden no existir (los reales no son un retículo completo), es conveniente considerar secuencias en el sistema de números reales afinamente extendido : agregamos los infinitos positivos y negativos a la línea real. para dar el conjunto completo totalmente ordenado [−∞, ∞], que es un retículo completo.

Interpretación

Considere una secuencia que consta de números reales. Suponga que el límite superior y el límite inferior son números reales (por lo tanto, no infinitos). ${\ Displaystyle (x_ {n})}$

• El límite superior de es el menor número real tal que, para cualquier número real positivo , existe un número natural tal que para todos . En otras palabras, cualquier número mayor que el límite superior es un eventual límite superior de la secuencia. Solo un número finito de elementos de la secuencia son mayores que .${\ Displaystyle x_ {n}}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle \ varepsilon}$ ${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle x_ {n} <b + \ varepsilon}$${\ Displaystyle n> N}$${\ Displaystyle b + \ varepsilon}$
• El límite inferior de es el mayor número real tal que, para cualquier número real positivo , existe un número natural tal que para todos . En otras palabras, cualquier número por debajo del límite inferior es un eventual límite inferior para la secuencia. Solo un número finito de elementos de la secuencia son menores que .${\ Displaystyle x_ {n}}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle \ varepsilon}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle x_ {n}> b- \ varepsilon}$${\ Displaystyle n> N}$${\ Displaystyle b- \ varepsilon}$

Propiedades

En caso de que la secuencia esté limitada, para casi todos los miembros de la secuencia se encuentran en el intervalo abierto${\ Displaystyle \ epsilon> 0}$${\ Displaystyle (\ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n} - \ epsilon, \ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n} + \ epsilon).}$

La relación de límite inferior y límite superior para secuencias de números reales es la siguiente:

$${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} \ left (-x_ {n} \ right) = - \ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n}}$$

Como se mencionó anteriormente, es conveniente extender a Then, en converge si y solo si${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle [- \ infty, \ infty].}$${\ Displaystyle \ left (x_ {n} \ right)}$${\ Displaystyle [- \ infty, \ infty]}$

$${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n} = \ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n}}$$

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {R},}$

${\ Displaystyle - \ infty}$

${\ Displaystyle \ infty}$

$${\ displaystyle {\ begin {alignedat} {4} \ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n} & = \ infty && \; \; {\ text {implica}} \; \; \ lim _ { n \ to \ infty} x_ {n} = \ infty, \\ [0.3ex] \ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n} & = - \ infty && \; \; {\ text {implica} } \; \; \ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n} = - \ infty. \ end {alineado}}}$$

Si y , entonces el intervalo no necesita contener ninguno de los números, pero cada leve aumento para arbitrariamente pequeño contendrá para todos, pero para un número finito de índices. De hecho, el intervalo es el intervalo cerrado más pequeño con esta propiedad. Podemos formalizar esta propiedad así: existen subsecuencias y de (donde y son monótonas) para las que tenemos${\ Displaystyle I = \ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n}}$${\ Displaystyle S = \ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n}}$${\ Displaystyle [I, S]}$${\ Displaystyle x_ {n},}$${\ Displaystyle [I- \ epsilon, S + \ epsilon],}$${\ Displaystyle \ epsilon> 0,}$${\ Displaystyle x_ {n}}$${\ Displaystyle n.}$${\ Displaystyle [I, S]}$ ${\ Displaystyle x_ {k_ {n}}}$${\ Displaystyle x_ {h_ {n}}}$${\ Displaystyle x_ {n}}$${\ Displaystyle k_ {n}}$${\ Displaystyle h_ {n}}$

$${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n} + \ epsilon> x_ {h_ {n}} \; \; \; \; \; \; \; \; \; x_ {k_ { n}}> \ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n} - \ epsilon}$$

Por otro lado, existe un para que para todos${\ Displaystyle n_ {0} \ in \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle n \ geq n_ {0}}$

$${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n} - \ epsilon <x_ {n} <\ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n} + \ epsilon}$$

