Fuerza entre imanes - Force between magnets

Los imanes ejercen fuerzas y momentos de torsión entre sí debido a las reglas del electromagnetismo . Las fuerzas del campo de atracción de los imanes se deben a las corrientes microscópicas de electrones cargados eléctricamente que orbitan los núcleos y al magnetismo intrínseco de las partículas fundamentales (como los electrones) que componen el material. Ambos están modelados bastante bien como pequeños bucles de corriente llamados dipolos magnéticos que producen su propio campo magnético y se ven afectados por campos magnéticos externos. La fuerza más elemental entre imanes es la interacción dipolo-dipolo magnético . Si se conocen todos los dipolos magnéticos que componen dos imanes, entonces la fuerza neta en ambos imanes se puede determinar sumando todas estas interacciones entre los dipolos del primer imán y el del segundo.

A menudo es más conveniente modelar la fuerza entre dos imanes como debida a fuerzas entre polos magnéticos que tienen cargas magnéticas repartidas sobre ellos. La carga magnética positiva y negativa siempre está conectada por una cadena de material magnetizado; no existe carga magnética aislada. Este modelo funciona bien para predecir las fuerzas entre imanes simples donde se encuentran disponibles buenos modelos de cómo se distribuye la carga magnética.

Polos magnéticos frente a corrientes atómicas

El modelo de carga magnética para H y el modelo de Ampère para B producen el campo idéntico fuera de un imán. Por dentro son muy diferentes.

El campo de un imán es la suma de los campos de todos los elementos de volumen magnetizados , que consisten en pequeños dipolos magnéticos a nivel atómico. La suma directa de todos esos campos dipolares requeriría una integración tridimensional solo para obtener el campo de un imán, que puede ser complicado.

En caso de una magnetización homogénea, el problema se puede simplificar al menos de dos formas diferentes, utilizando el teorema de Stokes . Tras la integración a lo largo de la dirección de magnetización, todos los dipolos a lo largo de la línea de integración se cancelan entre sí, excepto en la superficie del extremo del imán. Entonces, el campo emerge solo de esas cargas magnéticas (matemáticas) esparcidas sobre las facetas finales del imán. Por el contrario, cuando se integra sobre un área magnetizada ortogonal a la dirección de magnetización, los dipolos dentro de esta área se cancelan entre sí , excepto en la superficie exterior del imán, donde (matemáticamente) suman una corriente de anillo. A esto se le llama modelo Ampère. En ambos modelos, solo deben considerarse las distribuciones bidimensionales sobre la superficie del imán, que es más simple que el problema tridimensional original.

Modelo de carga magnética : en el modelo de carga magnética, se imagina que las superficies polares de un imán permanente están cubiertas con la llamada carga magnética , partículas del polo norte en el polo norte y partículas del polo sur en el polo sur, que son la fuente de las líneas del campo magnético. El campo debido a cargas magnéticas se obtiene mediante la ley de Coulomb con cargas magnéticas en lugar de eléctricas. Si se conoce la distribución de los polos magnéticos, entonces el modelo de polos proporciona la distribución exacta de la intensidad del campo magnético H tanto dentro como fuera del imán. La distribución de la carga de la superficie es uniforme si el imán está magnetizado de manera homogénea y tiene facetas terminales planas (como un cilindro o un prisma).

Modelo Ampère : En el modelo Ampère , toda la magnetización se debe al efecto de corrientes circulares enlazadas microscópicas o atómicas , también llamadas corrientes Ampèrian en todo el material. El efecto neto de estas corrientes ligadas microscópicas es hacer que el imán se comporte como si hubiera una corriente eléctrica macroscópica fluyendo en bucles en el imán con el campo magnético normal a los bucles. El campo debido a tales corrientes se obtiene luego mediante la ley de Biot-Savart . El modelo Ampère proporciona la densidad de flujo magnético B correcta tanto dentro como fuera del imán. A veces es difícil calcular las corrientes ampèrias en la superficie de un imán.

