Teorema de Ribet - Ribet's theorem

En matemáticas , el teorema de Ribet (anteriormente llamado conjetura épsilon o conjetura ε ) es un enunciado de la teoría de números sobre las propiedades de las representaciones de Galois asociadas con formas modulares . Fue propuesto por Jean-Pierre Serre y probado por Ken Ribet . La demostración de la conjetura épsilon fue un paso significativo hacia la demostración del último teorema de Fermat . Como lo muestran Serre y Ribet, la conjetura de Taniyama-Shimura (cuyo estado no estaba resuelto en ese momento) y la conjetura de épsilon juntas implican que el último teorema de Fermat es verdadero.

En términos matemáticos, el teorema de Ribet muestra que si la representación de Galois asociada con una curva elíptica tiene ciertas propiedades, entonces esa curva no puede ser modular (en el sentido de que no puede existir una forma modular que dé lugar a la misma representación de Galois).

Declaración

Sea f una nueva forma de peso 2 en Γ 0 ( qN ) - es decir, del nivel qN donde q no divide N - con mod bidimensional absolutamente irreductible p Representación de Galois ρ f, p sin ramificar en q si q ≠ py plano finito en q = p . Entonces existe un peso 2 nueva forma g de nivel N tal que

En particular, si E es una curva elíptica sobre con conductor qN , entonces las teorema de modularidad garantiza que existe un peso 2 NEWFORM f de nivel qN tal que la 2-dimensional mod p representación Galois ρ f, p de f es isomorfo a la 2 dimensiones mod p representación de Galois ρ E, P de E . Para aplicar el teorema de Ribet a ρ E , p , basta con comprobar la irreductibilidad y ramificación de ρ E, p . Usando la teoría de la curva de Tate , se puede demostrar que ρ E, p es unramified en q ≠ p y plana finita en q = p si p divide la potencia a la que q aparece en el discriminante mínimo Δ E . Entonces el teorema de Ribet implica que existe una nueva forma g de peso 2 de nivel N tal que ρ g , p ≈ ρ E , p .

El resultado de la reducción de nivel

Tenga en cuenta que el teorema de Ribet no garantiza que si uno comienza con una curva elíptica E del conductor qN , existe una curva elíptica E ' de nivel N tal que ρ E, p ≈ ρ E ′, p . La nueva forma g del nivel N puede no tener coeficientes de Fourier racionales y, por lo tanto, puede estar asociada a una variedad abeliana de dimensiones superiores , no a una curva elíptica. Por ejemplo, curva elíptica 4171a1 en la base de datos de Cremona dada por la ecuación

con el conductor 43 × 97 y el discriminante 43 7  × 97 3 no nivela el mod 7 más bajo a una curva elíptica del conductor 97. Más bien, la representación de Galois mod p es isomorfa a la representación de Galois mod p de una nueva forma irracional g de nivel 97 .

Sin embargo, para p lo suficientemente grande en comparación con el nivel N de la nueva forma de nivel bajado, una nueva forma racional (por ejemplo, una curva elíptica) debe nivelarse más bajo a otra nueva forma racional (por ejemplo, curva elíptica). En particular, para p » N N 1 + ε , el mod p representación de Galois de un NEWFORM racional no puede ser isomorfa a la de un NEWFORM irracional de nivel N .

De manera similar, la conjetura de Frey- Mazur predice que para p lo suficientemente grande (independiente del conductor N ), las curvas elípticas con representaciones de Galois mod p isomórficas son de hecho isógenas y, por lo tanto, tienen el mismo conductor. Por lo tanto, no se prevé que ocurra una reducción de nivel no trivial entre nuevas formas racionales para p grande (en particular, p > 17).

Historia

En su tesis, a Yves Hellegouarch  [ fr ] se le ocurrió la idea de asociar las soluciones ( a , b , c ) de la ecuación de Fermat con un objeto matemático completamente diferente: una curva elíptica. Si p es un primo impar y un , b , y c son números enteros positivos tales que

entonces una curva de Frey correspondiente es una curva algebraica dada por la ecuación

Esta es una curva algebraica no singular del género uno definido sobre , y su terminación proyectiva es una curva elíptica sobre .