Recapitular:

• Si es mayor que el límite superior, hay como mucho finitamente muchos mayores que si es menor, hay infinitos.${\ Displaystyle \ Lambda}$${\ Displaystyle x_ {n}}$${\ Displaystyle \ Lambda;}$
• Si es menor que el límite inferior, hay como mucho finitamente muchos menos que si es mayor, hay infinitos.${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle x_ {n}}$${\ Displaystyle \ lambda;}$

En general,

$${\ Displaystyle \ inf _ {n} x_ {n} \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n} \ leq \ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n} \ leq \ sup _ {n} x_ {n}.}$$

El liminf y limsup de una secuencia son, respectivamente, los puntos más pequeños y más grandes del grupo . En algunos lugares del mundo, limsup se usa como nombre para grupos de estudio, por ejemplo: 'The Limsup', en particular, un grupo muy famoso consiste en un miembro conocido como 'Lil squeezing lemma' (ver el lema sándwich para más ).

• Para dos secuencias cualesquiera de números reales, el límite superior satisface la subaditividad siempre que se define el lado derecho de la desigualdad (es decir, no o ):${\ Displaystyle \ left \ {a_ {n} \ right \}, \ left \ {b_ {n} \ right \},}$${\ Displaystyle \ infty - \ infty}$${\ Displaystyle - \ infty + \ infty}$
  $${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} \ left (a_ {n} + b_ {n} \ right) \ leq \ limsup _ {n \ to \ infty} \ left (a_ {n} \ right) + \ limsup _ {n \ to \ infty} \ left (b_ {n} \ right).}$$

  

De manera análoga, el límite inferior satisface la superaditividad :

$${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} \ left (a_ {n} + b_ {n} \ right) \ geq \ liminf _ {n \ to \ infty} \ left (a_ {n} \ right) + \ liminf _ {n \ to \ infty} \ left (b_ {n} \ right).}$$

En el caso particular de que una de las secuencias realmente converja, digamos que las desigualdades anteriores se convierten en iguales (con o siendo reemplazadas por ). ${\ Displaystyle a_ {n} \ to a,}$${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} a_ {n}}$${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} a_ {n}}$${\ Displaystyle a}$

• Para dos secuencias cualesquiera de números reales no negativos, las desigualdades${\ Displaystyle \ left \ {a_ {n} \ right \}, \ left \ {b_ {n} \ right \},}$
  $${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} (a_ {n} b_ {n}) \ leq \ left (\ limsup _ {n \ to \ infty} a_ {n} \ right) \ left (\ limsup _ {n \ to \ infty} b_ {n} \ right)}$$

  
  y
  $${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} (a_ {n} b_ {n}) \ geq \ left (\ liminf _ {n \ to \ infty} a_ {n} \ right) \ left (\ liminf _ {n \ to \ infty} b_ {n} \ right)}$$

  

mantener siempre que el lado derecho no sea de la forma ${\ Displaystyle 0 \ cdot \ infty.}$

Si existe (incluido el caso ) y luego siempre que no sea de la forma${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = A}$${\ Displaystyle A = + \ infty}$${\ Displaystyle B = \ limsup _ {n \ to \ infty} b_ {n},}$${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} \ left (a_ {n} b_ {n} \ right) = AB}$${\ Displaystyle AB}$${\ Displaystyle 0 \ cdot \ infty.}$

Ejemplos de

• Como ejemplo, considere la secuencia dada por la función sin : Usando el hecho de que pi es irracional , se sigue que${\ Displaystyle x_ {n} = \ sin (n).}$
  $${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} x_ {n} = - 1}$$

  
  y
  $${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} x_ {n} = + 1.}$$

  
  (Esto se debe a que la secuencia se equidistribuye mod 2π , una consecuencia del teorema de equidistribución ).${\ Displaystyle \ {1,2,3, \ ldots \}}$