Momento dipolar magnético

Lejos de un imán, su campo magnético casi siempre se describe (con una buena aproximación) por un campo dipolo caracterizado por su momento dipolar magnético total , m . Esto es cierto independientemente de la forma del imán, siempre que el momento magnético sea distinto de cero. Una característica de un campo dipolo es que la fuerza del campo cae inversamente con el cubo de la distancia desde el centro del imán.

El momento magnético de un imán es, por tanto, una medida de su fuerza y ​​orientación. Un bucle de corriente eléctrica , una barra magnética , un electrón , una molécula y un planeta tienen momentos magnéticos. Más precisamente, el término momento magnético normalmente se refiere al momento dipolar magnético de un sistema , que produce el primer término en la expansión multipolar de un campo magnético general.

Tanto el par como la fuerza ejercida sobre un imán por un campo magnético externo son proporcionales al momento magnético de ese imán. El momento magnético es un vector : tiene magnitud y dirección. La dirección del momento magnético apunta del polo sur al norte de un imán (dentro del imán). Por ejemplo, la dirección del momento magnético de una barra magnética, como la de una brújula, es la dirección hacia la que apuntan los polos norte.

En el modelo Ampère físicamente correcto, los momentos dipolares magnéticos se deben a bucles de corriente infinitesimalmente pequeños. Para un bucle de corriente lo suficientemente pequeño, I , y un área, A , el momento dipolar magnético es:

${\ Displaystyle \ mathbf {m} = I \ mathbf {A}}$,

donde la dirección de m es normal al área en una dirección determinada usando la regla actual y de la mano derecha . Como tal, el SI unidad de momento dipolar magnético es amperios  metros ² . Más precisamente, para dar cuenta de los solenoides con muchas vueltas de la unidad de momento dipolar magnético es amperios-vuelta  metros ² .

En el modelo de carga magnética, el momento dipolar magnético se debe a dos cargas magnéticas iguales y opuestas que están separadas por una distancia, d . En este modelo, m es similar al momento dipolar eléctrico p debido a cargas eléctricas:

${\ Displaystyle m = q_ {m} d \,}$,

donde q _m es la 'carga magnética'. La dirección del momento dipolar magnético apunta desde el polo sur negativo al polo norte positivo de este minúsculo imán.

Fuerza magnética debido a un campo magnético no uniforme

Arriba: la fuerza sobre los polos norte magnéticos. Abajo:, la fuerza sobre dipolos alineados, como partículas de hierro.${\ Displaystyle \ mathbf {B}}$
${\ Displaystyle \ mathbf {\ nabla} | \ mathbf {B} |}$

Los imanes se dibujan a lo largo del gradiente del campo magnético. El ejemplo más simple de esto es la atracción de polos opuestos de dos imanes. Cada imán produce un campo magnético que es más fuerte cerca de sus polos. Si los polos opuestos de dos imanes separados están uno frente al otro, cada uno de los imanes es atraído hacia el campo magnético más fuerte cerca del polo del otro. Sin embargo, si los polos iguales se enfrentan entre sí, son rechazados por el campo magnético más grande.

El modelo de carga magnética predice una forma matemática correcta para esta fuerza y ​​es más fácil de entender cualitativamente. Porque si se coloca un imán en un campo magnético uniforme, ambos polos sentirán la misma fuerza magnética pero en direcciones opuestas, ya que tienen carga magnética opuesta. Pero, cuando se coloca un imán en un campo no uniforme, como el debido a otro imán, el polo que experimenta el gran campo magnético experimentará la gran fuerza y ​​habrá una fuerza neta sobre el imán. Si el imán está alineado con el campo magnético, correspondiente a dos imanes orientados en la misma dirección cerca de los polos, entonces será atraído hacia el campo magnético más grande. Si está alineado de manera opuesta, como en el caso de dos imanes con polos iguales enfrentados, entonces el imán será repelido desde la región de campo magnético superior.

