Ecuación de Hasegawa-Mima - Hasegawa–Mima equation

En física del plasma , la ecuación de Hasegawa-Mima , llamada así por Akira Hasegawa y Kunioki Mima , es una ecuación que describe un cierto régimen de plasma , donde las escalas de tiempo son muy rápidas y la escala de distancia en la dirección del campo magnético es larga. . En particular, la ecuación es útil para describir la turbulencia en algunos tokamaks . La ecuación se introdujo en el artículo de Hasegawa y Mima enviado en 1977 a Physics of Fluids , donde la compararon con los resultados del tokamak ATC.

Supuestos

• El campo magnético es lo suficientemente grande como para:

${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ omega _ {ci}}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} \ ll 1}$

para todas las cantidades de interés. Cuando las partículas del plasma se mueven a través de un campo magnético, giran en círculo alrededor del campo magnético. La frecuencia de oscilación, conocida como frecuencia de ciclotrón o girofrecuencia, es directamente proporcional al campo magnético.${\ Displaystyle \ omega _ {ci}}$

• La densidad de partículas sigue la condición de cuasineutralidad :

${\ Displaystyle n_ {e} \ aproximadamente Zn_ {i} \,}$

donde Z es el número de protones en los iones. Si hablamos de hidrógeno Z = 1, yn es igual para ambas especies. Esta condición es cierta siempre que los electrones puedan proteger los campos eléctricos. Una nube de electrones rodeará cualquier carga con un radio aproximado conocido como longitud de Debye . Por esa razón, esta aproximación significa que la escala de tamaño es mucho mayor que la longitud de Debye. La densidad de partículas iónicas se puede expresar mediante un término de primer orden que es la densidad definida por la ecuación de condición de cuasineutralidad, y un término de segundo orden que es cuánto difiere de la ecuación.

• La densidad de partículas de iones de primer orden es función de la posición, pero no del tiempo. Esto significa que las perturbaciones de la densidad de partículas cambian en una escala de tiempo mucho más lenta que la escala de interés. La densidad de partículas de segundo orden que causa una densidad de carga y, por lo tanto, un potencial eléctrico puede cambiar con el tiempo.
• El campo magnético, B debe ser uniforme en el espacio y no ser una función del tiempo. El campo magnético también se mueve en una escala de tiempo mucho más lenta que la escala de interés. Esto permite que se desprecie la derivada del tiempo en la ecuación de equilibrio del momento.
• La temperatura de los iones debe ser mucho menor que la temperatura de los electrones. Esto significa que la presión iónica se puede despreciar en la ecuación de equilibrio del momento iónico.
• Los electrones siguen una distribución de Boltzmann donde:

${\ Displaystyle n = n_ {0} e ^ {e \ phi / T_ {e}} \,}$

Dado que los electrones pueden moverse libremente a lo largo de la dirección del campo magnético, eliminan los potenciales eléctricos. Esta pantalla hace que se forme una distribución de electrones de Boltzmann alrededor de los potenciales eléctricos.

La ecuacion

La ecuación de Hasegawa-Mima es una ecuación diferencial parcial no lineal de segundo orden que describe el potencial eléctrico. La forma de la ecuación es:

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} \ left (\ nabla ^ {2} \ phi - \ phi \ right) - \ left [\ left (\ nabla \ phi \ times \ mathbf {\ hat {z}} \ right) \ cdot \ nabla \ right] \ left [\ nabla ^ {2} \ phi - \ ln \ left (n_ {0} \ right) \ right] = 0.}$

Aunque se mantiene la condición de cuasi neutralidad, las pequeñas diferencias de densidad entre los electrones y los iones provocan un potencial eléctrico. La ecuación de Hasegawa-Mima se deriva de la ecuación de continuidad:

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial n} {\ parcial t}} + \ nabla \ cdot (n \ mathbf {v}) = 0.}$

La velocidad del fluido se puede aproximar mediante la deriva E cross B:

${\ Displaystyle \ mathbf {v_ {E}} = {\ frac {\ mathbf {E} \ times \ mathbf {B}} {cB ^ {2}}} = {\ frac {- \ nabla \ phi \ times \ mathbf {\ hat {z}}} {cB}}.}$