En 1982, Gerhard Frey llamó la atención sobre las propiedades inusuales de la misma curva que Hellegouarch, ahora llamada curva de Frey . Esto proporcionó un puente entre Fermat y Taniyama al mostrar que un contraejemplo del último teorema de Fermat crearía una curva que no sería modular. La conjetura atrajo un interés considerable cuando Frey (1986) sugirió que la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil implica el último teorema de Fermat. Sin embargo, su argumento no fue completo. En 1985, Jean-Pierre Serre propuso que una curva de Frey no podía ser modular y proporcionó una prueba parcial de ello. Esto mostró que una prueba del caso semiestable de la conjetura de Taniyama-Shimura implicaría el último teorema de Fermat. Serre no proporcionó una prueba completa y lo que faltaba se conoció como la conjetura épsilon o la conjetura ε. En el verano de 1986, Kenneth Alan Ribet probó la conjetura épsilon, demostrando así que la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil implicaba el último teorema de Fermat.

Implicaciones para el último teorema de Fermat

Suponga que la ecuación de Fermat con exponente p ≥ 5 tiene una solución en números enteros distintos de cero a , b , c . Formemos la correspondiente curva de Frey E a p , b p , c p . Es una curva elíptica y se puede mostrar que su discriminante mínimo Δ es igual a 2 −8 ( abc ) 2 py su conductor N es el radical de abc , es decir, el producto de todos los primos distintos que dividen abc . Por una consideración elemental de la ecuación a p + b p = c p , está claro que uno de a , b , c es par y, por tanto, N también . Según la conjetura de Taniyama-Shimura, E es una curva elíptica modular. Dado que todos los primos impares que dividen a , b , c en N aparecen a una p- ésima potencia en el discriminante mínimo Δ, por el teorema de Ribet se puede realizar un descenso de nivel módulo p repetidamente para quitar todos los primos impares del conductor. Sin embargo, no hay nuevas formas de nivel 2 ya que el género de la curva modular X 0 (2) es cero (y las nuevas formas de nivel N son diferenciales en X 0 ( N )).

Ver también

Notas

  1. ^ "La prueba del último teorema de Fermat" . 2008-12-10. Archivado desde el original el 10 de diciembre de 2008.
  2. ^ Silliman, Jesse; Vogt, Isabel (2015). "Poderes en secuencias de Lucas a través de representaciones de Galois". Actas de la American Mathematical Society . 143 (3): 1027–1041. arXiv : 1307.5078 . CiteSeerX  10.1.1.742.7591 . doi : 10.1090 / S0002-9939-2014-12316-1 . Señor  3293720 .
  3. ^ Hellegouarch, Yves (1972). "Courbes elliptiques et ecuación de Fermat". Tesis de Doctorado . BNF  359121326 .
  4. ^ Frey, Gerhard (1982), "Racional Punkte auf Fermatkurven und getwisteten Modulkurven" [Puntos racionales en las curvas de Fermat y curvas modulares retorcidas], J. Reine Angew. Matemáticas. (en alemán), 331 (331): 185-191, doi : 10.1515 / crll.1982.331.185 , MR  0647382
  5. ^ Frey, Gerhard (1986), "Vínculos entre curvas elípticas estables y ciertas ecuaciones diofánticas", Annales Universitatis Saraviensis. Serie Mathematicae , 1 (1): iv + 40, ISSN  0933-8268 , MR  0853387
  6. ^ Serre, J.-P. (1987), "Lettre à J.-F. Mestre [Carta a J.-F. Mestre]", Tendencias actuales en geometría algebraica aritmética (Arcata, Calif., 1985) , Matemáticas contemporáneas (en francés), 67 , Providence , RI: American Mathematical Society, págs. 263–268, doi : 10.1090 / conm / 067/902597 , ISBN 9780821850749, MR  0902597
  7. ^ Serre, Jean-Pierre (1987), "Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal ( Q / Q )", Duke Mathematical Journal , 54 (1): 179-230, doi : 10.1215 / S0012-7094-87- 05413-5 , ISSN  0012-7094 , MR  0885783
  8. ↑ a b Ribet, Ken (1990). "Sobre representaciones modulares de Gal ( Q / Q ) que surgen de formas modulares" (PDF) . Inventiones Mathematicae . 100 (2): 431–476. Código Bibliográfico : 1990InMat.100..431R . doi : 10.1007 / BF01231195 . Señor  1047143 .

Referencias

enlaces externos