Teorema de Ehrenfest - Ehrenfest theorem

Parte de una serie sobre
Mecánica cuántica
${\ Displaystyle i \ hbar {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Ecuación de Schrödinger
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El teorema de Ehrenfest , el nombre de Paul Ehrenfest , un físico teórico austriaco en la Universidad de Leiden , relaciona el tiempo derivado de los valores esperados de la posición y el momento operadores x y p para el valor esperado de la fuerza sobre una partícula masiva se mueve en un potencial escalar , ${\ Displaystyle F = -V '(x)}$${\ Displaystyle V (x)}$

El teorema de Ehrenfest es un caso especial de una relación más general entre la expectativa de cualquier operador mecánico cuántico y la expectativa del conmutador de ese operador con el hamiltoniano del sistema.

donde A es algún operador mecánica cuántica y ⟨ Un ⟩ es su valor esperado . Este teorema más general no fue realmente derivado por Ehrenfest (se debe a Werner Heisenberg ).

Es más evidente en la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica, donde es solo el valor esperado de la ecuación de movimiento de Heisenberg. Proporciona soporte matemático al principio de correspondencia .

La razón es que el teorema de Ehrenfest está estrechamente relacionado con el teorema de Liouville de la mecánica hamiltoniana , que involucra el corchete de Poisson en lugar de un conmutador. La regla empírica de Dirac sugiere que los enunciados de la mecánica cuántica que contienen un conmutador corresponden a los enunciados de la mecánica clásica en los que el conmutador es reemplazado por un corchete de Poisson multiplicado por iħ . Esto hace que los valores esperados del operador obedezcan a las correspondientes ecuaciones clásicas de movimiento, siempre que el hamiltoniano sea como máximo cuadrático en las coordenadas y momentos. De lo contrario, las ecuaciones de evolución aún pueden mantenerse aproximadamente , siempre que las fluctuaciones sean pequeñas.

Relación con la física clásica

Aunque, a primera vista, podría parecer que el teorema de Ehrenfest dice que los valores esperados de la mecánica cuántica obedecen a las ecuaciones clásicas de movimiento de Newton, este no es realmente el caso. Si el par cumpliera la segunda ley de Newton, el lado derecho de la segunda ecuación tendría que ser ${\ Displaystyle (\ langle x \ rangle, \ langle p \ rangle)}$

${\ Displaystyle -V '\ left (\ left \ langle x \ right \ rangle \ right),}$

que normalmente no es lo mismo que

${\ Displaystyle - \ left \ langle V '(x) \ right \ rangle.}$

Si, por ejemplo, el potencial es cúbico (es decir, proporcional a ), entonces es cuadrático (proporcional a ). Esto significa que, en el caso de la segunda ley de Newton, el lado derecho tendría la forma de , mientras que en el teorema de Ehrenfest tiene la forma de . La diferencia entre estas dos cantidades es el cuadrado de la incertidumbre en y, por lo tanto, es diferente de cero. ${\ Displaystyle V (x)}$${\ Displaystyle x ^ {3}}$${\ Displaystyle V '}$${\ Displaystyle x ^ {2}}$${\ Displaystyle \ langle x \ rangle ^ {2}}$${\ Displaystyle \ langle x ^ {2} \ rangle}$${\ Displaystyle x}$

Se produce una excepción en el caso de que las ecuaciones clásicas de movimiento sean lineales, es decir, cuando sea ​​cuadrática y lineal. En ese caso especial, ya estoy de acuerdo. Por lo tanto, para el caso de un oscilador armónico cuántico, la posición esperada y el momento esperado siguen exactamente las trayectorias clásicas. ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle V '}$${\ Displaystyle V '\ left (\ left \ langle x \ right \ rangle \ right)}$${\ Displaystyle \ left \ langle V '(x) \ right \ rangle}$

Para sistemas generales, si la función de onda está muy concentrada alrededor de un punto , entonces y será casi igual, ya que ambos serán aproximadamente iguales a . En ese caso, la posición esperada y el impulso esperado seguirán aproximadamente las trayectorias clásicas, al menos mientras la función de onda permanezca localizada en su posición. ${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle V '\ left (\ left \ langle x \ right \ rangle \ right)}$${\ Displaystyle \ left \ langle V '(x) \ right \ rangle}$${\ Displaystyle V '(x_ {0})}$

