KR -teoría- KR-theory

En matemáticas, la teoría KR es una variante de la teoría K topológica definida para espacios con una involución . Fue introducido por Atiyah (1966) , motivado por aplicaciones al teorema del índice de Atiyah-Singer para operadores elípticos reales.

Definición

Un espacio real se define como un espacio topológico con una involución. Un conjunto de vectores reales sobre un espacio real X se define como un conjunto de vectores complejos E sobre X que también es un espacio real, de modo que los mapas naturales de E a X y de C × E a E conmutan con la involución, donde el involución actúa como conjugación compleja en C . (Esto difiere de la noción de un conjunto de vectores complejos en la categoría de espacios Z / 2 Z , donde la involución actúa trivialmente sobre C ).

El grupo KR ( X ) es el grupo de Grothendieck de haces vectoriales reales de dimensión finita sobre el espacio real X .

Periodicidad

De manera similar a la periodicidad de Bott , el teorema de periodicidad para KR establece que KR ^{p , q} = KR ^{p +1, q +1} , donde KR ^{p , q} es suspensión con respecto a R ^{p , q} = R ^q + i R ^p (con un interruptor en el orden de p y q ), dada por

${\ Displaystyle KR ^ {p, q} (X, Y) = KR (X \ times B ^ {p, q}, X \ times S ^ {p, q} \ cup Y \ times B ^ {p, q })}$

y B ^{p , q} , S ^{p , q} son la unidad de bola y esfera en R ^{p , q} .

Referencias

• Atiyah, Michael Francis (1966), "Teoría K y realidad" , The Quarterly Journal of Mathematics , Second Series, 17 (1): 367–386, doi : 10.1093 / qmath / 17.1.367 , ISSN   0033-5606 , MR   0206940 , archivado desde el original el 15 de abril de 2013