En el modelo Ampère, también hay una fuerza en un dipolo magnético debido a un campo magnético no uniforme, pero esto se debe a las fuerzas de Lorentz en el bucle de corriente que forma el dipolo magnético. La fuerza obtenida en el caso de un modelo de bucle de corriente es

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = \ nabla \ left (\ mathbf {m} \ cdot \ mathbf {B} \ right)}$,

donde el gradiente ∇ es el cambio de la cantidad m  ·  B por unidad de distancia, y la dirección es la de un aumento máximo de m  ·  B . Para entender esta ecuación, nota de que el producto punto m  ·  B = mB cos ( theta ), donde m y B representan la magnitud de los m y B vectores y θ es el ángulo entre ellos. Si m está en la misma dirección que B, entonces el producto escalar es positivo y el gradiente apunta "cuesta arriba" tirando del imán hacia regiones de campo B más alto (más estrictamente m  ·  B más grande ). B representa la fuerza y ​​la dirección del campo magnético. Esta ecuación es estrictamente válida solo para imanes de tamaño cero, pero a menudo es una buena aproximación para imanes no demasiado grandes. La fuerza magnética en los imanes más grandes se determina dividiéndolos en regiones más pequeñas que tienen su propia m y luego sumando las fuerzas en cada una de estas regiones.

Modelo de carga magnética

El modelo de carga magnética asume que las fuerzas magnéticas entre imanes se deben a cargas magnéticas cerca de los polos. Este modelo funciona incluso cerca del imán cuando el campo magnético se vuelve más complicado y más dependiente de la forma detallada y la magnetización del imán que solo de la contribución del dipolo magnético. Formalmente, el campo se puede expresar como una expansión multipolar : un campo dipolo, más un campo cuadrupolo , más un campo octopolar, etc. en el modelo Ampère, pero esto puede ser muy engorroso matemáticamente.

Calcular la fuerza magnética

Calcular la fuerza de atracción o repulsión entre dos imanes es, en el caso general, una operación muy compleja, ya que depende de la forma, magnetización, orientación y separación de los imanes. El modelo de carga magnética depende de cierto conocimiento de cómo se distribuye la "carga magnética" sobre los polos magnéticos. Solo es realmente útil para configuraciones simples incluso entonces. Afortunadamente, esta restricción cubre muchos casos útiles.

Fuerza entre dos polos magnéticos

Si ambos polos son lo suficientemente pequeños como para ser representados como puntos únicos, entonces pueden considerarse cargas magnéticas puntuales. Clásicamente , la fuerza entre dos polos magnéticos viene dada por:

${\ Displaystyle F = {{\ mu q_ {m1} q_ {m2}} \ over {4 \ pi r ^ {2}}}}$

dónde

F es fuerza (unidad SI: newton )

q _{m 1} y q _{m 2} son las magnitudes de carga magnética en polos magnéticos (unidad SI: amperios - metro )

μ es la permeabilidad del medio intermedio (unidad SI: metro de tesla por amperio , henry por metro o newton por amperio al cuadrado)

r es la separación (unidad SI: metro).

La descripción de los polos es útil para los especialistas en magnetismo que diseñan imanes del mundo real, pero los imanes reales tienen una distribución de polos más compleja que un solo norte y sur. Por lo tanto, la implementación de la idea del poste no es simple. En algunos casos, una de las fórmulas más complejas que se dan a continuación será más útil.

Fuerza entre dos superficies magnetizadas cercanas del área A

La fuerza mecánica entre dos superficies magnetizadas cercanas se puede calcular con la siguiente ecuación. La ecuación es válida solo para los casos en los que el efecto de las franjas es insignificante y el volumen del entrehierro es mucho menor que el del material magnetizado, la fuerza para cada superficie magnetizada es:

${\ Displaystyle F = {\ frac {\ mu _ {0} H ^ {2} A} {2}} = {\ frac {B ^ {2} A} {2 \ mu _ {0}}}}$

dónde:

A es el área de cada superficie, en m ²

H es su campo de magnetización , en A / m.

μ ₀ es la permeabilidad del espacio , que equivale a 4π × 10 ⁻⁷  T · m / A

B es la densidad de flujo , en T

La derivación de esta ecuación es análoga a la fuerza entre dos superficies cercanas cargadas eléctricamente, lo que supone que el campo entre las placas es uniforme.

