círculo de curvatura correspondiente inmediata de una curva en un punto
"Círculos de besos" vuelve a dirigir aquí. Para el teorema de Descartes sobre círculos mutuamente tangentes (besos), consulte
el teorema de Descartes .
Círculos osculantes de la
espiral de Arquímedes , anidados por el
teorema de Tait-Kneser . "La espiral en sí no está dibujada: la vemos como el lugar de los puntos donde los círculos están especialmente cerca unos de otros".
En geometría diferencial de curvas , el círculo osculante de una curva plana suficientemente suave en un punto dado p de la curva se ha definido tradicionalmente como el círculo que pasa por py un par de puntos adicionales en la curva infinitesimalmente cercanos a p . Su centro se encuentra en la línea normal interna y su curvatura define la curvatura de la curva dada en ese punto. Este círculo, que es el que se encuentra entre todos los círculos tangentes en el punto dado que se acerca más a la curva, fue llamado circulus osculans (en latín, "círculo de besos") por Leibniz .
El centro y el radio del círculo osculante en un punto dado se denominan centro de curvatura y radio de curvatura de la curva en ese punto. Isaac Newton describió una construcción geométrica en sus Principia :
Dándose, en cualquier lugar, la velocidad con la que un cuerpo describe una figura dada, por medio de fuerzas dirigidas a algún centro común: encontrar ese centro.
- Isaac Newton, Principia ; PROPUESTA V. PROBLEMA I.
Descripción no técnica
Imagínese un automóvil que se mueve por una carretera con curvas en un gran plano. De repente, en un punto de la carretera, el volante se bloquea en su posición actual. A partir de entonces, el automóvil se mueve en un círculo que "besa" la carretera en el punto de bloqueo. La curvatura del círculo es igual a la de la carretera en ese punto. Ese círculo es el círculo osculador de la curva de la carretera en ese punto.
Descripción matemática
Sea γ ( s ) una curva plana paramétrica regular , donde s es la longitud del arco (el parámetro natural ). Esto determina el vector tangente unitario T ( s ), el vector normal unitario N ( s ), la curvatura con signo k ( s ) y el radio de curvatura R ( s ) en cada punto para el que se compone s :
Suponga que P es un punto en γ donde k ≠ 0. El centro de curvatura correspondiente es el punto Q a la distancia R a lo largo de N , en la misma dirección si k es positivo y en la dirección opuesta si k es negativo. El círculo con centro en Q y con un radio R se llama el círculo osculating a la curva γ en el punto P .
Si C es una curva en el espacio regular entonces el círculo osculador se define de forma similar, utilizando el vector normal principal N . Se encuentra en el plano osculador , el plano formado por la tangente y principales vectores normales T y N en el punto P .
La curva plana también se puede dar en una parametrización regular diferente
donde regular significa eso para todos . Entonces las fórmulas para la curvatura con signo k ( t ), el vector unitario normal N ( t ), el radio de curvatura R ( t ) y el centro Q ( t ) del círculo osculante son
Coordenadas cartesianas
Podemos obtener el centro del círculo osculante en coordenadas cartesianas si sustituimos t = x e y = f ( x ) por alguna función f . Si hacemos los cálculos, los resultados para las coordenadas X e Y del centro del círculo osculador son:
Derivación geométrica directa
Considere tres puntos , y donde . Para encontrar el centro del círculo que pasa a través de estos puntos, primero tenemos que encontrar las bisectrices de segmentos de y y entonces el punto donde se cruzan estas líneas. Por tanto, las coordenadas de se obtienen resolviendo un sistema lineal de dos ecuaciones:
donde , para .
Considere ahora la curva y establezca , y . Para el segundo orden en , tenemos
y una expresión similar para y donde se invierte el signo de . Desarrollando la ecuación y agrupando los términos en y , obtenemos
Denotando , la primera ecuación significa que es ortogonal al vector tangente unitario en :
La segunda relación significa que
donde
es el vector de curvatura. En geometría plana, es ortogonal a porque
Por tanto, el radio del círculo osculador es precisamente el inverso de la curvatura.
Resolviendo la ecuación para las coordenadas de , encontramos
Círculo osculante como problema de minimización
Considere una curva definida intrínsecamente por la ecuación
que podemos imaginar como la sección de la superficie por el plano . La normal a la curva en un punto es el gradiente en este punto.
