Topología plana - Flat topology

En matemáticas , la topología plana es una topología de Grothendieck utilizada en geometría algebraica . Se utiliza para definir la teoría de la cohomología plana ; también juega un papel fundamental en la teoría del descenso ( descenso fielmente plano). El término piso aquí proviene de módulos planos .

Hay varias topologías planas ligeramente diferentes, las más comunes de las cuales son la topología fppf y la topología fpqc . fppf significa fidèlement plate de présentation finie , y en esta topología, un morfismo de esquemas afines es un morfismo de cobertura si es fielmente plano y de presentación finita. fpqc significa fidèlement plate et cuasi-compacte , y en esta topología, un morfismo de esquemas afines es un morfismo de cobertura si es fielmente plano. En ambas categorías, una familia de cobertura se define como una familia que es una cobertura en subconjuntos abiertos de Zariski. En la topología fpqc, cualquier morfismo fielmente plano y cuasi compacto es una tapadera. Estas topologías están estrechamente relacionadas con la descendencia . La topología "pura" fielmente plana sin ninguna condición adicional de finitud, como cuasi compactibilidad o presentación finita, no se usa mucho, ya que no es subcanónica; en otras palabras, los functores representables no necesitan ser gavillas.

Desafortunadamente, la terminología para topologías planas no está estandarizada. Algunos autores usan el término "topología" para una pretopología, y hay varias pretopologías ligeramente diferentes a veces llamadas fppf o fpqc (pre) topología, que a veces dan la misma topología.

La cohomología plana fue introducida por Grothendieck alrededor de 1960.

Los sitios grandes y pequeños de fppf

Sea X un esquema afín . Definimos una cobertura fppf de X como una familia de morfismos finita y sobreyectiva conjunta

( φ a  : X a → X )

con cada X un afín y cada φ un plano , finitamente presentado . Esto genera una pretopología : para X arbitrario, definimos una cobertura fppf de X como una familia

( φ ' a  : X a → X )

que es una cubierta fppf después de base de cambiar a un subesquema afín abierto de X . Esta pretopología genera una topología llamada topología fppf . (Esto no es lo mismo que la topología que se pueden conseguir si comenzamos con arbitraria X y X una y tomamos cubriendo las familias a ser familias de manera conjunta suprayectivos de piso, finitamente presentado morfismos.) Escribimos Fppf para la categoría de esquemas con la topología fppf .

El sitio fppf pequeño de X es la categoría O ( X fppf ) cuyos objetos son esquemas U con un morfismo fijo U → X que es parte de alguna familia de cobertura. (Esto no implica que el morfismo es plana, finitamente presentado.) Los morfismos son morfismos de esquemas compatibles con los mapas fijos a X . El sitio fppf grande de X es la categoría Fppf / X , es decir, la categoría de esquemas con un mapa fijo a X , considerado con la topología fppf.

"Fppf" es una abreviatura de "fidèlement plate de présentation finie", es decir, "fielmente plano y de presentación finita". Cada familia sobreyectiva de morfismos planos y finamente presentados es una familia de cobertura para esta topología, de ahí el nombre. La definición de la pretopología fppf también se puede dar con una condición de cuasi-finitud adicional; del Corolario 17.16.2 en EGA IV 4 se deduce que esto da la misma topología.

Los sitios grandes y pequeños de fpqc

Sea X un esquema afín. Definimos una cobertura fpqc de X como una familia de morfismos finita y conjuntamente sobreyectiva { u α  : X α → X } con cada X α afín y cada u α plano . Esto genera un pretopology: Para X arbitraria, definimos una cubierta fpqc de X a ser una familia { u α  : X α → X }, que es una cubierta fpqc después de base de cambiar a un subesquema afín abierto de X . Esta pretopología genera una topología llamada topología fpqc . (Esto no es lo mismo que la topología que obtendríamos si comenzáramos con X y X α arbitrarios y tomáramos familias de cobertura como familias sobreyectivas conjuntas de morfismos planos). Escribimos Fpqc para la categoría de esquemas con la topología fpqc.

El sitio fpqc pequeño de X es la categoría O ( X fpqc ) cuyos objetos son esquemas U con un morfismo fijo U → X que es parte de alguna familia de cobertura. Los morfismos son morfismos de esquemas compatibles con los mapas fijos a X . El sitio fpqc grande de X es la categoría Fpqc / X , es decir, la categoría de esquemas con un mapa fijo a X , considerado con la topología fpqc.

"Fpqc" es una abreviatura de "fidèlement plate cuasi-compacte", es decir, "fielmente plana y cuasi-compacta". Cada familia sobreyectiva de morfismos planos y cuasi-compactos es una familia de cobertura para esta topología, de ahí el nombre.

Cohomología plana

El procedimiento para definir los grupos de cohomología es el estándar: la cohomología se define como la secuencia de functores derivados del funtor que toman las secciones de un haz de grupos abelianos .

Si bien estos grupos tienen varias aplicaciones, en general no son fáciles de calcular, excepto en los casos en que se reducen a otras teorías, como la cohomología étale .

Ejemplo

El siguiente ejemplo muestra por qué la "topología fielmente plana" sin ninguna condición de finitud no se comporta bien. Suponga que X es la línea afín sobre un campo k algebraicamente cerrado . Para cada punto cerrado x de X podemos considerar el anillo local R x en este punto, que es un anillo de valoración discreto cuyo espectro tiene un punto cerrado y un punto abierto (genérico). Pegamos estos juntos espectros mediante la identificación de sus puntos abiertos para obtener un esquema de Y . Hay un mapa natural a partir de Y a X . La línea afín X está cubierta por los conjuntos Spec ( R x ) que están abiertos en la topología fielmente plana, y cada uno de estos conjuntos tiene un mapa natural de Y , y estos mapas son los mismos en las intersecciones. Sin embargo, no se pueden combinar para dar un mapa de X a Y , porque los espacios subyacentes de X e Y tienen topologías diferentes.

Ver también

Notas

  1. ^ "Forma de una estructura (algebraica)" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
  2. ^ SGA III 1 , IV 6.3.
  3. ^ SGA III 1 , IV 6.3, Proposición 6.3.1 (v).
  4. ^ * Grothendieck, Alexander ; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1) , Documents Mathématiques (París) [Documentos matemáticos (París)], 3 , París: Société Mathématique de France , p. XI.4.8, arXiv : math / 0206203 , Bibcode : 2002math ...... 6203G , ISBN   978-2-85629-141-2 , Señor   2017446

Referencias

enlaces externos