Fuerza entre dos imanes de barra

Campo de dos imanes de barra cilíndricos de atracción

Campo de dos imanes de barra cilíndricos repelentes

La fuerza entre dos imanes de barra cilíndrica idénticos colocados de extremo a extremo a gran distancia es aproximadamente: ${\ Displaystyle x \ gg R}$

${\ Displaystyle F \ simeq \ left [{\ frac {B_ {0} ^ {2} A ^ {2} \ left (L ^ {2} + R ^ {2} \ right)} {\ pi \ mu _ {0} L ^ {2}}} \ right] \ left [{\ frac {1} {x ^ {2}}} + {\ frac {1} {(x + 2L) ^ {2}}} - {\ frac {2} {(x + L) ^ {2}}} \ right]}$

dónde

B ₀ es la densidad de flujo muy cercana a cada polo, en T,

A es el área de cada polo, en m ² ,

L es la longitud de cada imán, en m,

R es el radio de cada imán, en my

x es la separación entre los dos imanes, en m

${\ Displaystyle B_ {0} \, = \, {\ frac {\ mu _ {0}} {2}} M}$ relaciona la densidad de flujo en el polo con la magnetización del imán.

Tenga en cuenta que estas formulaciones asumen distribuciones de carga magnética en forma de puntos en lugar de una distribución uniforme sobre las facetas de los extremos, lo que es una buena aproximación solo a distancias relativamente grandes. Para distancias intermedias, se deben utilizar métodos numéricos .

Fuerza entre dos imanes cilíndricos

Fuerza exacta entre dos imanes de barra cilíndricos coaxiales para varias relaciones de aspecto.

Para dos imanes cilíndricos con radio y longitud , con su dipolo magnético alineado, la fuerza se puede calcular analíticamente utilizando integrales elípticas . En el límite , la fuerza se puede aproximar mediante, ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle x \ gg R}$

${\ Displaystyle F (x) \ simeq {\ frac {\ pi \ mu _ {0}} {4}} M ^ {2} R ^ {4} \ left [{\ frac {1} {x ^ {2 }}} + {\ frac {1} {(x + 2L) ^ {2}}} - {\ frac {2} {(x + L) ^ {2}}} \ right]}$

Dónde está la magnetización de los imanes y la distancia entre ellos. Para valores pequeños de , los resultados son erróneos ya que la fuerza se vuelve grande para una distancia cercana a cero. ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x}$

Si el imán es largo ( ), una medida de la densidad de flujo magnético muy cercana al imán se relaciona aproximadamente con la fórmula ${\ Displaystyle L \ gg R}$${\ Displaystyle B_ {0}}$${\ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle B_ {0} \, = \, {\ frac {\ mu _ {0}} {2}} M}$.

El momento dipolar magnético efectivo se puede escribir como

${\ Displaystyle m = MV}$

¿Dónde está el volumen del imán? Para un cilindro esto es , y ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle V = \ pi R ^ {2} L}$

${\ Displaystyle M}$ es el campo de magnetización del dipolo.

Cuando se obtiene la aproximación del dipolo puntual, ${\ Displaystyle L \ ll x}$

${\ Displaystyle F (x) = {\ frac {3 \ pi \ mu _ {0}} {2}} M ^ {2} R ^ {4} L ^ {2} {\ frac {1} {x ^ {4}}} = {\ frac {3 \ mu _ {0}} {2 \ pi}} M ^ {2} V ^ {2} {\ frac {1} {x ^ {4}}} = { \ frac {3 \ mu _ {0}} {2 \ pi}} m_ {1} m_ {2} {\ frac {1} {x ^ {4}}}}$

Que coincide con la expresión de la fuerza entre dos dipolos magnéticos.

Modelo Ampère

El científico francés André Marie Ampère descubrió que el magnetismo producido por imanes permanentes y el magnetismo producido por electroimanes son el mismo tipo de magnetismo.