Por lo tanto, los centros de los círculos tangentes están dados por
donde es el parámetro. Para un dado, el radio de es
Deseamos encontrar, entre todos los círculos posibles , el que mejor se
adapte a la curva.
Las coordenadas de un punto se pueden escribir como
donde para , , es decir,
Considere ahora un punto cercano a , donde está su "ángulo" . Desarrollando las funciones trigonométricas de segundo orden y usando las relaciones anteriores, las coordenadas de son
Ahora podemos evaluar la función en el punto y su variación
. La variación es de cero al primer orden en por construcción (al primer orden en , está en la línea tangente a la curva ). La variación proporcional a es
y esta variación es cero si elegimos
Por lo tanto, el radio del círculo osculante es
Para una función explícita , encontramos los resultados de la sección anterior.
Propiedades
Para una curva C dada por un suficientemente lisa ecuaciones paramétricas (dos veces continuamente diferenciable), el círculo osculador se puede obtener por un procedimiento de limitación: es el límite de los círculos que pasan a través de tres puntos distintos en C como estos puntos se acercan a P . Esto es totalmente análoga a la construcción de la tangente a una curva como un límite de las líneas secantes a través de pares de puntos distintos en C acercarse P .
El círculo osculador S a una curva plana C en un punto regular P se puede caracterizar por las siguientes propiedades:
- El círculo S pasa a través de P .
- El círculo S y la curva C tienen la línea tangente común en P y, por lo tanto, la línea normal común.
- Cerca de P , la distancia entre los puntos de la curva C y el círculo S en la dirección normal decae a medida que el cubo o una potencia mayor de la distancia a P en la dirección tangencial.
Esto se expresa por lo general como "la curva y su círculo osculador tienen la segunda o de orden superior de contacto " en P . Hablando sin apretar, las funciones vectoriales que representan C y S de acuerdo junto con sus primeras y segundas derivadas en P .
Si la derivada de la curvatura con respecto a s es distinto de cero en P , entonces el círculo osculador cruza la curva C en P . Los puntos P en los que la derivada de la curvatura es cero se denominan vértices . Si P es un vértice, entonces C y su círculo osculador tienen un contacto de orden de al menos tres. Si, además, la curvatura tiene un máximo o mínimo local distinto de cero en P, entonces el círculo osculador toca la curva C en P pero no la cruza.
La curva C puede obtenerse como la envolvente de la familia de un parámetro de sus círculos osculantes. Sus centros, es decir, los centros de curvatura, forman otra curva, llamado el evolute de C . Los vértices de C corresponden a puntos singulares en su evoluta.
Dentro de cualquier arco de una curva C dentro de la cual la curvatura es monótona (es decir, lejos de cualquier vértice de la curva), los círculos osculantes son todos disjuntos y anidados entre sí. Este resultado se conoce como teorema de Tait-Kneser .
Ejemplos de
Parábola
El círculo osculador de la parábola en su vértice tiene un radio de 0.5 y un contacto de cuarto orden.
Por la parábola
el radio de curvatura es
En el vértice, el radio de curvatura es igual a R (0) = 0.5 (ver figura). La parábola tiene contacto de cuarto orden con su círculo osculador allí. Para t grande, el radio de curvatura aumenta ~ t 3 , es decir, la curva se endereza cada vez más.
Curva de Lissajous
Una curva de Lissajous con una relación de frecuencias (3: 2) se puede parametrizar de la siguiente manera
Tiene curvatura con signo k ( t ), vector unitario normal N ( t ) y radio de curvatura R ( t ) dado por
y
Consulte la figura para ver una animación. Allí, el "vector de aceleración" es la segunda derivada con respecto a la longitud del arco s .
Cicloide
Cicloide (azul), su círculo osculador (rojo) y evoluta (verde).
Una cicloide con radio r se puede parametrizar de la siguiente manera:
Su curvatura viene dada por la siguiente fórmula:
lo que da:
Ver también
Notas
Otras lecturas
Para algunas notas históricas sobre el estudio de la curvatura, consulte
Para la aplicación a vehículos de maniobra, consulte
enlaces externos