Karl Georg Christian von Staudt - Karl Georg Christian von Staudt

Karl GC von Staudt
Karl von Staudt (1798-1867)
Nació	24 de enero de 1798 ( 24/01/1798 ) Ciudad imperial libre de Rothenburg (actual Rothenburg ob der Tauber , Alemania )
Murió	1 de junio de 1867 (69 años) ( 07 de julio de 1867 ) Erlangen
Nacionalidad	alemán
alma mater	Universidad de Erlangen
Conocido por	Álgebra de tiros teorema de von Staudt-Clausen
Carrera científica
Los campos	Matemáticas astronómicas
Asesor de doctorado	Gauss
Influencias	Gauss
Influenciado	Eduardo Torroja Caballe Corrado Segre Mario Pieri

Karl Georg Christian von Staudt (24 de enero de 1798 - 1 de junio de 1867) fue un matemático alemán que utilizó la geometría sintética para sentar las bases de la aritmética.

Vida e influencia

Karl nació en la Ciudad Imperial Libre de Rothenburg, que ahora se llama Rothenburg ob der Tauber en Alemania. A partir de 1814 estudió en el Gymnasium de Ausbach. Asistió a la Universidad de Göttingen de 1818 a 1822 donde estudió con Gauss, quien era director del observatorio. Staudt proporcionó una efeméride para las órbitas de Marte y el asteroide Pallas . Cuando en 1821 se observó el cometa Nicollet-Pons, proporcionó los elementos de su órbita . Estos logros en astronomía le valieron su doctorado de la Universidad de Erlangen en 1822.

La carrera profesional de Staudt comenzó como profesor de secundaria en Würzburg hasta 1827 y luego en Nuremberg hasta 1835. Se casó con Jeanette Dreschler en 1832. Tuvieron un hijo Eduard y una hija Mathilda, pero Jeanette murió en 1848.

El libro Geometrie der Lage (1847) fue un hito en la geometría proyectiva . Como escribió Burau (1976):

Staudt fue el primero en adoptar un enfoque completamente riguroso. Sin excepción, sus predecesores todavía hablaban de distancias, perpendiculares, ángulos y otras entidades que no juegan ningún papel en la geometría proyectiva.

Además, este libro (página 43) usa el cuadrilátero completo para "construir el cuarto armónico asociado con tres puntos en una línea recta", el conjugado armónico proyectivo .

De hecho, en 1889 Mario Pieri tradujo a von Staudt, antes de escribir su I Principii della Geometrie di Posizione Composti in un Systema Logico-deduttivo (1898). En 1900, Charlotte Scott de Bryn Mawr College parafraseó gran parte del trabajo de von Staudt en inglés para The Mathematical Gazette . Cuando Wilhelm Blaschke publicó su libro de texto Geometría proyectiva en 1948, se colocó un retrato del joven Karl frente al Vorwort .

Staudt fue más allá de la geometría proyectiva real y entró en un espacio proyectivo complejo en sus tres volúmenes de Beiträge zur Geometrie der Lage publicados de 1856 a 1860.

En 1922, HF Baker escribió sobre el trabajo de von Staudt:

Fue para von Staudt para quien la eliminación de las ideas de distancia y congruencia era un objetivo consciente, si, además, el reconocimiento de la importancia de esto podría haberse retrasado mucho salvo por el trabajo de Cayley y Klein sobre la teoría proyectiva de la distancia. . Generalizados, y combinados con la posterior disertación de Riemann, los volúmenes de Staudt deben considerarse la base de lo que, en su lado geométrico, la Teoría de la Relatividad, en Física, puede llegar a ser todavía.

Von Staudt también es recordado por su visión de las secciones cónicas y la relación de polo y polar :

Von Staudt hizo el importante descubrimiento de que la relación que establece una cónica entre polos y polares es realmente más fundamental que la cónica misma y puede establecerse de forma independiente. Esta "polaridad" se puede utilizar para definir la cónica, de una manera perfectamente simétrica e inmediatamente auto-dual: una cónica es simplemente el lugar geométrico de los puntos que se encuentran en sus polos, o la envoltura de las líneas que pasan a través de sus polos. . El tratamiento de Von Staudt de los cuádricos es análogo, en tres dimensiones.

Álgebra de lanzamientos

En 1857, en el segundo Beiträge , von Staudt contribuyó con una ruta de numeración a través de la geometría llamada álgebra de tiros ( alemán : Wurftheorie ). Se basa en el rango proyectivo y la relación de conjugados armónicos proyectivos . Mediante operaciones de suma y multiplicación de puntos, se obtiene un "álgebra de puntos", como en el capítulo 6 del libro de texto de Veblen & Young sobre geometría proyectiva. La presentación habitual se basa en la relación cruzada ( CA, BD ) de cuatro puntos colineales. Por ejemplo, Coolidge escribió:

¿Cómo sumamos dos distancias? Les damos el mismo punto de partida, encontramos el punto medio entre sus puntos terminales, es decir, el conjugado armónico del infinito con respecto a sus puntos terminales, y luego encontramos el conjugado armónico del punto inicial con respecto a este medio. punto e infinito. Generalizando esto, si deseamos sumar tiros ( CA, BD ) y ( CA, BD ' ), encontramos M el conjugado armónico de C con respecto a D y D' , y luego S el conjugado armónico de A con respecto a C y M  :