Por eso, la fuerza de un imán permanente se puede expresar en los mismos términos que la de un electroimán.

La fuerza del magnetismo de un electroimán que es un bucle plano de cable a través del cual fluye una corriente, medida a una distancia que es grande en comparación con el tamaño del bucle, es proporcional a esa corriente y es proporcional al área de superficie de ese bucle. .

Con el propósito de expresar la fuerza de un imán permanente en los mismos términos que la de un electroimán, se piensa que un imán permanente contiene pequeños bucles de corriente en todo su volumen, y luego se encuentra que la fuerza magnética de ese imán es proporcional a la corriente de cada bucle (en amperios), y proporcional a la superficie de cada bucle (en metro cuadrado), y proporcional a la densidad de los bucles de corriente en el material (en unidades por metro cúbico), por lo que la dimensión de la fuerza del magnetismo de un imán permanente es Ampere por metro cuadrado por metro cúbico, es Ampere por metro.

Es por eso que el amperio por metro es la unidad correcta de magnetismo, aunque estos pequeños bucles de corriente no están realmente presentes en un imán permanente.

La validez del modelo de Ampere significa que se puede pensar en el material magnético como si constara de bucles de corriente, y el efecto total es la suma del efecto de cada bucle de corriente, y por lo tanto, el efecto magnético de un imán real. se puede calcular como la suma de los efectos magnéticos de pequeñas piezas de material magnético que se encuentran a una gran distancia en comparación con el tamaño de cada pieza.

Esto es muy útil para calcular el campo de fuerza magnético de un imán real; Implica sumar una gran cantidad de fuerzas pequeñas y no debe hacerlo a mano, pero deje que su computadora lo haga por usted; Todo lo que el programa de computadora necesita saber es la fuerza entre pequeños imanes que están a gran distancia entre sí.

En tales cálculos, a menudo se supone que cada pequeña pieza (del mismo tamaño) de material magnético tiene un magnetismo igualmente fuerte, pero esto no siempre es cierto: un imán que se coloca cerca de otro imán puede cambiar la magnetización de ese otro imán. Para los imanes permanentes, esto suele ser solo un pequeño cambio, pero si tiene un electroimán que consiste en un cable enrollado alrededor de un núcleo de hierro y acerca un imán permanente a ese núcleo, entonces la magnetización de ese núcleo puede cambiar drásticamente (por Por ejemplo, si no hay corriente en el cable, el electroimán no sería magnético, pero cuando se acerca el imán permanente, el núcleo del electroimán se vuelve magnético).

Por lo tanto, el modelo Ampere es adecuado para calcular el campo de fuerza magnético de un imán permanente, pero para los electroimanes puede ser mejor utilizar un enfoque de circuito magnético.

Interacción dipolo-dipolo magnético

Si dos o más imanes son lo suficientemente pequeños o lo suficientemente distantes como para que su forma y tamaño no sean importantes, entonces ambos imanes pueden modelarse como dipolos magnéticos que tienen momentos magnéticos m ₁ y m ₂ . En el caso de imanes esféricos magnetizados uniformemente, este modelo es preciso incluso a un tamaño y distancia finitos, ya que el campo exterior de dichos imanes es exactamente un campo dipolo.

Campo magnético de un dipolo ideal.

El campo magnético de un dipolo magnético en notación vectorial es:

${\ Displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {m}, \ mathbf {r}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi r ^ {3}}} \ left (3 (\ mathbf {m} \ cdot {\ hat {\ mathbf {r}}}) {\ hat {\ mathbf {r}}} - \ mathbf {m} \ right) + {\ frac {2 \ mu _ {0} } {3}} \ mathbf {m} \ delta ^ {3} (\ mathbf {r})}$

dónde

B es el campo

r es el vector desde la posición del dipolo hasta la posición donde se mide el campo

r es el valor absoluto de r : la distancia desde el dipolo

${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}} = \ mathbf {r} / r}$es el vector unitario paralelo ar ;

m es el momento dipolar (vector)

μ ₀ es la permeabilidad del espacio libre

δ ³ es la función delta tridimensional .