• Un ejemplo de la teoría de números es
  $${\ Displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} (p_ {n + 1} -p_ {n}),}$$

  
  donde es el -ésimo número primo .${\ Displaystyle p_ {n}}$${\ Displaystyle n}$

Se conjetura que el valor de este límite inferior es 2 - esta es la conjetura de los primos gemelos - pero a abril de 2014 solo se ha demostrado que es menor o igual a 246. El límite superior correspondiente es , porque hay espacios arbitrarios entre primos . ${\ Displaystyle + \ infty}$

Funciones de valor real

Suponga que una función se define a partir de un subconjunto de números reales a números reales. Como en el caso de las secuencias, el límite inferior y el límite superior están siempre bien definidos si permitimos los valores + ∞ y -∞; de hecho, si ambos están de acuerdo, entonces el límite existe y es igual a su valor común (nuevamente posiblemente incluyendo los infinitos). Por ejemplo, dado f ( x ) = sin (1 / x ), tenemos lim sup _{x → 0} f ( x ) = 1 y lim inf _{x → 0} f ( x ) = -1. La diferencia entre los dos es una medida aproximada de cuán "salvajemente" oscila la función, y en la observación de este hecho, se llama oscilación de f en 0 . Esta idea de oscilación es suficiente para, por ejemplo, caracterizar las funciones integrables de Riemann como continuas excepto en un conjunto de medida cero . Tenga en cuenta que los puntos de oscilación distintos de cero (es decir, puntos en los que f se " comporta mal ") son discontinuidades que, a menos que formen un conjunto de cero, se limitan a un conjunto insignificante.

Funciones desde espacios métricos hasta celosías completas

Existe una noción de lim sup y lim inf para funciones definidas en un espacio métrico cuya relación con los límites de funciones con valores reales refleja la de la relación entre lim sup, lim inf y el límite de una secuencia real. Tome un espacio métrico X , un subespacio E contenida en X , y una función f  :  E  →  R . Defina, para cualquier punto límite a de E ,

${\ Displaystyle \ limsup _ {x \ to a} f (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} (\ sup \ {f (x): x \ in E \ cap B (a; \ varepsilon) \ setminus \ {a \} \})}$

y

${\ Displaystyle \ liminf _ {x \ to a} f (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} (\ inf \ {f (x): x \ in E \ cap B (a; \ varepsilon) \ setminus \ {a \} \})}$

donde B ( a ; ε) denota la bola métrica de radio ε alrededor de a .

Tenga en cuenta que a medida que ε se contrae, el supremo de la función sobre la pelota es monótona decreciente, por lo que tenemos

${\ Displaystyle \ limsup _ {x \ to a} f (x) = \ inf _ {\ varepsilon> 0} (\ sup \ {f (x): x \ in E \ cap B (a; \ varepsilon) \ setminus \ {a \} \})}$

y de manera similar

${\ Displaystyle \ liminf _ {x \ to a} f (x) = \ sup _ {\ varepsilon> 0} (\ inf \ {f (x): x \ in E \ cap B (a; \ varepsilon) \ setminus \ {a \} \}).}$

Esto finalmente motiva las definiciones de espacios topológicos generales. Tome X , E y a como antes, pero ahora deje que X sea ​​un espacio topológico. En este caso, reemplazamos bolas métricas con barrios:

${\ Displaystyle \ limsup _ {x \ to a} f (x) = \ inf \ {\ sup \ {f (x): x \ in E \ cap U \ setminus \ {a \} \}: U \ \ mathrm {abierto}, a \ in U, E \ cap U \ setminus \ {a \} \ neq \ emptyset \}}$

${\ Displaystyle \ liminf _ {x \ to a} f (x) = \ sup \ {\ inf \ {f (x): x \ in E \ cap U \ setminus \ {a \} \}: U \ \ mathrm {abierto}, a \ in U, E \ cap U \ setminus \ {a \} \ neq \ emptyset \}}$

(hay una manera de escribir la fórmula usando "lim" usando redes y el filtro de vecindad). Esta versión suele ser útil en las discusiones sobre la semicontinuidad que surgen en los análisis con bastante frecuencia. Una nota interesante es que esta versión subsume la versión secuencial al considerar secuencias como funciones de los números naturales como un subespacio topológico de la línea real extendida, en el espacio (el cierre de N en [−∞, ∞], el número real extendido línea , es  N  ∪ {∞}.)

