Teorema de Kuiper - Kuiper's theorem
En matemáticas , el teorema de Kuiper (después de Nicolaas Kuiper ) es un resultado de la topología de operadores en un espacio H de Hilbert complejo de dimensión infinita . Establece que el espacio GL ( H ) de los endomorfismos acotados invertibles de H es tal que todos los mapas de cualquier complejo finito Y a GL ( H ) son homotópicos a una constante, para la topología normal de operadores.
Un corolario significativo, también conocido como teorema de Kuiper , es que este grupo es débilmente contráctil , es decir. todos sus grupos de homotopía son triviales. Este resultado tiene usos importantes en la teoría K topológica .
Topología general del grupo lineal general
Para H de dimensión finita , este grupo sería un grupo lineal general complejo y no contraíble en absoluto. De hecho, es homotopy equivalente a su subgrupo compacto maximal , el grupo unitario U de H . La prueba de que el grupo lineal general complejo y el grupo unitario tienen el mismo tipo de homotopía es mediante el proceso de Gram-Schmidt , o mediante la descomposición polar de la matriz , y se traslada al caso de dimensión infinita del espacio de Hilbert separable , básicamente porque el espacio de Las matrices triangulares superiores son contractibles, como puede verse de forma bastante explícita. El fenómeno subyacente es que el paso a infinitas dimensiones hace que gran parte de la complejidad topológica de los grupos unitarios se desvanezca; pero vea la sección sobre el grupo unitario de Bott, donde el paso al infinito es más restringido, y el grupo resultante tiene grupos de homotopía no triviales.
Contexto histórico y topología de esferas
Es un hecho sorprendente que la esfera unitaria , a veces denominada S ∞ , en el espacio de Hilbert de dimensión infinita H es un espacio contráctil , mientras que ninguna esfera de dimensión finita es contráctil. Este resultado, ciertamente conocido décadas antes del de Kuiper, puede tener el estatus de folclore matemático , pero se cita con bastante frecuencia. De hecho, más es cierto: S ∞ es difeomórfico de H , que ciertamente es contráctil por su convexidad. Una de las consecuencias es que hay contraejemplos lisas a una extensión de la de punto fijo teorema de Brouwer a la bola unidad en H . La existencia de tales contraejemplos que son homeomorfismos fue demostrada en 1943 por Shizuo Kakutani , quien pudo haber escrito primero una prueba de la contractibilidad de la esfera unitaria. Pero el resultado fue de todos modos esencialmente conocido (en 1935 Andrey Nikolayevich Tychonoff demostró que la esfera unitaria era una retracción de la bola unitaria).
El resultado sobre el grupo de operadores acotados fue probado por el matemático holandés Nicolaas Kuiper , para el caso de un espacio de Hilbert separable; la restricción de la separabilidad se levantó posteriormente. El mismo resultado, pero para la topología de operador fuerte en lugar de la topología normal, fue publicado en 1963 por Jacques Dixmier y Adrien Douady . La relación geométrica de la esfera y el grupo de operadores es que la esfera unidad es un espacio homogéneo para el grupo unitario U . El estabilizador de un solo vector v de la esfera unitaria es el grupo unitario del complemento ortogonal de v ; por lo tanto, la secuencia larga exacta de homotopía predice que todos los grupos de homotopía de la esfera unitaria serán triviales. Esto muestra la estrecha relación topológica, pero no es suficiente en sí mismo, ya que la inclusión de un punto será solo una equivalencia de homotopía débil , y eso implica contractibilidad directamente solo para un complejo CW . En un artículo publicado dos años después del de Kuiper, Richard Palais proporcionó resultados técnicos sobre variedades de dimensión infinita suficientes para resolver este problema.
Grupo unitario de Bott
Existe otro grupo unitario de dimensión infinita, de gran importancia en la teoría de la homotopía , al que se aplica el teorema de periodicidad de Bott . Ciertamente no es contráctil. La diferencia con el grupo de Kuiper se puede explicar: el grupo de Bott es el subgrupo en el que un operador determinado actúa de manera no trivial solo en un subespacio abarcado por el primer N de una base ortonormal fija { e i }, para algunos N , siendo la identidad en los vectores base restantes.
Aplicaciones
Una consecuencia inmediata, dada la teoría general de los haces de fibras , es que cada haz de Hilbert es un haz trivial .
El resultado sobre la contractibilidad de S ∞ da una construcción geométrica de espacios de clasificación para ciertos grupos que actúan libremente en él, como el grupo cíclico con dos elementos y el grupo circular . El grupo unitario U en el sentido de Bott tiene un espacio de clasificación BU para paquetes de vectores complejos (ver Espacio de clasificación para U (n) ). Una aplicación más profunda que proviene del teorema de Kuiper es la prueba del teorema de Atiyah-Jänich (según Klaus Jänich y Michael Atiyah ), que establece que el espacio de los operadores de Fredholm en H , con la topología de la norma, representa el functor K (.) De topológico ( complejo) Teoría K, en el sentido de la teoría de la homotopía. Esto lo da Atiyah.
Caso de espacios Banach
Se puede plantear la misma pregunta acerca de los operadores invertibles en cualquier espacio de Banach de dimensión infinita. Aquí solo hay resultados parciales. Algunos espacios de secuencia clásicos tienen la misma propiedad, a saber, que el grupo de operadores invertibles es contractible. Por otro lado, se conocen ejemplos en los que no logra ser un espacio conectado . Cuando se sabe que todos los grupos de homotopía son triviales, la contractibilidad en algunos casos puede permanecer desconocida.
Referencias
- Kuiper, N. (1965). "El tipo de homotopía del grupo unitario del espacio de Hilbert" . Topología . 3 (1): 19–30. doi : 10.1016 / 0040-9383 (65) 90067-4 .