Transformada de Gabor - Gabor transform

La transformada de Gabor , que lleva el nombre de Dennis Gabor , es un caso especial de la transformada de Fourier de corta duración . Se utiliza para determinar la frecuencia sinusoidal y el contenido de fase de las secciones locales de una señal a medida que cambia con el tiempo. La función que se va a transformar se multiplica primero por una función gaussiana , que se puede considerar como una función de ventana , y luego la función resultante se transforma con una transformada de Fourier para derivar el análisis de tiempo-frecuencia . La función de ventana significa que la señal cercana al tiempo que se está analizando tendrá mayor peso. La transformada de Gabor de una señal x ( t ) se define mediante esta fórmula:

${\ Displaystyle G_ {x} (\ tau, \ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- \ pi (t- \ tau) ^ {2}} e ^ {- j \ omega t} \, dt}$

La función gaussiana tiene un rango infinito y su implementación no es práctica. Sin embargo, se puede elegir un nivel de significancia (por ejemplo, 0,00001) para la distribución de la función gaussiana.

${\ Displaystyle {\ begin {cases} e ^ {- {\ pi} a ^ {2}} \ geq 0.00001; & \ left | a \ right | \ leq 1.9143 \\ e ^ {- {\ pi} a ^ {2}} <0.00001; & \ left | a \ right |> 1.9143 \ end {cases}}}$

Fuera de estos límites de integración ( ), la función gaussiana es lo suficientemente pequeña como para ser ignorada. Por tanto, la transformada de Gabor puede aproximarse satisfactoriamente como ${\ Displaystyle \ left | a \ right |> 1.9143}$

${\ Displaystyle G_ {x} (\ tau, \ omega) = \ int _ {- 1.9143+ \ tau} ^ {1.9143+ \ tau} x (t) e ^ {- \ pi (t- \ tau) ^ { 2}} e ^ {- j \ omega t} \, dt}$

Esta simplificación hace que la transformación de Gabor sea práctica y realizable.

El ancho de la función de ventana también se puede variar para optimizar el compromiso de resolución de tiempo-frecuencia para una aplicación en particular reemplazando el con para algunos elegidos . ${\ Displaystyle {- {\ pi} (t- \ tau) ^ {2}}}$${\ Displaystyle {- {\ pi} \ alpha (t- \ tau) ^ {2}}}$${\ Displaystyle \ alpha}$

Transformada inversa de Gabor

La transformada de Gabor es invertible; la señal original se puede recuperar mediante la siguiente ecuación

${\ Displaystyle x (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} G_ {x} (\ tau, \ omega) e ^ {j \ omega t + \ pi (t- \ tau) ^ {2 }} \, d \ omega / (2 \ pi)}$

Propiedades de la transformada de Gabor

La transformada de Gabor tiene muchas propiedades como las de la transformada de Fourier. Estas propiedades se enumeran en las siguientes tablas.

	Señal	Transformada de Gabor	Observaciones
	${\ Displaystyle x (t) \,}$	${\ Displaystyle G_ {x} (\ tau, \ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- \ pi (t- \ tau) ^ {2}} e ^ {- j \ omega t} \, dt}$
1	${\ Displaystyle a \ cdot x (t) + b \ cdot y (t) \,}$	${\ Displaystyle a \ cdot G_ {x} (\ tau, \ omega) + b \ cdot G_ {y} (\ tau, \ omega) \,}$	Propiedad de linealidad
2	${\ Displaystyle x (t-t_ {0}) \,}$	${\ Displaystyle G_ {x} (\ tau -t_ {0}, \ omega) e ^ {- j \ omega t_ {0}} \,}$	Cambio de propiedad
3	${\ Displaystyle x (t) e ^ {j \ omega _ {0} t} \,}$	${\ Displaystyle G_ {x} (\ tau, \ omega - \ omega _ {0}) \,}$	Propiedad de modulación

		Observaciones
1	${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | G_ {x} (\ tau, \ omega) \ right | ^ {2} \, d \ omega = \ int _ {- \ infty } ^ {\ infty} \ left | x (t) \ right | ^ {2} e ^ {- 2 \ pi (t- \ tau) ^ {2}} dt \ approx \ int _ {\ tau -1.9143} ^ {\ tau +1.9143} \ left | x (t) \ right | ^ {2} e ^ {- 2 \ pi (t- \ tau) ^ {2}} dt}$	Propiedad de integración de energía
2	${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} G_ {x} (\ tau, \ omega) G_ {y} ^ {*} (\ tau, \ omega) \, d \ omega \, d \ tau = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) y ^ {*} (t) \, d \ tau}$	Propiedad de suma de energía
3	${\ displaystyle {\ begin {cases} \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | G_ {x} (\ tau, \ omega) \ right | ^ {2} d \ omega <e ^ {- 2 \ pi (t-t_ {0}) ^ {2}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | G_ {x} (\ tau _ {0}, \ omega) \ right | ^ {2} \, d \ omega; & {\ text {if}} x (t) = 0 {\ text {for}} t> t_ {0} \\ [12pt] \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | G_ {x} (\ tau, \ omega) \ right | ^ {2} \, d \ tau <e ^ {- (\ omega - \ omega _ {0 }) ^ {2}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | G_ {x} (\ tau, \ omega _ {0}) \ right | ^ {2} \, d \ tau ; & {\ text {if}} X (\ omega) = FT [x (t)] = 0 {\ text {for}} \ omega> \ omega _ {0} \ end {cases}}}$	Propiedad de decaimiento de energía
4	${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} G_ {x} (\ tau, \ omega) e ^ {j \ omega t} \, d \ omega = 2 \ pi e ^ {- \ pi \ tau ^ {2}} x (0)}$	Propiedad de recuperación