Secuencias de conjuntos

El conjunto de potencias ℘ ( X ) de un conjunto X es una red completa que está ordenada por inclusión de conjuntos , por lo que siempre existen el supremo y el mínimo de cualquier conjunto de subconjuntos (en términos de inclusión de conjuntos). En particular, cada subconjunto Y de X está acotado superiormente por X y por abajo por el conjunto vacío ∅ porque ∅ ⊆ Y ⊆ X . Por tanto, es posible (ya veces útil) considerar límites superiores e inferiores de secuencias en ℘ ( X ) (es decir, secuencias de subconjuntos de X ).

Hay dos formas comunes de definir el límite de secuencias de conjuntos. En ambos casos:

• La secuencia se acumula alrededor de conjuntos de puntos en lugar de puntos individuales en sí mismos. Es decir, debido a que cada elemento de la secuencia es en sí mismo un conjunto, existen conjuntos de acumulación que de alguna manera están cerca de un número infinito de elementos de la secuencia.
• El límite superior / superior / externo es un conjunto que une estos conjuntos de acumulación. Es decir, es la unión de todos los conjuntos de acumulación. Al ordenar por inclusión de conjuntos, el límite superior es el límite superior mínimo en el conjunto de puntos de acumulación porque contiene a cada uno de ellos. Por tanto, es el supremo de los puntos límite.
• El / límite inferior / interior ínfimo es un conjunto donde todos estos conjuntos de acumulación se reúnen . Es decir, es la intersección de todos los conjuntos de acumulación. Al ordenar por inclusión de conjuntos, el límite mínimo es el límite inferior más grande en el conjunto de puntos de acumulación porque está contenido en cada uno de ellos. Por tanto, es el mínimo de los puntos límite.
• Debido a que el orden es por inclusión de conjuntos, entonces el límite externo siempre contendrá el límite interno (es decir, lim inf  X _n ⊆ lim sup  X _n ). Por tanto, al considerar la convergencia de una secuencia de conjuntos, generalmente basta con considerar la convergencia del límite exterior de esa secuencia.

La diferencia entre las dos definiciones implica cómo se define la topología (es decir, cómo cuantificar la separación). De hecho, la segunda definición es idéntica a la primera, cuando la métrica discreta se utiliza para inducir la topología en X .

Convergencia del conjunto general

En este caso, una secuencia de conjuntos se acerca a un conjunto límite cuando los elementos de cada miembro de la secuencia se acercan a los elementos del conjunto límite. En particular, si es una secuencia de subconjuntos de entonces: ${\ Displaystyle \ left \ {X_ {n} \ right \}}$${\ Displaystyle X,}$

• ${\ Displaystyle \ limsup X_ {n},}$que también se llama el límite exterior , se compone de aquellos elementos que son límites de puntos en tomado de (numerable) infinitamente muchos Es decir, si y sólo si existe una secuencia de puntos y una subsecuencia de tal manera que y${\ Displaystyle X_ {n}}$${\ Displaystyle n.}$${\ Displaystyle x \ in \ limsup X_ {n}}$${\ Displaystyle \ left \ {x_ {k} \ right \}}$ ${\ Displaystyle \ left \ {X_ {n_ {k}} \ right \}}$${\ Displaystyle \ left \ {X_ {n} \ right \}}$${\ Displaystyle x_ {k} \ in X_ {n_ {k}}}$${\ Displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} x_ {k} \ to x.}$
• ${\ Displaystyle \ liminf X_ {n},}$que también se llama el límite interno , consiste en aquellos elementos que son límites de puntos en para todos menos para un número finito (es decir, cofinitivamente muchos ). Es decir, si y solo si existe una secuencia de puntos tal que y${\ Displaystyle X_ {n}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle x \ in \ liminf X_ {n}}$${\ Displaystyle \ left \ {x_ {k} \ right \}}$${\ Displaystyle x_ {k} \ in X_ {k}}$${\ Displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} x_ {k} \ to x.}$

