Seguimiento de campo - Field trace

En matemáticas , la traza de campo es un particular, la función se define con respecto a un finito extensión campo L / K , que es un K mapa -linear de L sobre K .

Definición

Deje que K sea un campo y L un finito de extensión (y por lo tanto una extensión algebraica ) de K . L puede ser visto como un espacio vectorial sobre K . Multiplicación por α , un elemento de L ,

${\ Displaystyle m _ {\ alpha}: L \ to L {\ text {dado por}} m _ {\ alpha} (x) = \ alpha x}$ ,

es un K - transformación lineal de este espacio vectorial en sí mismo. La traza , Tr _{L / K} ( α ), se define como la traza (álgebra lineal) de esta transformación lineal.

Para α en L , sean σ ₁ ( α ), ..., σ _n ( α ) las raíces (contadas con multiplicidad) del polinomio mínimo de α sobre K (en algún campo de extensión de K ), entonces

${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} _ {L / K} (\ alpha) = [L: K (\ alpha)] \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ sigma _ {j} (\ alpha) }$ .

Si L / K es separable, entonces cada raíz aparece solo una vez (sin embargo, esto no significa que el coeficiente anterior sea uno; por ejemplo, si α es el elemento de identidad 1 de K, entonces la traza es [ L : K ] multiplicada por 1).

Más particularmente, si L / K es una extensión de Galois y α está en L , entonces la traza de α es la suma de todos los conjugados de Galois de α , es decir,

${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} _ {L / K} (\ alpha) = \ sum _ {\ sigma \ in \ operatorname {Gal} (L / K)} \ sigma (\ alpha),}$

donde Gal ( L / K ) denota el grupo de Galois de L / K .

Ejemplo

Sea una extensión cuadrática de . Entonces una base de If entonces la matriz de es: ${\ Displaystyle L = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle L / \ mathbb {Q} {\ text {es}} \ {1, {\ sqrt {d}} \}.}$${\ Displaystyle \ alpha = a + b {\ sqrt {d}}}$${\ Displaystyle m _ {\ alpha}}$

${\ Displaystyle \ left [{\ begin {matrix} a & bd \\ b & a \ end {matrix}} \ right]}$ ,

y así ,. El polinomio mínimo de α es X ² - 2 a X + a ² - d b ² . ${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} _ {L / \ mathbb {Q}} (\ alpha) = [L: \ mathbb {Q} (\ alpha)] \ left (\ sigma _ {1} (\ alpha) + \ sigma _ {2} (\ alpha) \ right) = 1 \ times \ left (\ sigma _ {1} (\ alpha) + {\ overline {\ sigma _ {1}}} (\ alpha) \ right) = a + b {\ sqrt {d}} + ab {\ sqrt {d}} = 2a}$

Propiedades de la traza

Varias propiedades de la función de seguimiento se mantienen para cualquier extensión finita.

La traza Tr _{L / K}  : L → K es un K - mapa lineal (una K -linear funcional), es decir

${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} _ {L / K} (\ alpha a + \ beta b) = \ alpha \ operatorname {Tr} _ {L / K} (a) + \ beta \ operatorname {Tr} _ {L / K} (b) {\ text {para todos}} \ alpha, \ beta \ in K}$ .

Si α ∈ K entonces ${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} _ {L / K} (\ alpha) = [L: K] \ alpha.}$

Además, la traza se comporta bien en torres de campos : si M es una extensión finita de L , entonces la traza de M a K es solo la composición de la traza de M a L con la traza de L a K , es decir

${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} _ {M / K} = \ operatorname {Tr} _ {L / K} \ circ \ operatorname {Tr} _ {M / L}}$ .

Campos finitos

Sea L = GF ( q ⁿ ) una extensión finita de un campo finito K = GF ( q ). Dado que L / K es una extensión de Galois , si α está en L , entonces la traza de α es la suma de todos los conjugados de Galois de α , es decir

${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} _ {L / K} (\ alpha) = \ alpha + \ alpha ^ {q} + \ cdots + \ alpha ^ {q ^ {n-1}}}$ .

En esta configuración tenemos las propiedades adicionales:

• ${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} _ {L / K} (a ^ {q}) = \ operatorname {Tr} _ {L / K} (a) {\ text {for}} a \ in L}$ .
• Para cualquiera , hay exactamente elementos con . ${\ Displaystyle \ alpha \ en K}$${\ Displaystyle q ^ {n-1}}$${\ Displaystyle b \ in L}$${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} _ {L / K} (b) = \ alpha}$

Teorema . Para b ∈ L , sea F _b el mapa Entonces F _b ≠ F _c si b ≠ c . Además, la K transformaciones -linear de L a K son exactamente los mapas de la forma F _b como b varía en el campo L . ${\ Displaystyle a \ mapsto \ operatorname {Tr} _ {L / K} (ba).}$

Cuando K es el subcampo principal de L , la traza se denomina traza absoluta y, de lo contrario, es una traza relativa .