Aplicación y ejemplo

La principal aplicación de la transformada de Gabor se utiliza en el análisis de tiempo-frecuencia . Tome la siguiente ecuación como ejemplo. La señal de entrada tiene un componente de frecuencia de 1 Hz cuando t  ≤ 0 y tiene un componente de frecuencia de 2 Hz cuando t  > 0

${\ Displaystyle x (t) = {\ begin {cases} \ cos (2 \ pi t) & {\ text {for}} t \ leq 0, \\\ cos (4 \ pi t) & {\ text { para}} t> 0. \ end {cases}}}$

Pero si el ancho de banda total disponible es de 5 Hz, se desperdician otras bandas de frecuencia excepto x ( t ). Mediante el análisis de tiempo-frecuencia mediante la aplicación de la transformada de Gabor, se puede conocer el ancho de banda disponible y esas bandas de frecuencia se pueden utilizar para otras aplicaciones y se ahorra ancho de banda. La imagen del lado derecho muestra la señal de entrada x ( t ) y la salida de la transformada de Gabor. Como era nuestra expectativa, la distribución de frecuencia se puede separar en dos partes. Uno es t  ≤ 0 y el otro es t  > 0. La parte blanca es la banda de frecuencia ocupada por x ( t ) y la parte negra no se usa. Tenga en cuenta que para cada punto en el tiempo hay un componente de frecuencia tanto negativo (parte blanca superior) como positivo (parte blanca inferior).

Transformación discreta de Gabor

Una versión discreta de la representación de Gabor

${\ Displaystyle y (t) = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} C_ {nm} \ cdot g_ {nm} (t )}$

con ${\ Displaystyle g_ {nm} (t) = s (tm \ tau _ {0}) \ cdot e ^ {j \ Omega nt}}$

se puede derivar fácilmente discretizando la función base de Gabor en estas ecuaciones. De este modo, el parámetro continuo t se reemplaza por el tiempo discreto k . Además, debe tenerse en cuenta el límite de suma ahora finito en la representación de Gabor. De esta manera, la señal muestreada y ( k ) se divide en M tramas de tiempo de longitud N . Según , el factor Ω para muestreo crítico es . ${\ Displaystyle \ Omega \ leq {\ tfrac {2 \ pi} {\ tau _ {0}}}}$${\ Displaystyle \ Omega = {\ tfrac {2 \ pi} {N}}}$

De manera similar a la DFT (transformación discreta de Fourier), se obtiene un dominio de frecuencia dividido en N particiones discretas. Una transformación inversa de estas N particiones espectrales conduce a N valores y ( k ) para la ventana de tiempo, que consta de N valores de muestra. Para ventanas de tiempo M generales con N valores de muestra, cada señal y ( k ) contiene K = N M valores de muestra: (la representación discreta de Gabor) ${\ Displaystyle \ cdot}$

${\ Displaystyle y (k) = \ sum _ {m = 0} ^ {M-1} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} C_ {nm} \ cdot g_ {nm} (k)}$

con ${\ Displaystyle g_ {nm} (k) = s (k-mN) \ cdot e ^ {j \ Omega nk}}$

Según la ecuación anterior, los N M coeficientes corresponden al número de valores de muestra K de la señal. ${\ Displaystyle \ cdot}$ ${\ Displaystyle C_ {nm}}$

Para el sobremuestreo se establece con N ′> N , lo que da como resultado N ′> N coeficientes de suma en la segunda suma de la representación discreta de Gabor. En este caso, el número de obtenidos Gabor-coeficientes sería M N '> K . Por lo tanto, se dispone de más coeficientes que valores de muestra y, por lo tanto, se lograría una representación redundante. ${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega \ leq {\ tfrac {2 \ pi} {N}} = {\ tfrac {2 \ pi} {N ^ {\ prime}}}}$${\ Displaystyle \ cdot}$

Transformada de Gabor escalada

Como en la transformada de Fourier de tiempo corto, la resolución en el dominio de tiempo y frecuencia se puede ajustar eligiendo un ancho de función de ventana diferente. En los casos de la transformada de Gabor, agregando varianza , como la siguiente ecuación: ${\ Displaystyle \ sigma}$

La ventana gaussiana escalada (normalizada) denota como:

${\ Displaystyle W _ {\ text {gaussiano}} (t) = e ^ {- \ sigma \ pi t ^ {2}}}$

Entonces, la transformación Scaled Gabor se puede escribir como:

${\ Displaystyle G_ {x} (t, f) = {\ sqrt [{4}] {\ sigma}} \ textstyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ displaystyle e ^ {- \ sigma \ pi (\ tau -t) ^ {2}} e ^ {- j2 \ pi f \ tau} x (\ tau) d \ tau \ qquad}$

Con una ventana grande , la función de ventana será estrecha, lo que provocará una mayor resolución en el dominio del tiempo pero una resolución más baja en el dominio de la frecuencia. De manera similar, una pequeña conducirá a una ventana amplia, con una resolución más alta en el dominio de la frecuencia pero una resolución más baja en el dominio del tiempo. ${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle \ sigma}$

Ver también

• Filtro Gabor
• Onda de Gabor
• Átomo de Gabor
• Representación de frecuencia de tiempo
• S transforma
• Transformada de Fourier de corta duración
• Función de distribución de Wigner

Referencias

• D. Gabor, Teoría de la comunicación, Parte 1, J. Inst. de Electos. Ing. Parte III, Radio y comunicación, vol 93, pág. 429 1946 ( http://genesis.eecg.toronto.edu/gabor1946.pdf )
• Jian-Jiun Ding, Nota de clase de análisis de frecuencia de tiempo y transformación de ondas, Departamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad Nacional de Taiwán, Taipei, Taiwán, 2007.