El límite existe si y solo si está de acuerdo, en cuyo caso${\ Displaystyle \ lim X_ {n}}$${\ Displaystyle \, \ liminf X_ {n} {\ text {y}} \ limsup X_ {n} \,}$${\ Displaystyle \, \ lim X_ {n} = \ limsup X_ {n} = \ liminf X_ {n}.}$

Caso especial: métrica discreta

Ésta es la definición utilizada en la teoría de la medida y la probabilidad . La discusión y los ejemplos adicionales desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, a diferencia del punto de vista topológico que se analiza a continuación, se encuentran en el límite de la teoría de conjuntos .

Según esta definición, una secuencia de conjuntos se acerca a un conjunto límite cuando el conjunto límite incluye elementos que están en todos excepto en un número finito de conjuntos de la secuencia y no incluye elementos que están en todos excepto en un número finito de complementos de conjuntos de la secuencia. Es decir, este caso especializa la definición general cuando la topología del conjunto X se induce a partir de la métrica discreta .

Específicamente, para los puntos x ∈ X e y ∈ X , la métrica discreta está definida por

${\ displaystyle d (x, y): = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} x = y, \\ 1 & {\ text {if}} x \ neq y, \ end {cases}} }$

bajo el cual una secuencia de puntos { x _k } converge al punto x ∈ X si y solo si x _k = x para todos excepto para un número finito de k . Por lo tanto, si el conjunto límite existe , contiene los puntos y solo los puntos que están en todos excepto en un número finito de los conjuntos de la secuencia. Dado que la convergencia en la métrica discreta es la forma más estricta de convergencia (es decir, requiere la mayor cantidad), esta definición de un conjunto de límites es la más estricta posible.

Si { X _n } es una secuencia de subconjuntos de X , entonces siempre existirá lo siguiente:

• lim sup  X _n consta de elementos de X que pertenecen a X _n para un número infinito de n (véase numerablemente infinito ). Es decir, x ∈ lim sup  X _n si y solo si existe una subsecuencia { X _{n k} } de { X _n } tal que x ∈ X _{n k} para todo k .
• lim inf  X _n consta de elementos de X que pertenecen a X _n para todos excepto para un número finito de n (es decir, para muchos n cofinitivamente ). Es decir, x ∈ lim inf  X _n si y solo si existe algo m > 0 tal que x ∈ X _n para todo n > m .

Observe que x ∈ lim sup  X _n si y solo si x ∉ lim inf  X _n ^c .

• El lim  X _n existe si y solo si lim inf X _n y lim sup X _n concuerdan, en cuyo caso lim  X _n = lim sup X _n = lim inf X _n .

En este sentido, la secuencia tiene un límite siempre que cada punto de X aparezca en todos excepto en un número finito de X _n o aparezca en todos excepto en un número finito de X _n ^c .

Usando el lenguaje estándar de la teoría de conjuntos, la inclusión de conjuntos proporciona un orden parcial en la colección de todos los subconjuntos de X que permite que la intersección de conjuntos genere un límite inferior más grande y una unión de conjuntos para generar un límite superior mínimo. Por lo tanto, el ínfimo o se reúnen de una colección de subconjuntos es el extremo inferior, mientras que el extremo superior o unirse a es el extremo superior. En este contexto, el límite interior, lim inf  X _n , es el encuentro más grande de colas de la secuencia, y el límite exterior, lim sup  X _n , es el encuentro más pequeño de colas de la secuencia. Lo siguiente hace que esto sea preciso.