Derivación en la imagen de Schrödinger

Supongamos que algún sistema se encuentra actualmente en un estado cuántico Φ . Si queremos conocer la derivada instantánea en el tiempo del valor esperado de A , es decir, por definición

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle A \ rangle & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d } t}} \ int \ Phi ^ {*} A \ Phi \, \ mathrm {d} ^ {3} x \\ & = \ int \ left ({\ frac {\ partial \ Phi ^ {*}} { \ parcial t}} \ derecha) A \ Phi \, \ mathrm {d} ^ {3} x + \ int \ Phi ^ {*} \ izquierda ({\ frac {\ parcial A} {\ parcial t}} \ derecha ) \ Phi \, \ mathrm {d} ^ {3} x + \ int \ Phi ^ {*} A \ left ({\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial t}} \ right) \, \ mathrm { d} ^ {3} x \\ & = \ int \ izquierda ({\ frac {\ parcial \ Phi ^ {*}} {\ parcial t}} \ derecha) A \ Phi \, \ mathrm {d} ^ { 3} x + \ izquierda \ langle {\ frac {\ parcial A} {\ parcial t}} \ derecha \ rangle + \ int \ Phi ^ {*} A \ izquierda ({\ frac {\ parcial \ Phi} {\ parcial t}} \ right) \, \ mathrm {d} ^ {3} x \ end {alineado}}}$

donde nos estamos integrando en todo el espacio. Si aplicamos la ecuación de Schrödinger , encontramos que

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ Phi} {\ parcial t}} = {\ frac {1} {i \ hbar}} H \ Phi}$

Al tomar el conjugado complejo encontramos

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ Phi ^ {*}} {\ parcial t}} = - {\ frac {1} {i \ hbar}} \ Phi ^ {*} H ^ {*} = - { \ frac {1} {i \ hbar}} \ Phi ^ {*} H.}$

Tenga en cuenta H = H   ^∗ , porque el hamiltoniano es hermitiano . Colocando esto en la ecuación anterior tenemos

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle A \ rangle = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ int \ Phi ^ {*} (AH-HA) \ Phi ~ d ^ { 3} x + \ izquierda \ langle {\ frac {\ parcial A} {\ parcial t}} \ derecha \ rangle = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [A, H] \ rangle + \ izquierda \ langle {\ frac {\ parcial A} {\ parcial t}} \ right \ rangle.}$

A menudo (pero no siempre) el operador A es independiente del tiempo, por lo que su derivada es cero y podemos ignorar el último término.

Derivación en la imagen de Heisenberg

En la imagen de Heisenberg , la derivación es trivial. La imagen de Heisenberg traslada la dependencia temporal del sistema a los operadores en lugar de a los vectores de estado. Comenzando con la ecuación de movimiento de Heisenberg

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} A (t) = {\ frac {\ parcial A (t)} {\ parcial t}} + {\ frac {1} {i \ hbar}} [A (t), H],}$

podemos derivar el teorema de Ehrenfest simplemente proyectando la ecuación de Heisenberg desde la derecha y desde la izquierda, o tomando el valor esperado, por lo que ${\ Displaystyle | \ Psi \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle \ Psi |}$

${\ Displaystyle \ left \ langle \ Psi \ left | {\ frac {d} {dt}} A (t) \ right | \ Psi \ right \ rangle = \ left \ langle \ Psi \ left | {\ frac {\ parcial A (t)} {\ parcial t}} \ right | \ Psi \ right \ rangle + \ left \ langle \ Psi \ left | {\ frac {1} {i \ hbar}} [A (t), H ] \ right | \ Psi \ right \ rangle,}$

Podemos tirar del D / dt fuera del primer término, ya que los vectores de estado ya no dependen del tiempo en la imagen de Heisenberg. Por lo tanto,

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle A (t) \ rangle = \ left \ langle {\ frac {\ parcial A (t)} {\ parcial t}} \ right \ rangle + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left \ langle [A (t), H] \ right \ rangle}$

Ejemplo general

Sin embargo, los valores esperados del teorema son los mismos en la imagen de Schrödinger . Para el ejemplo muy general de una partícula masiva que se mueve en un potencial , el hamiltoniano es simplemente

${\ Displaystyle H (x, p, t) = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} + V (x, t)}$

donde x es la posición de la partícula.