Los modelos anteriores derivaron sus ecuaciones de esta aproximación. La divergencia de la deriva E cruzada B es cero, lo que mantiene el fluido incompresible. Sin embargo, la compresibilidad del fluido es muy importante para describir la evolución del sistema. Hasegawa y Mima argumentaron que la suposición no era válida. La ecuación de Hasegawa-Mima introduce un término de segundo orden para la velocidad del fluido conocido como deriva de polarización a fin de encontrar la divergencia de la velocidad del fluido. Debido a la suposición de un campo magnético grande, la deriva de polarización es mucho menor que la deriva de E cruzada B. Sin embargo, introduce una física importante.

Para un fluido incompresible bidimensional que no es un plasma, las ecuaciones de Navier-Stokes dicen:

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} \ left (\ nabla ^ {2} \ psi \ right) - \ left [\ left (\ nabla \ psi \ times \ mathbf {\ hat {z }} \ derecha) \ cdot \ nabla \ derecha] \ nabla ^ {2} \ psi = 0}$

después de tomar el rizo de la ecuación de equilibrio del momento. Esta ecuación es casi idéntica a la ecuación de Hasegawa-Mima, excepto que el segundo y cuarto términos se han ido, y el potencial eléctrico se reemplaza con el potencial del vector de velocidad del fluido donde:

${\ Displaystyle \ mathbf {v} = - \ nabla \ psi \ times \ mathbf {\ hat {z}}.}$

Los términos primero y tercero de la ecuación de Hasegawa-Mima, que son iguales a la ecuación de Navier Stokes, son los términos introducidos al sumar la deriva de polarización. En el límite en el que la longitud de onda de una perturbación del potencial eléctrico es mucho menor que el radio del giro en función de la velocidad del sonido, las ecuaciones de Hasegawa-Mima se vuelven iguales a las del fluido incompresible bidimensional.

Normalización

Una forma de comprender una ecuación de manera más completa es comprender a qué se normaliza, lo que le da una idea de las escalas de interés. El tiempo, la posición y el potencial eléctrico se normalizan en t ', x' y${\ Displaystyle \ phi '}$

La escala de tiempo para la ecuación de Hasegawa-Mima es la girofrecuencia iónica inversa:

${\ Displaystyle t '= \ omega _ {ci} t, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ omega _ {ci} = {\ frac {eZB} {m_ {i} c}}.}$

Desde el supuesto de un gran campo magnético, el tiempo normalizado es muy pequeño. Sin embargo, sigue siendo lo suficientemente grande como para obtener información.

La escala de distancia es el radio de giro basado en la velocidad del sonido:

${\ Displaystyle x '= {\ frac {x} {\ rho _ {s}}}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ rho _ {s} ^ {2} \ equiv {\ frac { T_ {e}} {m_ {i} \ omega _ {ci} ^ {2}}}.}$

Si transforma al espacio k, está claro que cuando k, el número de onda, es mucho mayor que uno, los términos que hacen que la ecuación Hasegawa-Mima difieran de la ecuación derivada de la ecuación de Navier-Stokes en un flujo incompresible bidimensional se vuelven mucho más pequeño que el resto.

A partir de las escalas de distancia y tiempo, podemos determinar la escala de velocidades. Esta resulta ser la velocidad del sonido. La ecuación de Hasegawa-Mima nos muestra la dinámica de los sonidos que se mueven rápidamente en contraposición a la dinámica más lenta, como los flujos, que se capturan en las ecuaciones de MHD . El movimiento es incluso más rápido que la velocidad del sonido dado que las escalas de tiempo son mucho más pequeñas que la normalización de tiempo.

El potencial se normaliza a:

${\ Displaystyle \ phi '= {\ frac {e \ phi} {T_ {e}}}.}$

Dado que los electrones se ajustan a un Maxwelliano y se mantiene la condición de cuasineutralidad, este potencial normalizado es pequeño, pero de orden similar a la derivada del tiempo normalizada.

