Invariante de Hopf - Hopf invariant
En matemáticas , en particular en topología algebraica , el invariante de Hopf es un invariante de homotopía de ciertos mapas entre n-esferas .
Motivación
En 1931, Heinz Hopf utilizó los paralelos de Clifford para construir el mapa de Hopf
- ,
y demostró que es esencial, es decir, no homotópico al mapa constante, utilizando el hecho de que el número de enlace de los círculos
es igual a 1, para cualquier .
Más tarde se demostró que el grupo de homotopía es el grupo cíclico infinito generado por . En 1951, Jean-Pierre Serre demostró que los grupos de homotopía racional
para una esfera de dimensión impar ( impar) son cero a menos que sea igual a 0 o n . Sin embargo, para una esfera de dimensión uniforme ( n par), hay un poco más de homotopía cíclica infinita en grado .
Definición
Sea un mapa continuo (supongamos ). Entonces podemos formar el complejo celular
donde se adjunta un disco dimensional a via . Los grupos de cadena celulares se acaba de generar libremente en los -Cells en grado , por lo que son en grado 0, y y cero en cualquier otro sitio. La (co-) homología celular es la (co-) homología de este complejo de cadena , y dado que todos los homomorfismos de frontera deben ser cero (recuerde que ), la cohomología es
Denote los generadores de los grupos de cohomología por
- y
Por razones dimensionales, todos los productos de taza entre esas clases deben ser triviales, aparte de . Así, como anillo , la cohomología es
El número entero es el invariante de Hopf del mapa .
Propiedades
Teorema : El mapa es un homomorfismo. Además, si es par, se asigna a .
El invariante de Hopf es para los mapas de Hopf , donde , correspondiente a las álgebras de división reales , respectivamente, y a la fibración que envía una dirección en la esfera al subespacio que abarca. Es un teorema, probado primero por Frank Adams , y posteriormente por Adams y Michael Atiyah con métodos de teoría K topológica , que estos son los únicos mapas con el invariante 1 de Hopf.
Generalizaciones para mapas estables
Se puede definir una noción muy general del invariante de Hopf, pero requiere una cierta cantidad de base teórica de homotopía:
Deje que denote un espacio vectorial y su compactación de un punto , es decir, y
- para algunos .
Si es cualquier espacio puntiagudo (como está implícitamente en la sección anterior), y si tomamos el punto en el infinito como el punto base de , entonces podemos formar los productos de la cuña
- .
Ahora deja
ser un mapa estable, es decir, estable bajo el functor de suspensión reducido . El invariante de Hopf geométrico (estable) de es
- ,
un elemento del grupo de mapas de homotopía estable- equivariante de a . Aquí "estable" significa "estable en suspensión", es decir, el límite directo sobre (o , si se quiere) de los grupos homotopía equivariantes ordinarios; y la -acción es la acción trivial y el cambio de los dos factores . Si dejamos
denotar el mapa diagonal canónico y la identidad, entonces el invariante de Hopf se define por lo siguiente:
Este mapa es inicialmente un mapa de
- a ,
pero por debajo del límite directo se convierte en el elemento anunciado del grupo de mapas equivariante de homotopía estable . También existe una versión inestable del invariante de Hopf , para lo cual se debe realizar un seguimiento del espacio vectorial .
Referencias
- Adams, J. Frank (1960), "Sobre la no existencia de elementos del invariante de Hopf", Annals of Mathematics , 72 (1): 20-104, CiteSeerX 10.1.1.299.4490 , doi : 10.2307 / 1970147 , JSTOR 1970147 , MR 0141119
- Adams, J. Frank ; Atiyah, Michael F. (1966), "K-Theory and the Hopf Invariant", Quarterly Journal of Mathematics , 17 (1): 31–38, doi : 10.1093 / qmath / 17.1.31 , MR 0198460
- Crabb, Michael; Ranicki, Andrew (2006). "El invariante geométrico de Hopf" (PDF) .
- Hopf, Heinz (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche", Mathematische Annalen , 104 : 637–665, doi : 10.1007 / BF01457962 , ISSN 0025-5831
- Shokurov, AV (2001) [1994], "Hopf invariant" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press