Número ideal - Ideal number

En teoría de números, un número ideal es un entero algebraico que representa un ideal en el anillo de números enteros de un campo numérico ; la idea fue desarrollada por Ernst Kummer y condujo a la definición de Richard Dedekind de los ideales para los anillos. Un ideal en el anillo de los enteros de un campo de número algebraico es director si consiste en múltiplos de un único elemento del anillo, y nonprincipal lo contrario. Según el teorema del ideal principal, cualquier ideal no principal se convierte en principal cuando se extiende a un ideal del campo de clases de Hilbert . Esto significa que hay un elemento del anillo de números enteros del campo de la clase de Hilbert, que es un número ideal, de manera que el ideal no principal original es igual a la colección de todos los múltiplos de este número ideal por elementos de este anillo de números enteros que se encuentran en el anillo de números enteros del campo original.

Ejemplo

Por ejemplo, digamos y que la raíz de y ² + y + 6 = 0, entonces el anillo de los enteros del campo es , lo que significa todo un + por con un y b números enteros forman el anillo de los enteros. Un ejemplo de un ideal nonprincipal en este anillo es el conjunto de todos los 2 un + YB donde un y b son números enteros; el cubo de este ideal es principal y, de hecho, el grupo de clases es cíclico de orden tres. El campo de clase correspondiente se obtiene adjuntando un elemento w que satisface w ³ - w - 1 = 0 a , dando . Un número ideal para el ideal no principal 2 a + yb es . Dado que esto satisface la ecuación , es un entero algebraico. ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (y)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [y]}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (y)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (y, w)}$${\ Displaystyle \ iota = (- 8-16 años-18 semanas + 12 semanas ^ {2} + 10 años + años ^ {2}) / 23}$${\ Displaystyle \ iota ^ {6} -2 \ iota ^ {5} +13 \ iota ^ {4} -15 \ iota ^ {3} +16 \ iota ^ {2} +28 \ iota + 8 = 0}$

Todos los elementos del anillo de números enteros del campo de clase que cuando se multiplican por ι dan un resultado son de la forma a α +  b β, donde ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [y]}$

${\ Displaystyle \ alpha = (- 7 + 9y-33w-24w ^ {2} + 3yw-2yw ^ {2}) / 23}$

y

${\ Displaystyle \ beta = (- 27-8y-9w + 6w ^ {2} -18yw-11yw ^ {2}) / 23.}$

Los coeficientes α y β también son números enteros algebraicos, satisfaciendo

${\ Displaystyle \ alpha ^ {6} +7 \ alpha ^ {5} +8 \ alpha ^ {4} -15 \ alpha ^ {3} +26 \ alpha ^ {2} -8 \ alpha + 8 = 0}$

y

${\ Displaystyle \ beta ^ {6} +4 \ beta ^ {5} +35 \ beta ^ {4} +112 \ beta ^ {3} +162 \ beta ^ {2} +108 \ beta + 27 = 0}$

respectivamente. Multiplicar a α + b β por el número ideal ι da 2 a + por , que es el ideal no principal.

Historia

Kummer publicó por primera vez el fracaso de la factorización única en campos ciclotómicos en 1844 en una oscura revista; fue reimpreso en 1847 en el diario de Liouville . En artículos posteriores de 1846 y 1847 publicó su teorema principal, la factorización única en números primos (reales e ideales).

Se cree ampliamente que Kummer fue llevado a sus "números complejos ideales" por su interés en el último teorema de Fermat ; incluso hay una historia que se cuenta a menudo de que Kummer, como Lamé , creía que había probado el último teorema de Fermat hasta que Lejeune Dirichlet le dijo que su argumento se basaba en la factorización única; pero la historia fue contada por primera vez por Kurt Hensel en 1910 y la evidencia indica que probablemente se deriva de una confusión de una de las fuentes de Hensel. Harold Edwards dice que la creencia de que Kummer estaba principalmente interesado en el último teorema de Fermat "seguramente está equivocada" (Edwards 1977, p. 79). El uso de Kummer de la letra λ para representar un número primo, α para denotar una λ-ésima raíz de la unidad, y su estudio de la factorización de números primos en "números complejos compuestos por las raíces de la unidad" derivan directamente de un artículo de Jacobi que se ocupa de leyes de mayor reciprocidad . Las memorias de Kummer de 1844 fueron en honor a la celebración del jubileo de la Universidad de Königsberg y fueron un tributo a Jacobi. Aunque Kummer había estudiado el último teorema de Fermat en la década de 1830 y probablemente era consciente de que su teoría tendría implicaciones para su estudio, es más probable que el tema del interés de Jacobi (y Gauss ), las leyes de reciprocidad superior, tuviera más importancia para él. Kummer se refirió a su propia demostración parcial del último teorema de Fermat para los números primos regulares como "una curiosidad de la teoría de números en lugar de un elemento principal" y a la ley de reciprocidad superior (que declaró como una conjetura) como "el tema principal y el pináculo de teoría de números contemporánea ". Por otro lado, este último pronunciamiento se hizo cuando Kummer todavía estaba entusiasmado con el éxito de su trabajo sobre la reciprocidad y cuando su trabajo sobre el último teorema de Fermat se estaba agotando, por lo que tal vez pueda tomarse con cierto escepticismo. ${\ Displaystyle p \ equiv 1 {\ pmod {\ lambda}}}$${\ Displaystyle \ lambda}$

La extensión de las ideas de Kummer al caso general fue llevada a cabo independientemente por Kronecker y Dedekind durante los siguientes cuarenta años. Una generalización directa encontró formidables dificultades y finalmente llevó a Dedekind a la creación de la teoría de módulos e ideales . Kronecker abordó las dificultades desarrollando una teoría de las formas (una generalización de las formas cuadráticas ) y una teoría de los divisores . La contribución de Dedekind se convertiría en la base de la teoría de anillos y el álgebra abstracta , mientras que la de Kronecker se convertiría en las principales herramientas de la geometría algebraica .

Referencias

• Nicolas Bourbaki , Elementos de la historia de las matemáticas. Springer-Verlag, Nueva York, 1999.
• Harold M. Edwards , Último teorema de Fermat. Una introducción genética a la teoría de números. Textos de Posgrado en Matemáticas vol. 50, Springer-Verlag, Nueva York, 1977.
• CG Jacobi, Über die complexen Primzahlen, welche in der theori der Reste der 5ten, 8ten, und 12ten Potenzen zu betrachten sind, Monatsber. der. Akad. Wiss. Berlín (1839) 89-91.
• EE Kummer, De numeris complexis, qui radicibus unitatis et numeris integris realibus constante, Gratulationschrift der Univ. Breslau zur Jubelfeier der Univ. Königsberg, 1844; reimpreso en Jour. de Math. 12 (1847) 185-212.
• EE Kummer, Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, Jour. für Math. (Crelle) 35 (1847) 327-367.
• John Stillwell , introducción a la teoría de los enteros algebraicos por Richard Dedekind. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Gran Bretaña, 1996.

enlaces externos

• Números ideales , prueba de que la teoría de los números ideales guarda la factorización única para los enteros ciclotómicos en el Blog del último teorema de Fermat .