Transición de Kosterlitz-Thouless - Kosterlitz–Thouless transition

La transición Berezinskii-Kosterlitz-Thouless ( transición BKT ) es una transición de fase del modelo bidimensional (2-D) XY en física estadística . Es una transición de pares vórtice-antivórtex unidos a bajas temperaturas a vórtices no apareados y antivórtices a alguna temperatura crítica. La transición lleva el nombre de los físicos de materia condensada Vadim Berezinskii , John M. Kosterlitz y David J. Thouless . Las transiciones BKT se pueden encontrar en varios sistemas 2-D en la física de la materia condensada que se aproximan mediante el modelo XY, incluidas las matrices de uniones Josephson y las películas granulares superconductoras desordenadas delgadas . Más recientemente, el término ha sido aplicado por la comunidad de transición de aisladores superconductores 2-D a la fijación de pares de Cooper en el régimen de aislamiento, debido a similitudes con la transición de vórtice BKT original.

El trabajo en la transición condujo a la concesión del Premio Nobel de Física 2016 a Thouless y Kosterlitz; Berezinskii murió en 1980.

Modelo XY

El modelo XY es un modelo de espín vectorial bidimensional que posee U (1) o simetría circular. No se espera que este sistema posea una transición de fase de segundo orden normal . Esto se debe a que la fase ordenada esperada del sistema es destruida por fluctuaciones transversales, es decir, los modos Nambu-Goldstone (ver bosón Goldstone ) asociados con esta simetría continua rota , que divergen logarítmicamente con el tamaño del sistema. Este es un caso específico de lo que se denomina teorema de Mermin-Wagner en sistemas de espín.

De manera rigurosa, la transición no se comprende completamente, pero McBryan y Spencer (1977) y Fröhlich y Spencer (1981) demostraron la existencia de dos fases .

Fases desordenadas con diferentes correlaciones

En el modelo XY en dos dimensiones, no se ve una transición de fase de segundo orden. Sin embargo, se encuentra una fase cuasi ordenada de baja temperatura con una función de correlación (ver mecánica estadística ) que disminuye con la distancia como una potencia, que depende de la temperatura. La transición de la fase desordenada de alta temperatura con la correlación exponencial a esta fase cuasi ordenada de baja temperatura es una transición de Kosterlitz-Thouless. Es una transición de fase de orden infinito.

Papel de los vórtices

En el modelo 2-D XY, los vórtices son configuraciones topológicamente estables. Se encuentra que la fase desordenada de alta temperatura con decadencia de correlación exponencial es el resultado de la formación de vórtices. La generación de vórtices se vuelve termodinámicamente favorable a la temperatura crítica de la transición Kosterlitz-Thouless. A temperaturas por debajo de esto, la generación de vórtices tiene una correlación de ley de potencia. ${\ Displaystyle T_ {c}}$

Las transiciones de Kosterlitz-Thouless se describen como una disociación de pares de vórtices unidos con circulaciones opuestas, llamados pares de vórtice-antivortex, descritos por primera vez por Vadim Berezinskii . En estos sistemas, la generación térmica de vórtices produce un número par de vórtices de signo opuesto. Los pares vórtice-antivortex unidos tienen energías más bajas que los vórtices libres, pero también tienen una entropía más baja. Con el fin de minimizar la energía libre, , el sistema experimenta una transición a una temperatura crítica, . Abajo , solo hay pares vórtice-antivortex ligados. Arriba , hay vórtices libres. ${\ Displaystyle F = E-TS}$${\ Displaystyle T_ {c}}$${\ Displaystyle T_ {c}}$${\ Displaystyle T_ {c}}$

Descripción informal

Existe un elegante argumento termodinámico para la transición Kosterlitz-Thouless. La energía de un solo vórtice es , donde es un parámetro que depende del sistema en el que se encuentra el vórtice, es el tamaño del sistema y es el radio del núcleo del vórtice. Se asume . En el sistema 2D, el número de posibles posiciones de un vórtice es aproximadamente . De la fórmula de la entropía de Boltzmann , (con W es el número de estados), la entropía es , donde es la constante de Boltzmann . Por tanto, la energía libre de Helmholtz es ${\ Displaystyle \ kappa \ ln (R / a)}$${\ Displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle R \ gg a}$${\ Displaystyle (R / a) ^ {2}}$${\ Displaystyle S = k _ {\ rm {B}} \ ln W}$${\ Displaystyle S = 2k _ {\ rm {B}} \ ln (R / a)}$${\ Displaystyle k _ {\ rm {B}}}$

${\ Displaystyle F = E-TS = (\ kappa -2k _ {\ rm {B}} T) \ ln (R / a).}$

Cuando , el sistema no tendrá un vórtice. Por otro lado, cuando , las consideraciones entrópicas favorecen la formación de un vórtice. La temperatura crítica por encima de la cual pueden formarse los vórtices se puede encontrar estableciendo y está dada por ${\ Displaystyle F> 0}$${\ Displaystyle F <0}$${\ Displaystyle F = 0}$

${\ Displaystyle T_ {c} = {\ frac {\ kappa} {2k _ {\ rm {B}}}}.}$

La transición Kosterlitz-Thouless se puede observar experimentalmente en sistemas como los arreglos de uniones 2D Josephson tomando medidas de corriente y voltaje (IV). Arriba , la relación será lineal . Justo debajo , la relación será , como irá el número de vórtices libres . Este salto desde la dependencia lineal es indicativo de una transición Kosterlitz-Thouless y puede usarse para determinar . Este enfoque se utilizó en Resnick et al. para confirmar la transición Kosterlitz-Thouless en matrices de unión Josephson acopladas por proximidad . ${\ Displaystyle T_ {c}}$${\ Displaystyle V \ sim I}$${\ Displaystyle T_ {c}}$${\ Displaystyle V \ sim I ^ {3}}$${\ Displaystyle I ^ {2}}$${\ Displaystyle T_ {c}}$

