Ley de Biot-Savart - Biot–Savart law

En la física , específicamente electromagnetismo , la ley de Biot-Savart ( / b i s ə v ɑr / o / b j s ə v ɑr / ) es una ecuación que describe el campo magnético generado por una constante de corriente eléctrica . Relaciona el campo magnético con la magnitud, dirección, longitud y proximidad de la corriente eléctrica. La ley de Biot-Savart es fundamental para la magnetostática y desempeña un papel similar al de la ley de Coulomb en la electrostática . Cuando no se aplica la magnetostática, la ley de Biot-Savart debe reemplazarse por las ecuaciones de Jefimenko . La ley es válida en la aproximación magnetoestática y consistente tanto con Ley de Ampère y la ley de Gauss para el magnetismo . Lleva el nombre de Jean-Baptiste Biot y Félix Savart , quienes descubrieron esta relación en 1820.

Ecuación

Corrientes eléctricas (a lo largo de una curva / cable cerrado)

Se muestran las direcciones de , y el valor de

La ley de Biot-Savart se utiliza para calcular el campo magnético resultante B en la posición r en el espacio 3D generado por una corriente flexible I (por ejemplo, debido a un cable). Una corriente constante (o estacionaria) es un flujo continuo de cargas que no cambia con el tiempo y la carga no se acumula ni se agota en ningún momento. La ley es un ejemplo físico de una integral de línea , que se evalúa sobre la ruta C en la que fluyen las corrientes eléctricas (por ejemplo, el cable). La ecuación en unidades SI es

donde es un vector a lo largo del camino cuya magnitud es la longitud del elemento diferencial del cable en la dirección de la corriente convencional . es un punto en el camino . es el vector de desplazamiento completo desde el elemento de alambre ( ) en el punto hasta el punto en el que se calcula el campo ( ), y μ 0 es la constante magnética . Alternativamente:

donde es el vector unitario de . Los símbolos en negrita denotan cantidades vectoriales .

La integral suele estar alrededor de una curva cerrada , ya que las corrientes eléctricas estacionarias solo pueden fluir alrededor de trayectorias cerradas cuando están limitadas. Sin embargo, la ley también se aplica a cables infinitamente largos (este concepto se utilizó en la definición de la unidad SI de corriente eléctrica, el amperio, hasta el 20 de mayo de 2019).

Para aplicar la ecuación, se elige arbitrariamente el punto en el espacio donde se va a calcular el campo magnético ( ). Manteniendo ese punto fijo, se calcula la integral de línea sobre la trayectoria de la corriente eléctrica para encontrar el campo magnético total en ese punto. La aplicación de esta ley se basa implícitamente en el principio de superposición de campos magnéticos, es decir, el hecho de que el campo magnético es una suma vectorial del campo creado por cada sección infinitesimal del cable individualmente.

También existe una versión 2D de la ecuación de Biot-Savart, que se utiliza cuando las fuentes son invariantes en una dirección. En general, la corriente no necesita fluir solo en un plano normal a la dirección invariante y está dada por ( densidad de corriente ). La fórmula resultante es:

Densidad de corriente eléctrica (en todo el volumen del conductor)

Las formulaciones dadas arriba funcionan bien cuando la corriente se puede aproximar a través de un cable infinitamente estrecho. Si el conductor tiene algún grosor, la formulación adecuada de la ley de Biot-Savart (nuevamente en unidades SI ) es:

donde es el vector de dV al punto de observación , es el elemento de volumen y es el vector de densidad de corriente en ese volumen (en SI en unidades de A / m 2 ).

En términos de vector unitario

Corriente uniforme constante

En el caso especial de una corriente constante uniforme I , el campo magnético es

es decir, la corriente se puede sacar de la integral.

Carga puntual a velocidad constante

En el caso de una partícula con carga puntual q se mueve a una velocidad constante v , las ecuaciones de Maxwell dan la siguiente expresión para el campo eléctrico y el campo magnético:

donde es el vector unitario que apunta desde la posición actual (no retardada) de la partícula hasta el punto en el que se mide el campo, y θ es el ángulo entre y .

