Matriz de coeficientes - Coefficient matrix

En álgebra lineal , una matriz de coeficientes es una matriz que consta de los coeficientes de las variables en un conjunto de ecuaciones lineales . La matriz se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales .

Matriz de coeficientes

En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas se puede escribir como

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} a_ {11} x_ {1} + a_ {12} x_ {2} + \ cdots + a_ {1n} x_ {n} & = b_ {1} \\ a_ {21} x_ {1} + a_ {22} x_ {2} + \ cdots + a_ {2n} x_ {n} & = b_ {2} \\ & \; \; \ vdots \\ a_ {m1} x_ {1} + a_ {m2} x_ {2} + \ cdots + a_ {mn} x_ {n} & = b_ {m} \ end {alineado}}}$

donde están las incógnitas y los números son los coeficientes del sistema. La matriz de coeficientes es la matriz m  ×  n con el coeficiente como la entrada ( i , j ) ésima: ${\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}}$${\ Displaystyle a_ {11}, a_ {12}, \ ldots, a_ {mn}}$${\ Displaystyle a_ {ij}}$ 

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & \ cdots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ cdots & a_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} & a_ {m2} & \ cdots & a_ {mn} \ end {bmatrix}}}$

Entonces, el conjunto de ecuaciones anterior se puede expresar de manera más sucinta como

${\ Displaystyle A \ mathbf {x} = \ mathbf {b}}$

donde A es la matriz de coeficientes y b es el vector columna de términos constantes.

Relación de sus propiedades con las propiedades del sistema de ecuaciones.

Según el teorema de Rouché-Capelli , el sistema de ecuaciones es inconsistente , lo que significa que no tiene soluciones, si el rango de la matriz aumentada (la matriz de coeficientes aumentada con una columna adicional que consiste en el vector b ) es mayor que el rango del coeficiente matriz. Si, por el contrario, los rangos de estas dos matrices son iguales, el sistema debe tener al menos una solución. La solución es única si y solo si el rango r es igual al número n de variables. De lo contrario, la solución general tiene n  -  r parámetros libres; por lo tanto, en tal caso hay una infinidad de soluciones, que se pueden encontrar imponiendo valores arbitrarios en n  -  r de las variables y resolviendo el sistema resultante para su solución única; diferentes elecciones de qué variables corregir, y diferentes valores fijos de ellas, dan diferentes soluciones de sistema.

Ecuaciones dinámicas

Una ecuación en diferencias matriciales de primer orden con término constante se puede escribir como

${\ Displaystyle \ mathbf {y} _ {t + 1} = A \ mathbf {y} _ {t} + \ mathbf {c},}$

donde A es n  ×  n y y y c son n × 1. Este sistema converge a su nivel de estado estacionario de y si y sólo si los valores absolutos de todos los n valores propios de A son de menos de 1.

Una ecuación diferencial matricial de primer orden con término constante se puede escribir como

${\ Displaystyle {\ frac {d \ mathbf {y}} {dt}} = A \ mathbf {y} (t) + \ mathbf {c}.}$

Este sistema es estable si y solo si todos los n valores propios de A tienen partes reales negativas .

Referencias