Fórmula de Leibniz para determinantes - Leibniz formula for determinants

En álgebra , la fórmula de Leibniz , nombrada en honor a Gottfried Leibniz , expresa el determinante de una matriz cuadrada en términos de permutaciones de los elementos de la matriz. Si es una matriz, donde está la entrada en la -ésima fila y la -ésima columna de , la fórmula es ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle n \ times n}$${\ Displaystyle a_ {ij}}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle j}$${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ det (A) = \ sum _ {\ tau \ in S_ {n}} \ operatorname {sgn} (\ tau) \ prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i, \, \ tau (i)} = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ prod _ {i = 1} ^ {n} a _ {\ sigma (i), \, I},}$

donde es la función de signo de las permutaciones en el grupo de permutaciones , que devuelve y para las permutaciones pares e impares , respectivamente. ${\ Displaystyle \ operatorname {sgn}}$ ${\ Displaystyle S_ {n}}$${\ displaystyle +1}$${\ Displaystyle -1}$

Otra notación común utilizada para la fórmula es en términos del símbolo Levi-Civita y hace uso de la notación de suma de Einstein , donde se convierte en

${\ Displaystyle \ det (A) = \ epsilon _ {i_ {1} \ cdots i_ {n}} {a} _ {1i_ {1}} \ cdots {a} _ {ni_ {n}},}$

que puede resultar más familiar para los físicos.

La evaluación directa de la fórmula de Leibniz a partir de la definición requiere operaciones en general, es decir, un número de operaciones asintóticamente proporcional al factorial, porque es el número de permutaciones de orden . Esto es impracticablemente difícil incluso para relativamente pequeños . En cambio, el determinante se puede evaluar en operaciones formando la descomposición LU (típicamente mediante eliminación gaussiana o métodos similares), en cuyo caso y los determinantes de las matrices triangulares y son simplemente los productos de sus entradas diagonales. (Sin embargo, en aplicaciones prácticas del álgebra lineal numérica, rara vez se requiere el cálculo explícito del determinante). Véase, por ejemplo, Trefethen y Bau (1997) . El determinante también se puede evaluar en menos de operaciones reduciendo el problema a la multiplicación de matrices , pero la mayoría de estos algoritmos no son prácticos. ${\ Displaystyle \ Omega (n! \ cdot n)}$${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle n!}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle O (n ^ {3})}$ ${\ Displaystyle A = LU}$${\ Displaystyle \ det A = \ det L \ cdot \ det U}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle O (n ^ {3})}$

Declaración formal y prueba

Teorema. Existe exactamente una función que alterna columnas wrt multilineales y tal que . ${\ Displaystyle F: M_ {n} (\ mathbb {K}) \ rightarrow \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle F (I) = 1}$

Prueba.

Singularidad: Vamos a ser una función de este tipo, y dejar que sea una matriz. Llame a la -ésima columna de , es decir , para que${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle A = (a_ {i} ^ {j}) _ {i = 1, \ dots, n} ^ {j = 1, \ dots, n}}$${\ Displaystyle n \ times n}$${\ Displaystyle A ^ {j}}$${\ Displaystyle j}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A ^ {j} = (a_ {i} ^ {j}) _ {i = 1, \ dots, n}}$${\ Displaystyle A = \ left (A ^ {1}, \ dots, A ^ {n} \ right).}$

Además, denotemos el vector de columna -ésima de la matriz identidad. ${\ Displaystyle E ^ {k}}$${\ Displaystyle k}$

Ahora uno escribe cada uno de los en términos de , es decir ${\ Displaystyle A ^ {j}}$${\ Displaystyle E ^ {k}}$

${\ Displaystyle A ^ {j} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} ^ {j} E ^ {k}}$.