Cuando v 2c 2 , el campo eléctrico y el campo magnético se pueden aproximar como

Estas ecuaciones fueron derivadas por primera vez por Oliver Heaviside en 1888. Algunos autores llaman a la ecuación anterior la "ley de Biot-Savart para una carga puntual" debido a su gran parecido con la ley estándar de Biot-Savart. Sin embargo, este lenguaje es engañoso ya que la ley de Biot-Savart se aplica solo a corrientes estables y una carga puntual que se mueve en el espacio no constituye una corriente constante.

Aplicaciones de respuestas magnéticas

La ley de Biot-Savart se puede utilizar en el cálculo de respuestas magnéticas incluso a nivel atómico o molecular, por ejemplo, blindajes químicos o susceptibilidades magnéticas , siempre que la densidad de corriente se pueda obtener a partir de un cálculo o teoría de la mecánica cuántica.

Aplicaciones aerodinámicas

La figura muestra la velocidad ( ) inducida en un punto P por un elemento de filamento de vórtice ( ) de fuerza .

La ley de Biot-Savart también se utiliza en la teoría aerodinámica para calcular la velocidad inducida por las líneas de vórtice .

En la aplicación aerodinámica , los roles de la vorticidad y la corriente se invierten en comparación con la aplicación magnética.

En el artículo de Maxwell de 1861 'On Physical Lines of Force', la intensidad del campo magnético H se equiparó directamente con la vorticidad pura (giro), mientras que B era una vorticidad ponderada que se ponderaba por la densidad del mar de vórtices. Maxwell consideró que la permeabilidad magnética μ era una medida de la densidad del mar de vórtices. De ahí la relación,

Corriente de inducción magnética

era esencialmente una analogía rotacional de la relación de corriente eléctrica lineal,

Corriente de convección eléctrica
donde ρ es la densidad de carga eléctrica.

B fue visto como una especie de corriente magnética de vórtices alineados en sus planos axiales, siendo H la velocidad circunferencial de los vórtices.

La ecuación de la corriente eléctrica puede verse como una corriente convectiva de carga eléctrica que implica un movimiento lineal. Por analogía, la ecuación magnética es una corriente inductiva que involucra espín. No hay movimiento lineal en la corriente inductiva a lo largo de la dirección del vector B. La corriente inductiva magnética representa líneas de fuerza. En particular, representa líneas de fuerza de la ley del inverso del cuadrado.

En aerodinámica, las corrientes de aire inducidas forman anillos solenoides alrededor de un eje de vórtice. Se puede hacer una analogía de que el eje del vórtice está desempeñando el papel que desempeña la corriente eléctrica en el magnetismo. Esto coloca a las corrientes de aire de la aerodinámica (campo de velocidad del fluido) en el papel equivalente del vector de inducción magnética B en el electromagnetismo.

En el electromagnetismo, las líneas B forman anillos solenoidales alrededor de la fuente de corriente eléctrica, mientras que en aerodinámica, las corrientes de aire (velocidad) forman anillos solenoidales alrededor del eje del vórtice de la fuente.

Por lo tanto, en el electromagnetismo, el vórtice juega el papel de "efecto", mientras que en la aerodinámica, el vórtice juega el papel de "causa". Sin embargo, cuando miramos las líneas B de forma aislada, vemos exactamente el escenario aerodinámico en la medida en que B es el eje del vórtice y H es la velocidad circunferencial como en el artículo de 1861 de Maxwell.

En dos dimensiones , para una línea de vórtice de longitud infinita, la velocidad inducida en un punto está dada por

donde Γ es la fuerza del vórtice y r es la distancia perpendicular entre el punto y la línea del vórtice. Esto es similar al campo magnético producido en un plano por un alambre delgado y recto infinitamente largo normal al plano.

Este es un caso límite de la fórmula para segmentos de vórtice de longitud finita (similar a un cable finito):

donde A y B son los ángulos (con signo) entre la línea y los dos extremos del segmento.

La ley de Biot-Savart, la ley circuital de Ampère y la ley de Gauss para el magnetismo

En una situación magnetostática , el campo magnético B calculado a partir de la ley de Biot-Savart siempre satisfará la ley de Gauss para el magnetismo y la ley de Ampère :

En una situación no magnetostática, la ley de Biot-Savart deja de ser cierta (es reemplazada por las ecuaciones de Jefimenko ), mientras que la ley de Gauss para el magnetismo y la ley de Maxwell-Ampère siguen siendo verdaderas.