Este es exactamente el campo de un dipolo puntual, exactamente el término dipolo en la expansión multipolo de un campo arbitrario, y aproximadamente el campo de cualquier configuración tipo dipolo a grandes distancias.

Marcos de referencia para calcular las fuerzas entre dos dipolos

Fuerza entre imanes cilíndricos coaxiales. De acuerdo con la aproximación dipolar, la fuerza cae proporcionalmente a para una gran distancia z , lo que da como resultado pendientes de -4 en la gráfica log-log .${\ Displaystyle 1 / z ^ {4}}$

Si el sistema de coordenadas se desplaza para centrarlo en m ₁ y se gira de manera que el eje z apunte en la dirección de m _1, entonces la ecuación anterior se simplifica a

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} B_ {z} (\ mathbf {r}) & = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} m_ {1} \ left ({\ frac { 3 \ cos ^ {2} \ theta -1} {r ^ {3}}} \ right) \\ B_ {x} (\ mathbf {r}) & = {\ frac {\ mu _ {0}} { 4 \ pi}} m_ {1} \ left ({\ frac {3 \ cos \ theta \ sin \ theta} {r ^ {3}}} \ right) \ end {alineado}}}$,

donde las variables r y θ se miden en un marco de referencia con origen en m ₁ y orientado de tal manera que m ₁ está en el origen apuntando en la dirección z. Este marco se llama Coordenadas locales y se muestra en la Figura de la derecha.

La fuerza de un dipolo magnético sobre otro se determina usando el campo magnético del primer dipolo dado arriba y determinando la fuerza debida al campo magnético en el segundo dipolo usando la ecuación de fuerza dada arriba. Usando notación vectorial, la fuerza de un dipolo magnético m ₁ sobre el dipolo magnético m ₂ es:

${\ Displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r}, \ mathbf {m} _ {1}, \ mathbf {m} _ {2}) = {\ frac {3 \ mu _ {0}} {4 \ pi r ^ {5}}} \ left [(\ mathbf {m} _ {1} \ cdot \ mathbf {r}) \ mathbf {m} _ {2} + (\ mathbf {m} _ {2} \ cdot \ mathbf {r}) \ mathbf {m} _ {1} + (\ mathbf {m} _ {1} \ cdot \ mathbf {m} _ {2}) \ mathbf {r} - {\ frac { 5 (\ mathbf {m} _ {1} \ cdot \ mathbf {r}) (\ mathbf {m} _ {2} \ cdot \ mathbf {r})} {r ^ {2}}} \ mathbf {r } \Derecha]}$

donde r es el vector de distancia desde el momento dipolar m ₁ hasta el momento dipolar m ₂ , con r = || r ||. La fuerza que actúa sobre m ₁ es en dirección opuesta. Como ejemplo, la fuerza magnética para dos imanes que apuntan en la dirección zy alineados en el eje zy separados por la distancia z es:

${\ Displaystyle \ mathbf {F} (z, m_ {1}, m_ {2}) = - {\ frac {3 \ mu _ {0} m_ {1} m_ {2}} {2 \ pi z ^ { 4}}}}$, dirección z.

Las fórmulas finales se muestran a continuación. Se expresan en el sistema de coordenadas global,

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} F_ {r} (\ mathbf {r}, \ alpha, \ beta) & = - {\ frac {3 \ mu _ {0}} {4 \ pi}} {\ frac {m_ {2} m_ {1}} {r ^ {4}}} \ left [2 \ cos (\ phi - \ alpha) \ cos (\ phi - \ beta) - \ sin (\ phi - \ alpha) \ sin (\ phi - \ beta) \ right] \\ F _ {\ phi} (\ mathbf {r}, \ alpha, \ beta) & = - {\ frac {3 \ mu _ {0}} {4 \ pi}} {\ frac {m_ {2} m_ {1}} {r ^ {4}}} \ sin (2 \ phi - \ alpha - \ beta) \ end {alineado}}}$

Notas

Referencias

Ver también

• Motor magnetico