Función generadora (física) - Generating function (physics)

En física, y más específicamente en la mecánica hamiltoniana , una función generadora es, vagamente, una función cuyas derivadas parciales generan las ecuaciones diferenciales que determinan la dinámica de un sistema. Ejemplos comunes son la función de partición de la mecánica estadística, el hamiltoniano, y la función que actúa como puente entre dos conjuntos de variables canónicas cuando se realiza una transformación canónica .

En transformaciones canónicas

Hay cuatro funciones generadoras básicas, resumidas en la siguiente tabla:

Función generadora	Sus derivados
${\ Displaystyle F = F_ {1} (q, Q, t) \, \!}$	${\ Displaystyle p = ~~ {\ frac {\ parcial F_ {1}} {\ parcial q}} \, \!}$ y ${\ Displaystyle P = - {\ frac {\ parcial F_ {1}} {\ parcial Q}} \, \!}$
${\ Displaystyle F = F_ {2} (q, P, t) = F_ {1} + QP \, \!}$	${\ Displaystyle p = ~~ {\ frac {\ parcial F_ {2}} {\ parcial q}} \, \!}$ y ${\ Displaystyle Q = ~~ {\ frac {\ parcial F_ {2}} {\ parcial P}} \, \!}$
${\ Displaystyle F = F_ {3} (p, Q, t) = F_ {1} -qp \, \!}$	${\ Displaystyle q = - {\ frac {\ parcial F_ {3}} {\ parcial p}} \, \!}$ y ${\ Displaystyle P = - {\ frac {\ parcial F_ {3}} {\ parcial Q}} \, \!}$
${\ Displaystyle F = F_ {4} (p, P, t) = F_ {1} -qp + QP \, \!}$	${\ Displaystyle q = - {\ frac {\ parcial F_ {4}} {\ parcial p}} \, \!}$ y ${\ Displaystyle Q = ~~ {\ frac {\ parcial F_ {4}} {\ parcial P}} \, \!}$

Ejemplo

A veces, un hamiltoniano dado se puede convertir en uno que se parece al hamiltoniano del oscilador armónico , que es

${\ Displaystyle H = aP ^ {2} + bQ ^ {2}.}$

Por ejemplo, con el hamiltoniano

${\ Displaystyle H = {\ frac {1} {2q ^ {2}}} + {\ frac {p ^ {2} q ^ {4}} {2}},}$

donde p es el momento generalizado yq es la coordenada generalizada, una buena transformación canónica para elegir sería

${\ Displaystyle P = pq ^ {2} {\ text {y}} Q = {\ frac {-1} {q}}. \,}$

( 1 )

Esto convierte al hamiltoniano en

${\ Displaystyle H = {\ frac {Q ^ {2}} {2}} + {\ frac {P ^ {2}} {2}},}$

que tiene la forma del oscilador armónico hamiltoniano.

La función generadora F para esta transformación es del tercer tipo,

${\ Displaystyle F = F_ {3} (p, Q).}$

Para encontrar F explícitamente, use la ecuación para su derivada de la tabla anterior,

${\ Displaystyle P = - {\ frac {\ parcial F_ {3}} {\ parcial Q}},}$

y sustituir la expresión para P de la ecuación ( 1 ), expresado en términos de p y Q :

${\ Displaystyle {\ frac {p} {Q ^ {2}}} = - {\ frac {\ parcial F_ {3}} {\ parcial Q}}}$

Integrar esto con respecto a Q da como resultado una ecuación para la función generadora de la transformación dada por la ecuación ( 1 ):

${\ Displaystyle F_ {3} (p, Q) = {\ frac {p} {Q}}}$

Para confirmar que esta es la función de generación correcta, verifique que coincida ( 1 ):

${\ Displaystyle q = - {\ frac {\ parcial F_ {3}} {\ parcial p}} = {\ frac {-1} {Q}}}$

Ver también

• Ecuación de Hamilton-Jacobi
• Soporte de Poisson

Referencias

Otras lecturas

• Goldstein, Herbert; Poole, CP; Safko, JL (2001). Mecánica clásica (3ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-65702-9.