Ventana de Kaiser - Kaiser window

La ventana de Kaiser para varios valores de su parámetro

La ventana Kaiser , también conocida como ventana Kaiser-Bessel , fue desarrollada por James Kaiser en Bell Laboratories . Es una familia de funciones de ventana de un parámetro que se utiliza en el diseño de filtros de respuesta de impulso finito y análisis espectral . La ventana de Kaiser se aproxima a la ventana DPSS que maximiza la concentración de energía en el lóbulo principal pero que es difícil de calcular.

Definición

La ventana de Kaiser y su transformada de Fourier están dadas por:

${\ Displaystyle w_ {0} (x) \ triangleq \ left \ {{\ begin {array} {ccl} {\ frac {I_ {0} \ left [\ pi \ alpha {\ sqrt {1- \ left (2x / L \ right) ^ {2}}} \ right]} {I_ {0} [\ pi \ alpha]}}, \ quad & \ left | x \ right | \ leq L / 2 \\ 0, \ quad & \ left | x \ right |> L / 2 \ end {matriz}} \ right \} \ quad {\ stackrel {\ mathcal {F}} {\ Longleftrightarrow}} \ quad {\ frac {L \ cdot \ sinh \ left (\ pi \ alpha {\ sqrt {1- \ left (Lf \ right / \ alpha) ^ {2}}} \ right)} {I_ {0} (\ pi \ alpha) \ cdot \ pi \ alpha {\ sqrt {1- \ left (Lf \ right / \ alpha) ^ {2}}}}}.}$  

Transformadas de Fourier de dos ventanas de Kaiser

dónde:

• I ₀ es la función de Bessel modificada de orden cero del primer tipo,
• L es la duración de la ventana y
• α es un número real no negativo que determina la forma de la ventana. En el dominio de la frecuencia, determina el equilibrio entre el ancho del lóbulo principal y el nivel del lóbulo lateral, que es una decisión central en el diseño de ventanas.
• A veces, la ventana de Kaiser está parametrizada por β , donde β = πα .

Para el procesamiento de señales digitales , la función se puede muestrear simétricamente como:

${\ Displaystyle w [n] = w_ {0} \ left ({\ tfrac {L} {N}} (nN / 2) \ right) = {\ frac {I_ {0} \ left [\ pi \ alpha { \ sqrt {1- \ left ({\ frac {2n} {N}} - 1 \ right) ^ {2}}} \ right]} {I_ {0} [\ pi \ alpha]}}, \ quad 0 \ leq n \ leq N,}$

donde es la longitud de la ventana y N puede ser par o impar. (ver una lista de funciones de ventana ) ${\ Displaystyle N + 1,}$

En la transformada de Fourier, el primer nulo después del lóbulo principal ocurre en el que está en unidades de N ("bins" de DFT). A medida que α aumenta, el lóbulo principal aumenta de ancho y los lóbulos laterales disminuyen en amplitud.  α  = 0 corresponde a una ventana rectangular. Para α grande , la forma de la ventana de Kaiser (tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia) tiende a una curva gaussiana . La ventana de Kaiser es casi óptima en el sentido de la concentración máxima alrededor de la frecuencia 0 . ${\ Displaystyle f = {\ tfrac {\ sqrt {1+ \ alpha ^ {2}}} {L}},}$${\ Displaystyle {\ sqrt {1+ \ alpha ^ {2}}}}$

Ventana derivada de Kaiser-Bessel (KBD)

Una función de ventana relacionada es la ventana derivada de Kaiser-Bessel (KBD) , que está diseñada para ser adecuada para su uso con la transformada de coseno discreta modificada (MDCT). La función de la ventana KBD se define en términos de la ventana de Kaiser de longitud N +1, mediante la fórmula :

${\ Displaystyle d_ {n} = {\ begin {cases} {\ sqrt {\ frac {\ sum _ {i = 0} ^ {n} w [i]} {\ sum _ {i = 0} ^ {N } w [i]}}} & {\ mbox {if}} 0 \ leq n <N \\ {\ sqrt {\ frac {\ sum _ {i = 0} ^ {2N-1-n} w [i ]} {\ sum _ {i = 0} ^ {N} w [i]}}} & {\ mbox {if}} N \ leq n \ leq 2N-1 \\ 0 & {\ mbox {de otro modo}}. \\\ end {cases}}}$

Esto define una ventana de longitud 2 N , donde por construcción d _n satisface la condición de Princen-Bradley para la TCMD (usando el hecho de que w _{N - n} = w _n ): d _n ² + ( d _{n + N} ) ² = 1 (interpretando n y n  +  N módulo 2 N ). La ventana KBD también es simétrica de la manera adecuada para la MDCT: d _n  =  d _{2 N −1− n} .

Aplicaciones

La ventana KBD se utiliza en el formato de audio digital Advanced Audio Coding .

Referencias

Otras lecturas

• Kaiser, James F .; Schafer, Ronald W. (1980). "Sobre el uso de la ventana I ₀ -sinh para el análisis de espectro". Transacciones IEEE sobre acústica, habla y procesamiento de señales . 28 : 105-107. doi : 10.1109 / TASSP.1980.1163349 .
• Smith, JO (2011). "Procesamiento de señal de audio espectral, Kaiser y DPSS Windows comparado" . ccrma.stanford.edu . Consultado el 13 de abril de 2016 .
• Smith, JO (2011). "Procesamiento de señal de audio espectral, ventana de Kaiser" . ccrma.stanford.edu . Consultado el 20 de marzo de 2019 . A veces, la ventana de Kaiser está parametrizada por α, donde β = πα.
• "Ventana de Kaiser, R2018b" . www.mathworks.com . Mathworks . Consultado el 20 de marzo de 2019 .