Suponga que quisiéramos conocer el cambio instantáneo en la expectativa de la cantidad de movimiento p . Usando el teorema de Ehrenfest, tenemos

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle p \ rangle = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [p, H] \ rangle + \ left \ langle {\ frac {\ p parcial} {\ t parcial}} \ right \ rangle = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [p, V (x, t)] \ rangle,}$

ya que el operador p conmuta consigo mismo y no tiene dependencia del tiempo. Al expandir el lado derecho, reemplazando p por - iħ ∇ , obtenemos

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle p \ rangle = \ int \ Phi ^ {*} V (x, t) {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ Phi ~ dx - \ int \ Phi ^ {*} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} (V (x, t) \ Phi) ~ dx ~.}$

Después de aplicar la regla del producto en el segundo término, tenemos

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {d} {dt}} \ langle p \ rangle & = \ int \ Phi ^ {*} V (x, t) {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ Phi ~ dx- \ int \ Phi ^ {*} \ izquierda ({\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} V (x, t) \ derecha) \ Phi ~ dx- \ int \ Phi ^ {*} V (x, t) {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} \ Phi ~ dx \\ & = - \ int \ Phi ^ {*} \ left ({\ frac {\ partial} {\ parcial x}} V (x, t) \ derecha) \ Phi ~ dx \\ & = \ izquierda \ langle - {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} V (x, t) \ derecha \ rangle = \ langle F \ rangle. \ end {alineado}}}$

Como se explicó en la introducción, este resultado no dice que el par satisfaga la segunda ley de Newton , porque el lado derecho de la fórmula es en lugar de . Sin embargo, como se explicó en la introducción, para los estados que están muy localizados en el espacio, la posición y el momento esperados seguirán aproximadamente trayectorias clásicas, lo que puede entenderse como una instancia del principio de correspondencia . ${\ Displaystyle (\ langle X \ rangle, \ langle P \ rangle)}$${\ Displaystyle \ langle F (x, t) \ rangle,}$${\ Displaystyle F (\ langle X \ rangle, t)}$

De manera similar, podemos obtener el cambio instantáneo en el valor esperado de la posición.

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {d} {dt}} \ langle x \ rangle & = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [x, H] \ rangle + \ left \ langle {\ frac {\ parcial x} {\ parcial t}} \ right \ rangle \\ [5pt] & = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left \ langle \ left [x, {\ frac {p ^ {2}} {2m}} + V (x, t) \ right] \ right \ rangle +0 \\ [5pt] & = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left \ langle \ left [x, {\ frac {p ^ {2}} {2m}} \ right] \ right \ rangle \\ [5pt] & = {\ frac {1} {i \ hbar 2m}} \ left \ langle [x, p] {\ frac {d} {dp}} p ^ {2} \ right \ rangle \\ [5pt] & = {\ frac {1} {i \ hbar 2m}} \ langle i \ hbar 2p \ rangle \\ [5pt] & = {\ frac {1} {m}} \ langle p \ rangle \ end {alineado}}}$

En realidad, este resultado concuerda exactamente con la ecuación clásica.

Derivación de la ecuación de Schrödinger a partir de los teoremas de Ehrenfest

Se estableció anteriormente que los teoremas de Ehrenfest son consecuencia de la ecuación de Schrödinger . Sin embargo, lo contrario también es cierto: la ecuación de Schrödinger se puede inferir de los teoremas de Ehrenfest. Comenzamos desde

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} m {\ frac {d} {dt}} \ left \ langle \ Psi (t) \ right | {\ hat {x}} \ left | \ Psi (t) \ right \ rangle & = \ left \ langle \ Psi (t) \ right | {\ hat {p}} \ left | \ Psi (t) \ right \ rangle, \\ [5pt] {\ frac {d} {dt}} \ left \ langle \ Psi (t) \ right | {\ hat {p}} \ left | \ Psi (t) \ right \ rangle & = \ left \ langle \ Psi (t) \ right | -V '({ \ hat {x}}) \ left | \ Psi (t) \ right \ rangle. \ end {alineado}}}$