La ecuación completa sin normalización es:

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ omega _ {ci}}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} \ left (\ rho _ {s} ^ {2} \ nabla ^ {2} {\ frac {e \ phi} {T_ {e}}} - {\ frac {e \ phi} {T_ {e}}} \ right) - \ left [\ left (\ rho _ {s} \ nabla { \ frac {e \ phi} {T_ {e}}} \ times \ mathbf {\ hat {z}} \ right) \ cdot \ rho _ {s} \ nabla \ right] \ left [\ rho _ {s} ^ {2} \ nabla ^ {2} {\ frac {e \ phi} {T_ {e}}} - \ ln \ left ({\ frac {n_ {0}} {\ omega _ {ci}}} \ derecha) \ derecha] = 0.}$

Aunque la derivada del tiempo dividida por la frecuencia del ciclotrón es mucho menor que la unidad, y el potencial eléctrico normalizado es mucho menor que la unidad, siempre que el gradiente sea del orden de uno, ambos términos son comparables al término no lineal. El gradiente de densidad no perturbado también puede ser tan pequeño como el potencial eléctrico normalizado y ser comparable a los otros términos.

Otras formas de la ecuación

A menudo, la ecuación de Hasegawa-Mima se expresa en una forma diferente utilizando corchetes de Poisson . Estos corchetes de Poisson se definen como:

${\ estilo de visualización \ izquierda [A, B \ derecha] \ equiv {\ frac {\ parcial A} {\ parcial x}} {\ frac {\ parcial B} {\ parcial y}} - {\ frac {\ parcial A } {\ parcial y}} {\ frac {\ parcial B} {\ parcial x}}.}$

Usando estos corchetes de Poisson , la ecuación se puede volver a expresar como:

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} \ left (\ nabla ^ {2} \ phi - \ phi \ right) + \ left [\ phi, \ nabla ^ {2} \ phi \ right ] - \ left [\ phi, \ ln \ left ({\ frac {n_ {0}} {\ omega _ {ci}}} \ right) \ right] = 0.}$

A menudo, se supone que la densidad de las partículas varía uniformemente solo en una dirección, y la ecuación se escribe de una forma ligeramente diferente. El corchete de Poisson que incluye la densidad se reemplaza con la definición del corchete de Poisson, y una constante reemplaza la derivada del término dependiente de la densidad.

Cantidades conservadas

Hay dos cantidades que se conservan en un fluido incompresible bidimensional. La energía cinética :

${\ Displaystyle \ int \ left (\ nabla \ psi \ right) ^ {2} dV = \ int v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} \, dV.}$

Y la enstrofia :

${\ Displaystyle \ int \ left (\ nabla ^ {2} \ psi \ right) ^ {2} \, dV = \ int \ left (\ nabla \ times \ mathbf {v} \ right) ^ {2} \, dV.}$

Para la ecuación de Hasegawa-Mima, también hay dos cantidades conservadas, que están relacionadas con las cantidades anteriores. La energía generalizada:

${\ Displaystyle \ int \ left [\ phi ^ {2} + \ left (\ nabla \ phi \ right) ^ {2} \ right] \, dV.}$

Y la enstrofia generalizada:

${\ Displaystyle \ int \ left [\ left (\ nabla \ phi \ right) ^ {2} + \ left (\ nabla ^ {2} \ phi \ right) ^ {2} \ right] \, dV.}$

En el límite donde la ecuación de Hasegawa-Mima es igual a un fluido incompresible, la energía generalizada y la enstrofia se vuelven iguales a la energía cinética y la enstrofia.

Ver también

• Magnetohidrodinámica
• Ecuaciones de Navier-Stokes
• Plasma (física)
• Turbulencia

Referencias

• Hasegawa, Akira; Mima, Kunioki (1978). "Turbulencia pseudo-tridimensional en plasma no uniforme magnetizado". Física de fluidos . Publicaciones AIP. 21 (1): 87–92. doi : 10.1063 / 1.862083 . ISSN  0031-9171 .
• Hasegawa, Akira; Mima, Kunioki (25 de julio de 1977). "Espectro estacionario de fuerte turbulencia en plasma no uniforme magnetizado". Cartas de revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 39 (4): 205-208. doi : 10.1103 / physrevlett.39.205 . ISSN  0031-9007 .

enlaces externos

• http://www.ipp.mpg.de/~fsj/PAPERS_1/tutorial_3.pdf