• Let Me _n ser el encuentro del n ^º de la cola de la secuencia. Es decir,

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} I_ {n} & = \ inf \ {X_ {m}: m \ in \ {n, n + 1, n + 2, \ ldots \} \} \\ & = \ bigcap _ {m = n} ^ {\ infty} X_ {m} = X_ {n} \ cap X_ {n + 1} \ cap X_ {n + 2} \ cap \ cdots. \ end {alineado}}}$

La secuencia { I _n } no es decreciente ( I _n ⊆ I _{n +1} ) porque cada I _{n +1} es la intersección de menos conjuntos que I _n . El límite superior mínimo en esta secuencia de encuentros de colas es

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ liminf _ {n \ to \ infty} X_ {n} & = \ sup \ {\ inf \ {X_ {m}: m \ in \ {n, n + 1, \ ldots \} \}: n \ in \ {1,2, \ dots \} \} \\ & = {\ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty}} \ left ({\ bigcap _ {m = n} ^ {\ infty}} X_ {m} \ right). \ end {alineado}}}$

Por tanto, el límite mínimo contiene todos los subconjuntos que son límites inferiores para todos excepto para un número finito de conjuntos de la secuencia.

• Del mismo modo, dejar J _n sea la unión de la n ^º cola de la secuencia. Es decir,

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} J_ {n} & = \ sup \ {X_ {m}: m \ in \ {n, n + 1, n + 2, \ ldots \} \} \\ & = \ copa grande _ {m = n} ^ {\ infty} X_ {m} = X_ {n} \ copa X_ {n + 1} \ copa X_ {n + 2} \ copa \ cdots. \ end {alineado}}}$

La secuencia { J _n } no es creciente ( J _n ⊇ J _{n +1} ) porque cada J _{n +1} es la unión de menos conjuntos que J _n . El mayor límite inferior de esta secuencia de uniones de colas es

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ limsup _ {n \ to \ infty} X_ {n} & = \ inf \ {\ sup \ {X_ {m}: m \ in \ {n, n + 1, \ ldots \} \}: n \ in \ {1,2, \ dots \} \} \\ & = {\ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty}} \ left ({\ bigcup _ {m = n} ^ {\ infty}} X_ {m} \ right). \ end {alineado}}}$

Por lo tanto, el límite superior está contenido en todos los subconjuntos que son límites superiores para todos excepto para un número finito de conjuntos de la secuencia.

Ejemplos de

Los siguientes son varios ejemplos de convergencia de conjuntos. Ellos se han roto en secciones con respecto a la métrica utilizada para inducir la topología en el set X .

Usando la métrica discreta

• El lema de Borel-Cantelli es un ejemplo de aplicación de estos constructos.

Usando la métrica discreta o la métrica euclidiana

• Considere el conjunto X = {0,1} y la secuencia de subconjuntos:

${\ Displaystyle \ {X_ {n} \} = \ {\ {0 \}, \ {1 \}, \ {0 \}, \ {1 \}, \ {0 \}, \ {1 \}, \ puntos \}.}$

Los elementos "pares" y "impares" de esta secuencia forman dos subsecuencias, {{0}, {0}, {0}, ...} y {{1}, {1}, {1}, ... }, que tienen puntos límite 0 y 1, respectivamente, por lo que el límite exterior o superior es el conjunto {0,1} de estos dos puntos. Sin embargo, no hay puntos límite que se puedan tomar de la secuencia { X _n } como un todo, por lo que el límite interior o inferior es el conjunto vacío {}. Es decir,

• lim sup  X _n = {0,1}
• lim inf  X _n = {}

Sin embargo, para { Y _n } = {{0}, {0}, {0}, ...} y { Z _n } = {{1}, {1}, {1}, ...}:

• lim sup  Y _n = lim inf  Y _n = lim  Y _n = {0}
• lim sup  Z _n = lim inf  Z _n = lim  Z _n = {1}

• Considere el conjunto X = {50, 20, -100, -25, 0, 1} y la secuencia de subconjuntos:

${\ Displaystyle \ {X_ {n} \} = \ {\ {50 \}, \ {20 \}, \ {- 100 \}, \ {- 25 \}, \ {0 \}, \ {1 \ }, \ {0 \}, \ {1 \}, \ {0 \}, \ {1 \}, \ dots \}.}$

Como en los dos ejemplos anteriores,

• lim sup  X _n = {0,1}
• lim inf  X _n = {}

Es decir, los cuatro elementos que no coinciden con el patrón no afectan el límite inf y el límite sup porque solo hay un número finito de ellos. De hecho, estos elementos podrían colocarse en cualquier lugar de la secuencia (por ejemplo, en las posiciones 100, 150, 275 y 55000). Mientras se mantengan las colas de la secuencia, los límites externos e internos no cambiarán. Los conceptos relacionados de límites internos y externos esenciales , que utilizan el supremum esencial y el infimum esencial , proporcionan una modificación importante que "aplasta" innumerables adiciones intersticiales (en lugar de solo un número finito).

Usando la métrica euclidiana

• Considere la secuencia de subconjuntos de números racionales :

${\ Displaystyle \ {X_ {n} \} = \ {\ {0 \}, \ {1 \}, \ {1/2 \}, \ {1/2 \}, \ {2/3 \}, \ {1/3 \}, \ {3/4 \}, \ {1/4 \}, \ dots \}.}$

Los elementos "pares" y "impares" de esta secuencia forman dos subsecuencias, {{0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...} y {{1}, { 1/2}, {1/3}, {1/4}, ...}, que tienen puntos límite 1 y 0, respectivamente, por lo que el límite exterior o superior es el conjunto {0,1} de estos dos puntos. Sin embargo, no hay puntos límite que se puedan tomar de la secuencia { X _n } como un todo, por lo que el límite interior o inferior es el conjunto vacío {}. Entonces, como en el ejemplo anterior,

• lim sup  X _n = {0,1}
• lim inf  X _n = {}

Sin embargo, para { Y _n } = {{0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...} y { Z _n } = {{1}, {1/2 }, {1/3}, {1/4}, ...}:

• lim sup  Y _n = lim inf  Y _n = lim  Y _n = {1}
• lim sup  Z _n = lim inf  Z _n = lim  Z _n = {0}

En cada uno de estos cuatro casos, los elementos de los conjuntos límite no son elementos de ninguno de los conjuntos de la secuencia original.

• El límite Ω (es decir, el conjunto de límites ) de una solución a un sistema dinámico es el límite exterior de las trayectorias de la solución del sistema. Debido a que las trayectorias se acercan cada vez más a este conjunto de límites, las colas de estas trayectorias convergen al conjunto de límites.

• Por ejemplo, un sistema LTI que es la conexión en cascada de varios sistemas estables con un sistema LTI de segundo orden no amortiguado (es decir, relación de amortiguación cero ) oscilará sin cesar después de ser perturbado (p. Ej., Una campana ideal después de ser golpeada). Por lo tanto, si la posición y la velocidad de este sistema se grafican entre sí, las trayectorias se acercarán a un círculo en el espacio de estados . Este círculo, que es el conjunto de límites Ω del sistema, es el límite exterior de las trayectorias de solución del sistema. El círculo representa el lugar geométrico de una trayectoria correspondiente a una salida de tono sinusoidal pura; es decir, la salida del sistema se aproxima / se aproxima a un tono puro.

Definiciones generalizadas

Las definiciones anteriores son inadecuadas para muchas aplicaciones técnicas. De hecho, las definiciones anteriores son especializaciones de las siguientes definiciones.