Solicitud

Una ecuación cuadrática, ax ² + bx + c = 0 , con a ≠ 0 , y coeficientes en el campo finito tiene 0, 1 o 2 raíces en GF ( q ) (y dos raíces, contadas con multiplicidad, en la extensión cuadrática GF ( q ² )). Si la característica de GF ( q ) es impar, el discriminante , Δ = b ² - 4 ac indica el número de raíces en GF ( q ) y la fórmula cuadrática clásica da las raíces. Sin embargo, cuando GF ( q ) tiene una característica par (es decir, q = 2 ^h para algún entero positivo h ), estas fórmulas ya no son aplicables. ${\ Displaystyle \ operatorname {GF} (q) = \ mathbb {F} _ {q}}$

Considere la ecuación cuadrática ax ² + bx + c = 0 con coeficientes en el campo finito GF (2 ^h ). Si b = 0, entonces esta ecuación tiene la única solución en GF ( q ). Si b ≠ 0, entonces la sustitución y = ax / b convierte la ecuación cuadrática a la forma: ${\ Displaystyle x = {\ sqrt {\ frac {c} {a}}}}$

${\ Displaystyle y ^ {2} + y + \ delta = 0, {\ text {where}} \ delta = {\ frac {ac} {b ^ {2}}}}$ .

Esta ecuación tiene dos soluciones en GF ( q ) si y solo si la traza absoluta. En este caso, si y = s es una de las soluciones, entonces y = s + 1 es la otra. Sea k cualquier elemento de GF ( q ) con Entonces, una solución a la ecuación viene dada por: ${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} _ {GF (q) / GF (2)} (\ delta) = 0.}$${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} _ {GF (q) / GF (2)} (k) = 1.}$

${\ Displaystyle y = s = k \ delta ^ {2} + (k + k ^ {2}) \ delta ^ {4} + \ ldots + (k + k ^ {2} + \ ldots + k ^ {2 ^ {h-2}}) \ delta ^ {2 ^ {h-1}}}$ .

Cuando h = 2 m + 1, una solución viene dada por la expresión más simple:

${\ Displaystyle y = s = \ delta + \ delta ^ {2 ^ {2}} + \ delta ^ {2 ^ {4}} + \ ldots + \ delta ^ {2 ^ {2m}}}$ .

Formulario de seguimiento

Cuando L / K es separable, la traza proporciona una teoría de la dualidad a través de la forma de traza : el mapa de L × L a K enviar ( x , y ) a Tr _{L / K} ( xy ) es un no degenerado , simétrico , forma bilineal llama el forma de seguimiento. Si L / K es una extensión de Galois, la forma de la traza es invariante con respecto al grupo de Galois.

La forma de traza se usa en la teoría algebraica de números en la teoría de los diferentes ideales .

La forma de seguimiento para una finito campo grado de extensión L / K tiene no negativo firma para cualquier pedido campo de K . Lo contrario, que cada equivalencia Witt clase con la firma no negativo contiene un estado de trazas, es cierto para los campos de números algebraicos K .

Si L / K es una extensión inseparable , entonces la forma de seguimiento es idénticamente 0.

Ver también

• Norma de campo
• Traza reducida

Notas

Referencias

• Hirschfeld, JWP (1979), Geometrías proyectivas sobre campos finitos , Monografías matemáticas de Oxford, Oxford University Press, ISBN   0-19-853526-0
• Isaacs, IM (1994), Álgebra, un curso de posgrado , Brooks / Cole Publishing
• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997) [1983], Finite Fields , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 20 (Segunda ed.), Cambridge University Press , ISBN   0-521-39231-4 , Zbl   0866.11069
• Lorenz, Falko (2008). Álgebra. Volumen II: Campos con Estructura, Álgebras y Temas Avanzados . Saltador. ISBN   978-0-387-72487-4 . Zbl   1130.12001 .
• Mullen, Gary L .; Panario, Daniel (2013), Manual de campos finitos , CRC Press, ISBN   978-1-4398-7378-6
• Roman, Steven (2006), Teoría de campo , Textos de posgrado en matemáticas, 158 (Segunda ed.), Springer, Capítulo 8, ISBN   978-0-387-27677-9 , Zbl   1172.12001
• Rotman, Joseph J. (2002), Álgebra moderna avanzada , Prentice Hall, ISBN   978-0-13-087868-7

Otras lecturas

• Conner, PE; Perlis, R. (1984). Una encuesta de formas de seguimiento de campos numéricos algebraicos . Serie en Matemática Pura. 2 . World Scientific. ISBN   9971-966-05-0 . Zbl   0551.10017 .
• Sección VI.5 de Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , 211 (Tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-95385-4 , MR   1878556 , Zbl   0.984,00001