Invariante de Hopf - Hopf invariant

En matemáticas , en particular en topología algebraica , el invariante de Hopf es un invariante de homotopía de ciertos mapas entre n-esferas .

Motivación

En 1931, Heinz Hopf utilizó los paralelos de Clifford para construir el mapa de Hopf

${\ Displaystyle \ eta \ colon S ^ {3} \ to S ^ {2}}$,

y demostró que es esencial, es decir, no homotópico al mapa constante, utilizando el hecho de que el número de enlace de los círculos ${\ Displaystyle \ eta}$

${\ Displaystyle \ eta ^ {- 1} (x), \ eta ^ {- 1} (y) \ subconjunto S ^ {3}}$

es igual a 1, para cualquier . ${\ Displaystyle x \ neq y \ en S ^ {2}}$

Más tarde se demostró que el grupo de homotopía es el grupo cíclico infinito generado por . En 1951, Jean-Pierre Serre demostró que los grupos de homotopía racional${\ Displaystyle \ pi _ {3} (S ^ {2})}$${\ Displaystyle \ eta}$

${\ Displaystyle \ pi _ {i} (S ^ {n}) \ otimes \ mathbb {Q}}$

para una esfera de dimensión impar ( impar) son cero a menos que sea ​​igual a 0 o n . Sin embargo, para una esfera de dimensión uniforme ( n par), hay un poco más de homotopía cíclica infinita en grado . ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle 2n-1}$

Definición

Sea un mapa continuo (supongamos ). Entonces podemos formar el complejo celular${\ Displaystyle \ phi \ colon S ^ {2n-1} \ to S ^ {n}}$${\ Displaystyle n> 1}$

${\ Displaystyle C _ {\ phi} = S ^ {n} \ cup _ {\ phi} D ^ {2n},}$

donde se adjunta un disco dimensional a via . Los grupos de cadena celulares se acaba de generar libremente en los -Cells en grado , por lo que son en grado 0, y y cero en cualquier otro sitio. La (co-) homología celular es la (co-) homología de este complejo de cadena , y dado que todos los homomorfismos de frontera deben ser cero (recuerde que ), la cohomología es ${\ Displaystyle D ^ {2n}}$${\ Displaystyle 2n}$${\ Displaystyle S ^ {n}}$${\ Displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle C _ {\ mathrm {celda}} ^ {*} (C _ {\ phi})}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle 2n}$${\ Displaystyle n> 1}$

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {celda}} ^ {i} (C _ {\ phi}) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & i = 0, n, 2n, \\ 0 & {\ mbox {de lo contrario }}. \ end {casos}}}$

Denote los generadores de los grupos de cohomología por

${\ Displaystyle H ^ {n} (C _ {\ phi}) = \ langle \ alpha \ rangle}$ y ${\ Displaystyle H ^ {2n} (C _ {\ phi}) = \ langle \ beta \ rangle.}$

Por razones dimensionales, todos los productos de taza entre esas clases deben ser triviales, aparte de . Así, como anillo , la cohomología es ${\ Displaystyle \ alpha \ smile \ alpha}$

${\ Displaystyle H ^ {*} (C _ {\ phi}) = \ mathbb {Z} [\ alpha, \ beta] / \ langle \ beta \ smile \ beta = \ alpha \ smile \ beta = 0, \ alpha \ sonrisa \ alpha = h (\ phi) \ beta \ rangle.}$

El número entero es el invariante de Hopf del mapa . ${\ Displaystyle h (\ phi)}$${\ Displaystyle \ phi}$

Propiedades

Teorema : El mapa es un homomorfismo. Además, si es par, se asigna a . ${\ Displaystyle h \ colon \ pi _ {2n-1} (S ^ {n}) \ to \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle 2 \ mathbb {Z}}$

