Problema de puntos - Problem of points
El problema de los puntos , también llamado problema de la división de las apuestas , es un problema clásico de la teoría de la probabilidad . Uno de los famosos problemas que motivaron los inicios de la teoría de la probabilidad moderna en el siglo XVII, llevó a Blaise Pascal al primer razonamiento explícito sobre lo que hoy se conoce como valor esperado .
El problema se refiere a un juego de azar con dos jugadores que tienen las mismas posibilidades de ganar cada ronda. Los jugadores contribuyen igualmente a un pozo de premios y acuerdan de antemano que el primer jugador que haya ganado un cierto número de rondas recibirá el premio completo. Ahora suponga que el juego es interrumpido por circunstancias externas antes de que cualquiera de los jugadores haya logrado la victoria. Entonces, ¿cómo se divide el bote de manera justa? Se entiende tácitamente que la división debe depender de alguna manera del número de rondas ganadas por cada jugador, de modo que un jugador que esté cerca de ganar obtendrá una mayor parte del bote. Pero el problema no es meramente de cálculo; también implica decidir qué es realmente una división "justa".
Soluciones tempranas
Luca Pacioli consideró este problema en su libro de texto de 1494 Summa de arithmetica, geometrica, providencial y proporcionalità . Su método consistía en dividir las apuestas en proporción al número de rondas ganadas por cada jugador, y el número de rondas necesarias para ganar no entraba en sus cálculos en absoluto.
A mediados del siglo XVI, Niccolò Tartaglia notó que el método de Pacioli conduce a resultados contrarios a la intuición si el juego se interrumpe cuando solo se ha jugado una ronda. En ese caso, la regla de Pacioli otorgaría todo el bote al ganador de esa única ronda, aunque una ventaja de una ronda al principio de una partida larga está lejos de ser decisiva. Tartaglia construyó un método que evita ese problema particular al basar la división en la relación entre el tamaño de la ventaja y la duración del juego. Sin embargo, esta solución todavía no está exenta de problemas; en un juego a 100, divide las apuestas de la misma manera para una ventaja de 65-55 que para una ventaja de 99-89, aunque la primera sigue siendo un juego relativamente abierto, mientras que en la última situación la victoria del jugador líder es casi segura . El propio Tartaglia no estaba seguro de que el problema pudiera resolverse de una manera que convenciera a ambos jugadores de su imparcialidad: "de cualquier manera que se haga la división habrá motivo de litigio".
Pascal y Fermat
El problema volvió a surgir hacia 1654 cuando Chevalier de Méré se lo planteó a Blaise Pascal . Pascal discutió el problema en su correspondencia en curso con Pierre de Fermat . A través de esta discusión, Pascal y Fermat no solo proporcionaron una solución convincente y autoconsistente a este problema, sino que también desarrollaron conceptos que siguen siendo fundamentales para la teoría de la probabilidad.
La idea inicial para Pascal y Fermat fue que la división no debería depender tanto de la historia de la parte del juego interrumpido que realmente tuvo lugar, sino de las posibles formas en que el juego podría haber continuado si no hubiera sido interrumpido. Es intuitivamente claro que un jugador con una ventaja de 7-5 en un juego a 10 tiene las mismas posibilidades de ganar eventualmente que un jugador con una ventaja de 17-15 en un juego a 20, y Pascal y Fermat pensaron que la interrupción en cualquiera de las dos situaciones debería conducir a la misma división de las apuestas. En otras palabras, lo importante no es el número de rondas que cada jugador ha ganado hasta ahora, sino el número de rondas que cada jugador aún necesita ganar para lograr la victoria general.
Fermat ahora razonó así: Si un jugador necesidades r más rondas para ganar y el otro necesita s , el juego seguramente habrá sido ganada por alguien después de rondas adicionales. Por tanto, imagina que los jugadores iban a jugar más rondas; en total, estas rondas tienen diferentes resultados posibles. En algunos de estos posibles futuros, el juego se habrá decidido en menos de rondas, pero no hace daño imaginar que los jugadores continúan jugando sin ningún propósito. Considerar solo futuros igualmente largos tiene la ventaja de que uno se convence fácilmente de que cada una de las posibilidades es igualmente probable. Por lo tanto, Fermat pudo calcular las probabilidades de que cada jugador ganara, simplemente escribiendo una tabla de todas las posibles continuaciones y contando cuántas de ellas llevarían a que cada jugador ganara. Fermat ahora consideró obviamente justo dividir las apuestas en proporción a esas probabilidades.
La solución de Fermat, ciertamente "correcta" según los estándares actuales, fue mejorada por Pascal de dos maneras. Primero, Pascal presentó un argumento más elaborado de por qué la división resultante debe considerarse justa. En segundo lugar, mostró cómo calcular la división correcta de manera más eficiente que el método tabular de Fermat, que se vuelve completamente impráctico (sin computadoras modernas) si es más de aproximadamente 10.
En lugar de simplemente considerar la probabilidad de ganar todo el juego restante, Pascal ideó un principio de pasos más pequeños: supongamos que los jugadores hubieran podido jugar solo una ronda más antes de ser interrumpidos, y que ya habíamos decidido cómo dividir equitativamente las apuestas. después de esa una ronda más (posiblemente porque esa ronda permite que uno de los jugadores gane). La ronda extra imaginada puede conducir a uno de dos futuros posibles con diferentes divisiones justas de las apuestas, pero dado que los dos jugadores tienen las mismas posibilidades de ganar la próxima ronda, deben dividir la diferencia entre las dos divisiones futuras de manera uniforme. De esta manera, el conocimiento de las soluciones justas en juegos con menos rondas restantes se puede utilizar para calcular soluciones justas para juegos con más rondas restantes.
Es más fácil convencerse de que este principio es justo que para la tabla de futuros posibles de Fermat, que son doblemente hipotéticos porque hay que imaginar que el juego a veces continúa después de haber sido ganado. El análisis de Pascal aquí es uno de los primeros ejemplos de uso de valores esperados en lugar de probabilidades al razonar sobre la probabilidad. Poco después, esta idea se convertiría en la base del primer tratado sistemático sobre probabilidad de Christiaan Huygens . Más tarde, el concepto moderno de probabilidad surgió del uso de valores esperados por Pascal y Huygens.
La aplicación directa de la regla paso a paso de Pascal es significativamente más rápida que el método de Fermat cuando quedan muchas rondas. Sin embargo, Pascal pudo utilizarlo como punto de partida para desarrollar métodos computacionales más avanzados. Mediante una hábil manipulación de identidades que involucra lo que hoy se conoce como el triángulo de Pascal (incluidas varias de las primeras pruebas explícitas por inducción ), Pascal finalmente demostró que en un juego en el que un jugador necesita r puntos para ganar y el otro necesita s puntos para ganar, la la división de las apuestas está en la proporción de (usando notación moderna)
- donde el término representa el operador de combinación .
El problema de dividir las apuestas se convirtió en un importante ejemplo motivador para Pascal en su Tratado sobre el triángulo aritmético .
Aunque la derivación de Pascal de este resultado fue independiente del método tabular de Fermat, está claro que también describe exactamente el recuento de diferentes resultados de rondas adicionales que sugirió Fermat.
Notas
Referencias
- Anders Hald: Una historia de probabilidad y estadística y sus aplicaciones antes de 1750 . Wiley 2003, ISBN 978-0-471-47129-5 , pág. 35, 54
- Keith Devlin: El juego inacabado: Pascal, Fermat y la carta del siglo XVII que hizo el mundo moderno . Libros básicos 2010, ISBN 978-0465018963