Como es multilineal, uno tiene ${\ Displaystyle F}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} F (A) & = F \ left (\ sum _ {k_ {1} = 1} ^ {n} a_ {k_ {1}} ^ {1} E ^ {k_ { 1}}, \ puntos, \ sum _ {k_ {n} = 1} ^ {n} a_ {k_ {n}} ^ {n} E ^ {k_ {n}} \ right) = \ sum _ {k_ {1}, \ dots, k_ {n} = 1} ^ {n} \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {k_ {i}} ^ {i} \ right) F \ left (E ^ {k_ {1}}, \ puntos, E ^ {k_ {n}} \ derecha). \ End {alineado}}}$

De la alternancia se deduce que cualquier término con índices repetidos es cero. Por lo tanto, la suma se puede restringir a tuplas con índices no repetidos, es decir, permutaciones:

${\ Displaystyle F (A) = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} a _ {\ sigma (i)} ^ {i} \ right ) F (E ^ {\ sigma (1)}, \ dots, E ^ {\ sigma (n)}).}$

Debido a que F es alterno, las columnas se pueden intercambiar hasta que se convierta en la identidad. La función de signo se define para contar el número de intercambios necesarios y contabilizar el cambio de signo resultante. Uno finalmente obtiene: ${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {sgn} (\ sigma)}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} F (A) & = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ left (\ prod _ {i = 1} ^ { n} a _ {\ sigma (i)} ^ {i} \ right) F (I) \\ & = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ prod _ {i = 1} ^ {n} a _ {\ sigma (i)} ^ {i} \ end {alineado}}}$

como se requiere que sea igual a . ${\ Displaystyle F (I)}$${\ Displaystyle 1}$

Por lo tanto, ninguna función además de la función definida por la fórmula de Leibniz puede ser una función alterna multilineal con . ${\ Displaystyle F \ left (I \ right) = 1}$

Existencia: Ahora mostramos que F, donde F es la función definida por la fórmula de Leibniz, tiene estas tres propiedades.

Multilineal :

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} F (A ^ {1}, \ dots, cA ^ {j}, \ dots) & = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ operatorname {sgn} ( \ sigma) ca _ {\ sigma (j)} ^ {j} \ prod _ {i = 1, i \ neq j} ^ {n} a _ {\ sigma (i)} ^ {i} \\ & = c \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) a _ {\ sigma (j)} ^ {j} \ prod _ {i = 1, i \ neq j} ^ {n} a _ {\ sigma (i)} ^ {i} \\ & = cF (A ^ {1}, \ dots, A ^ {j}, \ dots) \\\\ F (A ^ {1}, \ dots , b + A ^ {j}, \ dots) & = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ left (b _ {\ sigma (j)} + a_ { \ sigma (j)} ^ {j} \ right) \ prod _ {i = 1, i \ neq j} ^ {n} a _ {\ sigma (i)} ^ {i} \\ & = \ sum _ { \ sigma \ in S_ {n}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ left (\ left (b _ {\ sigma (j)} \ prod _ {i = 1, i \ neq j} ^ {n} a_ {\ sigma (i)} ^ {i} \ right) + \ left (a _ {\ sigma (j)} ^ {j} \ prod _ {i = 1, i \ neq j} ^ {n} a _ {\ sigma (i)} ^ {i} \ right) \ right) \\ & = \ left (\ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) b _ {\ sigma (j )} \ prod _ {i = 1, i \ neq j} ^ {n} a _ {\ sigma (i)} ^ {i} \ right) + \ left (\ sum _ {\ sigma \ in S_ {n} } \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ prod _ {i = 1} ^ {n} a _ {\ sigma (i)} ^ {i} \ right) \\ & = F (A ^ {1}, \ puntos, b, \ puntos) + F (A ^ {1}, \ puntos, A ^ {j}, \ puntos) \\\\\ final {alineado}}}$

Alternando :

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} F (\ dots, A ^ {j_ {1}}, \ dots, A ^ {j_ {2}}, \ dots) & = \ sum _ {\ sigma \ in S_ { n}} \ nombre de operador {sgn} (\ sigma) \ left (\ prod _ {i = 1, i \ neq j_ {1}, i \ neq j_ {2}} ^ {n} a _ {\ sigma (i) } ^ {i} \ right) a _ {\ sigma (j_ {1})} ^ {j_ {1}} a _ {\ sigma (j_ {2})} ^ {j_ {2}} \\\ end {alineado }}}$