Definición de un conjunto

El límite inferior de un conjunto X ⊆ Y es el mínimo de todos los puntos límite del conjunto. Es decir,

${\ displaystyle \ liminf X: = \ inf \ {x \ in Y: x {\ text {es un punto límite de}} X \} \,}$

Del mismo modo, el límite superior, de un conjunto X es el extremo superior de todos los puntos límite del conjunto. Es decir,

${\ displaystyle \ limsup X: = \ sup \ {x \ in Y: x {\ text {es un punto límite de}} X \} \,}$

Tenga en cuenta que el conjunto X debe definirse como un subconjunto de un conjunto Y parcialmente ordenado que también es un espacio topológico para que estas definiciones tengan sentido. Además, tiene que ser una celosía completa para que el suprema y el infima existan siempre. En ese caso cada conjunto tiene un límite superior y un límite inferior. También tenga en cuenta que el límite inferior y el límite superior de un conjunto no tienen por qué ser elementos del conjunto.

Definición de bases de filtro

Tome un espacio topológico X y una base de filtro B en ese espacio. El conjunto de todos los puntos del clúster para esa base de filtro viene dado por

${\ Displaystyle \ bigcap \ {{\ overline {B}} _ {0}: B_ {0} \ in B \}}$

donde es el cierre de . Este es claramente un conjunto cerrado y es similar al conjunto de puntos límite de un conjunto. Suponga que X también es un conjunto parcialmente ordenado . El límite superior de la base del filtro B se define como ${\ Displaystyle {\ overline {B}} _ {0}}$${\ Displaystyle B_ {0}}$

${\ Displaystyle \ limsup B: = \ sup \ bigcap \ {{\ overline {B}} _ {0}: B_ {0} \ in B \}}$

cuando ese supremo existe. Cuando X tiene un orden total , es una celosía completa y tiene la topología de orden ,

${\ Displaystyle \ limsup B = \ inf \ {\ sup B_ {0}: B_ {0} \ in B \}.}$

Del mismo modo, el límite inferior de la base del filtro B se define como

${\ Displaystyle \ liminf B: = \ inf \ bigcap \ {{\ overline {B}} _ {0}: B_ {0} \ in B \}}$

cuando ese mínimo existe; si X está totalmente ordenado, es una red completa y tiene la topología de orden, entonces

${\ Displaystyle \ liminf B = \ sup \ {\ inf B_ {0}: B_ {0} \ in B \}.}$

Si el límite inferior y el límite superior concuerdan, entonces debe haber exactamente un punto de agrupación y el límite de la base del filtro es igual a este punto de agrupación único.

Especialización en secuencias y redes

Tenga en cuenta que las bases de filtro son generalizaciones de redes , que son generalizaciones de secuencias . Por lo tanto, estas definiciones dan el límite inferior y el límite superior de cualquier red (y por lo tanto también de cualquier secuencia). Por ejemplo, tomemos el espacio topológico y la red , donde es un conjunto dirigido y para todos . La base del filtro ("de colas") generada por esta red está definida por ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle (x _ {\ alpha}) _ {\ alpha \ in A}}$${\ Displaystyle (A, {\ leq})}$${\ Displaystyle x _ {\ alpha} \ in X}$${\ Displaystyle \ alpha \ in A}$${\ Displaystyle B}$

${\ Displaystyle B: = \ {\ {x _ {\ alpha}: \ alpha _ {0} \ leq \ alpha \}: \ alpha _ {0} \ in A \}. \,}$

Por tanto, el límite inferior y el límite superior de la red son iguales al límite superior y el límite inferior de respectivamente. De manera similar, para el espacio topológico , tome la secuencia donde para cualquiera con el conjunto de números naturales . La base del filtro ("de colas") generada por esta secuencia se define por ${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle (x_ {n})}$${\ Displaystyle x_ {n} \ in X}$${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle C}$

${\ Displaystyle C: = \ {\ {x_ {n}: n_ {0} \ leq n \}: n_ {0} \ in \ mathbb {N} \}. \,}$

Por tanto, el límite inferior y el límite superior de la secuencia son iguales al límite superior y el límite inferior de respectivamente. ${\ Displaystyle C}$

Ver también

• Supremum esencial e infimum esencial
• Sobre (ondas)
• Límite unilateral
• Derivados de Dini
• Límite teórico de conjuntos

Referencias

enlaces externos

• "Límites superior e inferior" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]