Finitismo - Finitism
El finitismo es una filosofía de las matemáticas que acepta la existencia solo de objetos matemáticos finitos . Se comprende mejor en comparación con la filosofía dominante de las matemáticas, donde los objetos matemáticos infinitos (por ejemplo, conjuntos infinitos ) se aceptan como legítimos.
Idea principal
La idea principal de las matemáticas finitistas es no aceptar la existencia de objetos infinitos como conjuntos infinitos. Si bien se acepta que todos los números naturales existen, el conjunto de todos los números naturales no se considera que exista como un objeto matemático. Por lo tanto, la cuantificación en dominios infinitos no se considera significativa. La teoría matemática a menudo asociado con finitismo es Thoralf Skolem 's aritmética recursiva primitiva .
Historia
La introducción de infinitos objetos matemáticos se produjo hace unos siglos cuando el uso de infinitos objetos ya era un tema controvertido entre los matemáticos. El tema entró en una nueva fase cuando Georg Cantor en 1874 introdujo lo que ahora se llama teoría de conjuntos ingenua y la utilizó como base para su trabajo sobre números transfinitos . Cuando paradojas tales como la paradoja de Russell , la paradoja de Berry y la paradoja Burali-Forti fueron descubiertos en la teoría de conjuntos ingenua de Cantor, el tema se convirtió en un tema climatizada entre los matemáticos.
Hubo varias posiciones tomadas por los matemáticos. Todos estuvieron de acuerdo sobre los objetos matemáticos finitos como los números naturales. Sin embargo, hubo desacuerdos con respecto a los objetos matemáticos infinitos. Una posición fue la matemática intuicionista defendida por LEJ Brouwer , que rechazó la existencia de objetos infinitos hasta que se construyan.
Otra posición fue respaldada por David Hilbert : los objetos matemáticos finitos son objetos concretos, los objetos matemáticos infinitos son objetos ideales y la aceptación de objetos matemáticos ideales no causa un problema con respecto a los objetos matemáticos finitos. Más formalmente, Hilbert creía que es posible demostrar que cualquier teorema sobre objetos matemáticos finitos que se puede obtener utilizando objetos infinitos ideales también se puede obtener sin ellos. Por lo tanto, permitir objetos matemáticos infinitos no causaría problemas con los objetos finitos. Esto llevó al programa de Hilbert de demostrar la consistencia de la teoría de conjuntos utilizando medios finitistas, ya que esto implicaría que agregar objetos matemáticos ideales es conservador sobre la parte finitista. Los puntos de vista de Hilbert también están asociados con la filosofía formalista de las matemáticas . El objetivo de Hilbert de probar la consistencia de la teoría de conjuntos o incluso la aritmética a través de medios finitistas resultó ser una tarea imposible debido a los teoremas de incompletitud de Kurt Gödel . Sin embargo, la gran conjetura de Harvey Friedman implicaría que la mayoría de los resultados matemáticos pueden demostrarse utilizando medios finitistas.
Hilbert no dio una explicación rigurosa de lo que consideraba finitista y a lo que se refería como elemental. Sin embargo, basándose en su trabajo con Paul Bernays, algunos expertos como William Tait han argumentado que la aritmética recursiva primitiva puede considerarse un límite superior de lo que Hilbert consideraba matemáticas finitistas.
En los años que siguieron a los teoremas de Gödel, cuando quedó claro que no había esperanzas de demostrar la consistencia de las matemáticas, y con el desarrollo de teorías de conjuntos axiomáticos como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel y la falta de evidencia en contra de su consistencia, la mayoría de los matemáticos perdieron interés en el tema. Hoy en día, la mayoría de los matemáticos clásicos son considerados platónicos y utilizan fácilmente objetos matemáticos infinitos y un universo teórico de conjuntos.
Finitismo clásico versus finitismo estricto
En su libro The Philosophy of Set Theory , Mary Tiles caracterizó a aquellos que permiten objetos potencialmente infinitos como finitistas clásicos y a aquellos que no permiten objetos potencialmente infinitos como finitistas estrictos : por ejemplo, un finitista clásico permitiría enunciados como "cada número natural tiene un sucesor "y aceptaría la significación de las series infinitas en el sentido de límites de sumas parciales finitas, mientras que un finitista estricto no lo haría. Históricamente, la historia escrita de las matemáticas fue clásicamente finitista hasta que Cantor creó la jerarquía de cardenales transfinitos a fines del siglo XIX.
Vistas sobre objetos matemáticos infinitos
Leopold Kronecker siguió siendo un estridente oponente a la teoría de conjuntos de Cantor:
Dios creó los números enteros; todo lo demás es obra del hombre.
Reuben Goodstein fue otro defensor del finitismo. Parte de su trabajo implicó la construcción de análisis desde fundamentos finitistas.
Aunque lo negó, gran parte de los escritos de Ludwig Wittgenstein sobre matemáticas tienen una fuerte afinidad con el finitismo.
Si se contrasta a los finitistas con los transfinitistas (defensores de, por ejemplo , la jerarquía de infinitos de Georg Cantor ), entonces también Aristóteles puede caracterizarse como un finitista estricto. Aristóteles promovió especialmente el infinito potencial como una opción intermedia entre el finitismo estricto y el infinito real (siendo este último una actualización de algo interminable en la naturaleza, en contraste con el infinito real cantorista que consiste en los números cardinales y ordinales transfinitos , que no tienen nada que ver con el infinito). hacer con las cosas de la naturaleza):
Pero, por otro lado, suponer que el infinito no existe de ninguna manera conduce obviamente a muchas consecuencias imposibles: habrá un principio y un final del tiempo, una magnitud no será divisible en magnitudes, el número no será infinito. Entonces, si, en vista de las consideraciones anteriores, ninguna de las alternativas parece posible, se debe llamar a un árbitro.
- Aristóteles, Física, Libro 3, Capítulo 6
El ultrafinitismo (también conocido como ultraintuicionismo ) tiene una actitud aún más conservadora hacia los objetos matemáticos que el finitismo, y tiene objeciones a la existencia de objetos matemáticos finitos cuando son demasiado grandes.
Hacia finales del siglo XX, John Penn Mayberry desarrolló un sistema de matemáticas finitarias al que llamó "Aritmética euclidiana". El principio más llamativo de su sistema es un rechazo completo y riguroso del estado fundamental especial que normalmente se concede a los procesos iterativos, incluida en particular la construcción de los números naturales mediante la iteración "+1". En consecuencia, Mayberry está en marcado desacuerdo con aquellos que buscarían equiparar las matemáticas finitarias con la aritmética de Peano o cualquiera de sus fragmentos, como la aritmética recursiva primitiva .
Ver también
Referencias
Otras lecturas
- Feng Ye (2011). Finitismo estricto y lógica de aplicaciones matemáticas . Saltador. ISBN 978-94-007-1347-5 .