Análisis teórico de campo

La siguiente discusión utiliza métodos teóricos de campo. Suponga un campo φ (x) definido en el plano que toma valores en . Por conveniencia, trabajamos con la cobertura universal R de en su lugar, pero identificamos dos valores cualesquiera de φ (x) que difieran en un múltiplo entero de 2π. ${\ Displaystyle S ^ {1}}$ ${\ Displaystyle S ^ {1}}$

La energía viene dada por

${\ Displaystyle E = \ int {\ frac {1} {2}} \ nabla \ phi \ cdot \ nabla \ phi \, d ^ {2} x}$

y el factor de Boltzmann es . ${\ Displaystyle \ exp (- \ beta E)}$

Tomando una integral de contorno sobre cualquier camino cerrado contráctil , esperaríamos que fuera cero. Sin embargo, este no es el caso debido a la naturaleza singular de los vórtices. Podemos imaginar que la teoría se define hasta una escala de corte energético , de modo que podemos perforar el plano en los puntos donde se ubican los vórtices, eliminando regiones de tamaño lineal de orden . Si gira en sentido antihorario una vez alrededor de un pinchazo, la integral del contorno es un múltiplo entero de . El valor de este número entero es el índice del campo vectorial . Suponga que una configuración de campo dada tiene perforaciones ubicadas en cada una con índice . Luego, se descompone en la suma de una configuración de campo sin pinchazos, y , por conveniencia, hemos cambiado a las coordenadas del plano complejo. La función de argumento complejo tiene un corte de rama, pero, debido a que está definida en módulo , no tiene consecuencias físicas. ${\ Displaystyle \ oint _ {\ gamma} d \ phi}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle \ Lambda}$${\ Displaystyle 1 / \ Lambda}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle \ oint _ {\ gamma} d \ phi}$${\ Displaystyle \ pm 2 \ pi}$${\ Displaystyle \ nabla \ phi}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle x_ {i}, i = 1, \ dots, N}$${\ Displaystyle n_ {i} = \ pm 1}$${\ Displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle \ phi _ {0}}$${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} \ arg (z-z_ {i})}$${\ Displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle 2 \ pi}$

Ahora,

${\ Displaystyle E = \ int {\ frac {1} {2}} \ nabla \ phi _ {0} \ cdot \ nabla \ phi _ {0} \, d ^ {2} x + \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq N} n_ {i} n_ {j} \ int {\ frac {1} {2}} \ nabla \ \ arg (z-z_ {i}) \ cdot \ nabla \ arg (z-z_ {j}) \, d ^ {2} x}$

Si , el segundo término es positivo y diverge en el límite : las configuraciones con números desequilibrados de vórtices de cada orientación nunca se favorecen energéticamente. Sin embargo , cuando el segundo término es igual a , que es la energía potencial total de un gas de Coulomb bidimensional . La escala L es una escala arbitraria que hace que el argumento del logaritmo sea adimensional. ${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} \ neq 0}$${\ Displaystyle \ Lambda \ to \ infty}$${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} = 0}$${\ Displaystyle -2 \ pi \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq N} n_ {i} n_ {j} \ ln (| x_ {j} -x_ {i} | / L)}$

Suponga el caso con solo vórtices de multiplicidad . A bajas temperaturas y grandes, la distancia entre un par de vórtice y antivortex tiende a ser extremadamente pequeña, esencialmente del orden . A temperaturas grandes y pequeñas esta distancia aumenta, y la configuración favorecida se convierte efectivamente en la de un gas de vórtices libres y antivortices. La transición entre las dos configuraciones diferentes es la transición de fase Kosterlitz-Thouless. ${\ Displaystyle \ pm 1}$${\ Displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle 1 / \ Lambda}$${\ Displaystyle \ beta}$

Ver también

• Teoría de KTHNY
• Bosón de Goldstone
• Modelo de ising
• Transición lambda
• Modelo de potts
• Vórtice cuántico
• Película superfluida
• Fase hexagonal
• Defecto topológico

Notas

Referencias

• Березинский, В. Л. (1970), "Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии I. Классические системы", ЖЭТФ (en ruso), 59 (3): 907-920. Traducción disponible: Berezinskii, VL (1971), "Destrucción del orden de largo alcance en sistemas unidimensionales y bidimensionales que tienen un grupo de simetría continua I. Sistemas clásicos" (PDF) , Sov. Phys. JETP , 32 (3): 493–500, Código de Bibliografía : 1971JETP ... 32..493B
• Березинский, В. Л. (1971), "Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии II Квантовые системы.", ЖЭТФ (en ruso), 61 (3): 1144-56. Traducción disponible: Berezinskii, VL (1972), "Destrucción de orden de largo alcance en sistemas unidimensionales y bidimensionales que tienen un grupo de simetría continua II. Sistemas cuánticos" (PDF) , Sov. Phys. JETP , 34 (3): 610–616, Código Bibliográfico : 1972JETP ... 34..610B
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• BI Halperin , DR Nelson , Phys. Rev. Lett. 41, 121 (1978)
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Libros

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• H. Kleinert , Gauge Fields in Condensed Matter , vol. I, "SUPERFLOW AND VORTEX LINES", págs. 1-742, World Scientific (Singapur, 1989) ; Libro en rústica ISBN  9971-5-0210-0 (también disponible en línea: Vol. I. Leer págs. 618–688);
• H. Kleinert , Campos multivalor en materia condensada, electrodinámica y gravitación , World Scientific (Singapur, 2008) (también disponible en línea: aquí )