El invariante de Hopf es para los mapas de Hopf , donde , correspondiente a las álgebras de división reales , respectivamente, y a la fibración que envía una dirección en la esfera al subespacio que abarca. Es un teorema, probado primero por Frank Adams , y posteriormente por Adams y Michael Atiyah con métodos de teoría K topológica , que estos son los únicos mapas con el invariante 1 de Hopf. ${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle n = 1,2,4,8}$${\ Displaystyle \ mathbb {A} = \ mathbb {R}, \ mathbb {C}, \ mathbb {H}, \ mathbb {O}}$${\ Displaystyle S (\ mathbb {A} ^ {2}) \ to \ mathbb {PA} ^ {1}}$

Generalizaciones para mapas estables

Se puede definir una noción muy general del invariante de Hopf, pero requiere una cierta cantidad de base teórica de homotopía:

Deje que denote un espacio vectorial y su compactación de un punto , es decir, y ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle V ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle V \ cong \ mathbb {R} ^ {k}}$

${\ Displaystyle V ^ {\ infty} \ cong S ^ {k}}$para algunos .${\ Displaystyle k}$

Si es cualquier espacio puntiagudo (como está implícitamente en la sección anterior), y si tomamos el punto en el infinito como el punto base de , entonces podemos formar los productos de la cuña ${\ displaystyle (X, x_ {0})}$${\ Displaystyle V ^ {\ infty}}$

${\ Displaystyle V ^ {\ infty} \ wedge X}$.

Ahora deja

${\ Displaystyle F \ colon V ^ {\ infty} \ wedge X \ to V ^ {\ infty} \ wedge Y}$

ser un mapa estable, es decir, estable bajo el functor de suspensión reducido . El invariante de Hopf geométrico (estable) de es ${\ displaystyle F}$

${\ Displaystyle h (F) \ in \ {X, Y \ wedge Y \} _ {\ mathbb {Z} _ {2}}}$,

un elemento del grupo de mapas de homotopía estable- equivariante de a . Aquí "estable" significa "estable en suspensión", es decir, el límite directo sobre (o , si se quiere) de los grupos homotopía equivariantes ordinarios; y la -acción es la acción trivial y el cambio de los dos factores . Si dejamos ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y \ wedge Y}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y \ wedge Y}$

${\ Displaystyle \ Delta _ {X} \ colon X \ to X \ wedge X}$

denotar el mapa diagonal canónico y la identidad, entonces el invariante de Hopf se define por lo siguiente: ${\ Displaystyle I}$

${\ Displaystyle h (F): = (F \ wedge F) (I \ wedge \ Delta _ {X}) - (I \ wedge \ Delta _ {Y}) (I \ wedge F).}$

Este mapa es inicialmente un mapa de

${\ Displaystyle V ^ {\ infty} \ wedge V ^ {\ infty} \ wedge X}$a ,${\ Displaystyle V ^ {\ infty} \ wedge V ^ {\ infty} \ wedge Y \ wedge Y}$

pero por debajo del límite directo se convierte en el elemento anunciado del grupo de mapas equivariante de homotopía estable . También existe una versión inestable del invariante de Hopf , para lo cual se debe realizar un seguimiento del espacio vectorial . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ Displaystyle h_ {V} (F)}$${\ Displaystyle V}$

Referencias

• Adams, J. Frank (1960), "Sobre la no existencia de elementos del invariante de Hopf", Annals of Mathematics , 72 (1): 20-104, CiteSeerX  10.1.1.299.4490 , doi : 10.2307 / 1970147 , JSTOR  1970147 , MR  0141119
• Adams, J. Frank ; Atiyah, Michael F. (1966), "K-Theory and the Hopf Invariant", Quarterly Journal of Mathematics , 17 (1): 31–38, doi : 10.1093 / qmath / 17.1.31 , MR  0198460
• Crabb, Michael; Ranicki, Andrew (2006). "El invariante geométrico de Hopf" (PDF) .
• Hopf, Heinz (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche", Mathematische Annalen , 104 : 637–665, doi : 10.1007 / BF01457962 , ISSN  0025-5831
• Shokurov, AV (2001) [1994], "Hopf invariant" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press