Eta invariante - Eta invariant

En matemáticas , el invariante eta de un operador diferencial elíptico autoadjunto en una variedad compacta es formalmente el número de autovalores positivos menos el número de autovalores negativos. En la práctica, ambos números suelen ser infinitos, por lo que se definen mediante la regularización de la función zeta . Fue introducido por Atiyah , Patodi y Singer  ( 1973 , 1975 ) quienes lo usaron para extender el teorema de la firma de Hirzebruch a variedades con límite. El nombre proviene del hecho de que es una generalización de la función eta de Dirichlet .

Más tarde, también utilizaron el invariante eta de un operador autoadjunto para definir el invariante eta de una variedad compacta lisa de dimensiones impares.

Michael Francis Atiyah , H. Donnelly e IM Singer ( 1983 ) definieron el defecto característico del límite de una variedad como el invariante eta, y lo utilizaron para mostrar que el defecto característico de Hirzebruch de una cúspide de una superficie modular de Hilbert se puede expresar en términos del valor en s = 0 o 1 de una función L de Shimizu .

Definición

El invariante eta del operador autoadjunto A viene dado por η _A (0), donde η es la continuación analítica de

${\ Displaystyle \ eta (s) = \ sum _ {\ lambda \ neq 0} {\ frac {\ operatorname {sign} (\ lambda)} {| \ lambda | ^ {s}}}}$

y la suma es sobre el distinto de cero valores propios λ de  A .

Referencias

• Atiyah, Michael Francis ; Patodi, VK; Singer, IM (1973), "Asimetría espectral y geometría de Riemann", The Bulletin of the London Mathematical Society , 5 (2): 229-234, CiteSeerX  10.1.1.597.6432 , doi : 10.1112 / blms / 5.2.229 , ISSN  0024-6093 , MR  0331443
• Atiyah, Michael Francis ; Patodi, VK; Singer, IM (1975), "Asimetría espectral y geometría riemanniana. I", Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 77 : 43–69, doi : 10.1017 / S0305004100049410 , ISSN  0305-0041 , MR  0397797
• Atiyah, Michael Francis ; Donnelly, H .; Singer, IM (1983), "Eta invariantes, defectos característicos de las cúspides y valores de las funciones L", Annals of Mathematics , Second Series, 118 (1): 131-177, doi : 10.2307 / 2006957 , ISSN  0003-486X , JSTOR  2006957 , MR  0707164