Antecedentes teóricos

Inicialmente, la ley de Biot-Savart se descubrió experimentalmente, luego esta ley se derivó teóricamente de diferentes formas. En las Conferencias de Física de Feynman , al principio, se enfatiza la similitud de las expresiones para el potencial eléctrico fuera de la distribución estática de cargas y el potencial del vector magnético fuera del sistema de corrientes continuamente distribuidas, y luego se calcula el campo magnético a través del rizo de el potencial vectorial. Otro enfoque implica una solución general de la ecuación de onda no homogénea para el potencial vectorial en el caso de corrientes constantes. El campo magnético también se puede calcular como consecuencia de las transformaciones de Lorentz para la fuerza electromagnética que actúa de una partícula cargada sobre otra partícula. Otras dos formas de derivar la ley de Biot-Savart incluyen: 1) Transformación de Lorentz de los componentes del tensor electromagnético de un marco de referencia móvil, donde solo hay un campo eléctrico de alguna distribución de cargas, a un marco de referencia estacionario, en el que estos cargos se mueven. 2) el uso del método de potenciales retardados .

Ver también

Gente

Electromagnetismo

Notas

  1. ^ "Ley de Biot-Savart" . Diccionario íntegro de Random House Webster .
  2. ^ Jackson, John David (1999). Electrodinámica clásica (3ª ed.). Nueva York: Wiley. Capítulo 5. ISBN 0-471-30932-X.
  3. ^ Electromagnetismo (segunda edición), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN  978-0-471-92712-9
  4. ^ El principio de superposición es válido para los campos eléctrico y magnético porque son la solución a un conjunto de ecuaciones diferenciales lineales , a saber, las ecuaciones de Maxwell , donde la corriente es uno de los "términos fuente".
  5. a b Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.) . Prentice Hall. págs.  222–224, 435–440 . ISBN 0-13-805326-X.
  6. ^ Caballero, Randall (2017). Física para científicos e ingenieros (4ª ed.). Pearson Higher Ed. pag. 800.
  7. ^ "Copia archivada" . Archivado desde el original el 19 de junio de 2009 . Consultado el 30 de septiembre de 2009 .Mantenimiento de CS1: copia archivada como título ( enlace )
  8. ^ Véase la nota de advertencia al pie de página en Griffiths p. 219 o la discusión en Jackson p. 175-176.
  9. ^ Maxwell, JC "Sobre las líneas físicas de la fuerza" (PDF) . Común de Wikimedia . Consultado el 25 de diciembre de 2011 .
  10. ^ a b c d e f Véase Jackson, págs. 178–79 o Griffiths, pág. 222-24. La presentación en Griffiths es particularmente completa, con todos los detalles detallados.
  11. ^ Feynman R., Leighton R. y Sands M. Las conferencias de Feynman sobre física. Vol. 2, cap. 14 (1964). Addison-Wesley, Massachusetts, Palo Alto, Londres.
  12. ^ David Tong. Conferencias de Electromagnetismo. Universidad de Cambridge, Part IB y Part II Mathematical Tripos (2015). http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/em.html .
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  14. Fedosin, Sergey G. (2021). "El teorema sobre el campo magnético de los cuerpos cargados en rotación". En el progreso de Electromagnetismo M Investigación . 103 : 115-127. arXiv : 2107.07418 . Código bibliográfico : 2021arXiv210707418F . doi : 10.2528 / PIERM21041203 .

Referencias

Otras lecturas

  • Electricidad y física moderna (segunda edición), GAG Bennet, Edward Arnold (Reino Unido), 1974, ISBN  0-7131-2459-8
  • Principios esenciales de la física, PM Whelan, MJ Hodgeson, 2da edición, 1978, John Murray, ISBN  0-7195-3382-1
  • The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-57507-2 .
  • Física para científicos e ingenieros: con la física moderna (sexta edición), PA Tipler, G. Mosca, Freeman, 2008, ISBN  0-7167-8964-7
  • Encyclopaedia of Physics (2.a edición), RG Lerner , GL Trigg, editores de VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
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enlaces externos