Para cualquier permiten ser los tupla iguales a la e índices conmutada. ${\ Displaystyle \ sigma \ en S_ {n}}$${\ Displaystyle \ sigma '}$${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle j_ {1}}$${\ Displaystyle j_ {2}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} F (A) & = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}, \ sigma (j_ {1}) <\ sigma (j_ {2})} \ left [\ nombre de operador {sgn} (\ sigma) \ left (\ prod _ {i = 1, i \ neq j_ {1}, i \ neq j_ {2}} ^ {n} a _ {\ sigma (i)} ^ {i } \ right) a _ {\ sigma (j_ {1})} ^ {j_ {1}} a _ {\ sigma (j_ {2})} ^ {j_ {2}} + \ operatorname {sgn} (\ sigma ' ) \ left (\ prod _ {i = 1, i \ neq j_ {1}, i \ neq j_ {2}} ^ {n} a _ {\ sigma '(i)} ^ {i} \ right) a_ { \ sigma '(j_ {1})} ^ {j_ {1}} a _ {\ sigma' (j_ {2})} ^ {j_ {2}} \ right] \\ & = \ sum _ {\ sigma \ en S_ {n}, \ sigma (j_ {1}) <\ sigma (j_ {2})} \ left [\ operatorname {sgn} (\ sigma) \ left (\ prod _ {i = 1, i \ neq j_ {1}, i \ neq j_ {2}} ^ {n} a _ {\ sigma (i)} ^ {i} \ right) a _ {\ sigma (j_ {1})} ^ {j_ {1}} a _ {\ sigma (j_ {2})} ^ {j_ {2}} - \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ left (\ prod _ {i = 1, i \ neq j_ {1}, i \ neq j_ {2}} ^ {n} a _ {\ sigma (i)} ^ {i} \ right) a _ {\ sigma (j_ {2})} ^ {j_ {1}} a _ {\ sigma (j_ {1 })} ^ {j_ {2}} \ right] \\ & = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}, \ sigma (j_ {1}) <\ sigma (j_ {2})} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ left (\ prod _ {i = 1, i \ neq j_ {1}, i \ neq j_ {2}} ^ {n} a _ {\ sigma (i)} ^ {i} \ right) \ underbrace {\ left (a _ {\ sigma (j_ {1})} ^ {j_ {1}} a _ {\ sigma (j_ {2})} ^ {j_ {2}} - a _ {\ sigma (j_ {1})} ^ {j_ {2}} a _ {\ sigma (j_ {2})} ^ {j _ {_ {1} }} \ right)} _ {= 0 {\ text {, if}} j_ {1} = j_ {2}} \\\\\ end {alineado}}}$

Entonces si entonces . ${\ Displaystyle A ^ {j_ {1}} = A ^ {j_ {2}}}$${\ Displaystyle F (\ dots, A ^ {j_ {1}}, \ dots, A ^ {j_ {2}}, \ dots) = 0}$

Por último, : ${\ Displaystyle F (I) = 1}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} F (I) & = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ prod _ {i = 1} ^ {n} I_ {\ sigma (i)} ^ {i} = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ operatorname {\ delta} _ {i, \ sigma (i)} \\ & = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ operatorname {\ delta} _ {\ sigma, \ operatorname {id} _ {\ {1 \ ldots n \}}} = \ operatorname {sgn} (\ operatorname {id} _ {\ {1 \ ldots n \}}) = 1 \ end {alineado}}}$

Así, las únicas funciones multilineales alternas con están restringidas a la función definida por la fórmula de Leibniz, y de hecho también tiene estas tres propiedades. Por tanto, el determinante puede definirse como la única función con estas tres propiedades. ${\ Displaystyle F (I) = 1}$${\ Displaystyle \ det: M_ {n} (\ mathbb {K}) \ rightarrow \ mathbb {K}}$

Ver también

• Matriz
• Expansión de Laplace
• Regla de Cramer

Referencias

• "Determinante" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Trefethen, Lloyd N .; Bau, David (1 de junio de 1997). Álgebra lineal numérica . SIAM . ISBN 978-0898713619.