${\ Displaystyle (CA, BD) + (CA, BD ') = (CA, BS). \}$

De la misma forma podemos encontrar una definición del producto de dos lanzamientos. Como el producto de dos números tiene la misma razón con uno de ellos que el otro con la unidad, la razón de dos números es la razón cruzada que ellos, como par, tienen con el infinito y el cero, por lo que Von Staudt, en la notación anterior, define el producto de dos lanzamientos por

${\ Displaystyle (CA, BD) \ cdot (CA, DD ') = (CA, BD').}$

Estas definiciones implican una larga serie de pasos para mostrar que el álgebra así definida obedece a las leyes conmutativas, asociativas y distributivas habituales, y que no hay divisores de cero.

Veblen & Young da un enunciado resumido como Teorema 10: "El conjunto de puntos en una línea, con eliminado, forma un campo con respecto a las operaciones previamente definidas". Como señala Freudenthal ${\ Displaystyle P _ {\ infty}}$

... hasta Hilbert, no hay otro ejemplo de una derivación tan directa de las leyes algebraicas a partir de axiomas geométricos como se encuentra en el Beiträge de von Staudt .

Otra afirmación del trabajo de von Staudt con los conjugados armónicos viene en forma de teorema:

La única correspondencia uno a uno entre los puntos reales de una línea que conserva la relación armónica entre cuatro puntos es una proyectividad no singular.

El álgebra de lanzamientos se describió como "aritmética proyectiva" en Los cuatro pilares de la geometría (2005). En una sección llamada "Aritmética proyectiva", dice

La verdadera dificultad es que la construcción de a + b , por ejemplo, es diferente de la construcción de b + a , por lo que es una "coincidencia" si a + b = b + a . De manera similar, es una "coincidencia" si ab = ba , de cualquier otra ley del álgebra se cumple. Afortunadamente, podemos demostrar que las coincidencias requeridas realmente ocurren, porque están implícitas en ciertas coincidencias geométricas, a saber, los teoremas de Pappus y Desargues.

Si uno interpreta el trabajo de von Staudt como una construcción de los números reales , entonces está incompleto. Una de las propiedades necesarias es que una secuencia acotada tiene un punto de agrupación . Como observó Hans Freudenthal :

Para poder considerar el enfoque de von Staudt como un fundamento riguroso de la geometría proyectiva, basta con agregar explícitamente los axiomas topológicos que tácitamente usa von Staudt. ... ¿cómo se puede formular la topología del espacio proyectivo sin el apoyo de una métrica? Von Staudt todavía estaba lejos de plantear esta cuestión, que un cuarto de siglo después se volvería urgente. ... Felix Klein notó la brecha en el enfoque de von Staudt; era consciente de la necesidad de formular la topología del espacio proyectivo independientemente del espacio euclidiano ... los italianos fueron los primeros en encontrar soluciones verdaderamente satisfactorias para el problema de una base puramente proyectiva de la geometría proyectiva, que von Staudt había tratado de resolver. .

Uno de los matemáticos italianos fue Giovanni Vailati, quien estudió la propiedad del orden circular de la línea proyectiva real. La ciencia de este orden requiere una relación cuaternaria llamada relación de separación . Usando esta relación, los conceptos de secuencia monótona y límite se pueden abordar, en una "línea" cíclica. Suponiendo que cada secuencia monótona tiene un límite, la línea se convierte en un espacio completo . Estos desarrollos se inspiraron en las deducciones de von Staudt de axiomas de campo como una iniciativa en la derivación de propiedades de ℝ a partir de axiomas en geometría proyectiva.

Obras

• 1831: Über die Kurven, 2. Ordnung . Nuremberg
• 1845: De numeris Bernoullianis: commentationem alteram pro loco in facultate philosophica rite obtinendo , Carol. G. Chr. de Staudt. Erlangae: Junge.
• 1845: De numeris Bernoullianis: loci in senatu academico rite obtinendi causa commentatus est, Carol. G. Chr. de Staudt. Erlangae: Junge.

Los siguientes enlaces son para monografías históricas de matemáticas de la Universidad de Cornell :

• 1847: Geometrie der Lage . Nuremberg.
• 1856: Beiträge zur Geometrie der Lage, Erstes Heft . Nuremberg.
• 1857: Beiträge zur Geometrie der Lage, Zweites Heft . Nuremberg.
• 1860: Beiträge zur Geometrie der Lage, Drittes Heft . Nuremberg.

Ver también

• Curva en W

Referencias

• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Karl George Christian von Staudt" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
• Veblen, Oswald; Joven, JWA (1938). Geometría proyectiva . Boston: Ginn & Co. ISBN 978-1-4181-8285-4.
• John Wesley Young (1930) Geometría proyectiva , Capítulo 8: Álgebra de puntos e introducción de métodos analíticos, Open Court para la Asociación Matemática de América .