La aplicación de la regla del producto conduce a

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ left \ langle {\ frac {d \ Psi} {dt}} {\ Big |} {\ hat {x}} {\ Big |} \ Psi \ right \ rangle + \ left \ langle \ Psi {\ Big |} {\ hat {x}} {\ Big |} {\ frac {d \ Psi} {dt}} \ right \ rangle & = \ left \ langle \ Psi {\ Big | } {\ frac {\ hat {p}} {m}} {\ Big |} \ Psi \ right \ rangle, \\ [5pt] \ left \ langle {\ frac {d \ Psi} {dt}} {\ Big |} {\ hat {p}} {\ Big |} \ Psi \ right \ rangle + \ left \ langle \ Psi {\ Big |} {\ hat {p}} {\ Big |} {\ frac {d \ Psi} {dt}} \ right \ rangle & = \ langle \ Psi | -V '({\ hat {x}}) | \ Psi \ rangle, \ end {alineado}}}$

Aquí, aplique el teorema de Stone , usando Ĥ para denotar el generador cuántico de traslación del tiempo. El siguiente paso es mostrar que es el mismo que el operador hamiltoniano utilizado en mecánica cuántica. El teorema de Stone implica

${\ Displaystyle i \ hbar \ left | {\ frac {d \ Psi} {dt}} \ right \ rangle = {\ hat {H}} | \ Psi (t) \ rangle ~,}$

donde ħ se introdujo como una constante de normalización a la dimensionalidad del equilibrio. Dado que estas identidades deben ser válidas para cualquier estado inicial, el promedio se puede eliminar y se deriva el sistema de ecuaciones del conmutador para Ĥ :

${\ Displaystyle im [{\ hat {H}}, {\ hat {x}}] = \ hbar {\ hat {p}}, \ qquad i [{\ hat {H}}, {\ hat {p} }] = - \ hbar V '({\ hat {x}}).}$

Suponiendo que los observables de la coordenada y el momento obedecen a la relación de conmutación canónica [ x̂, p̂ ] = iħ . Configuración , las ecuaciones del conmutador se pueden convertir en ecuaciones diferenciales ${\ Displaystyle {\ hat {H}} = H ({\ hat {x}}, {\ hat {p}})}$

${\ Displaystyle m {\ frac {\ parcial H (x, p)} {\ parcial p}} = p, \ qquad {\ frac {\ parcial H (x, p)} {\ parcial x}} = V ' (X),}$

cuya solución es el familiar cuántico hamiltoniano

${\ Displaystyle {\ hat {H}} = {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}} + V ({\ hat {x}}).}$

Por lo tanto, la ecuación de Schrödinger se derivó de los teoremas de Ehrenfest asumiendo la relación de conmutación canónica entre la coordenada y el momento. Si se supone que las coordenadas y el momento se conmutan, el mismo método computacional conduce a la mecánica clásica de Koopman-von Neumann , que es la formulación espacial de Hilbert de la mecánica clásica . Por lo tanto, esta derivación, así como la derivación de la mecánica de Koopman-von Neumann , muestra que la diferencia esencial entre la mecánica cuántica y la clásica se reduce al valor del conmutador [ x̂, p̂ ] .

Las implicaciones del teorema de Ehrenfest para sistemas con dinámicas clásicamente caóticas se discuten en el artículo de Scholarpedia Ehrenfest time and chaos . Debido a la inestabilidad exponencial de las trayectorias clásicas, el tiempo de Ehrenfest, en el que existe una correspondencia completa entre la evolución cuántica y clásica, es logarítmicamente corto y es proporcional al logaritmo del número cuántico típico. Para el caso de la dinámica integrable, esta escala de tiempo es mucho mayor y es proporcional a una determinada potencia del número cuántico.

Notas

Referencias

• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, 267 , Springer, ISBN   978-1461471158