Matriz aumentada - Augmented matrix

En álgebra lineal , una matriz aumentada es una matriz que se obtiene agregando las columnas de dos matrices dadas, generalmente con el propósito de realizar las mismas operaciones de fila elementales en cada una de las matrices dadas.

Dadas las matrices A y B , donde

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 5 & 2 & 2 \ end {bmatrix}}, \ quad B = {\ begin {bmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \ end {bmatrix}},}$

la matriz aumentada ( A | B ) se escribe como

${\ displaystyle (A | B) = \ left [{\ begin {array} {ccc | c} 1 & 3 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 2 & 1 \ end {array}} \ right].}$

Esto es útil al resolver sistemas de ecuaciones lineales .

Para un número dado de incógnitas, el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales depende solo del rango de la matriz que representa el sistema y del rango de la matriz aumentada correspondiente. Específicamente, de acuerdo con el teorema de Rouché-Capelli , cualquier sistema de ecuaciones lineales es inconsistente (no tiene soluciones) si el rango de la matriz aumentada es mayor que el rango de la matriz de coeficientes ; si, por el contrario, los rangos de estas dos matrices son iguales, el sistema debe tener al menos una solución. La solución es única si y solo si el rango es igual al número de variables. De lo contrario, la solución general tiene k parámetros libres donde k es la diferencia entre el número de variables y el rango; por tanto, en tal caso hay una infinidad de soluciones.

También se puede usar una matriz aumentada para encontrar la inversa de una matriz combinándola con la matriz de identidad .

Para encontrar la inversa de una matriz

Sea C la matriz cuadrada de 2 × 2

${\ displaystyle C = {\ begin {bmatrix} 1 y 3 \\ - 5 y 0 \ end {bmatrix}}.}$

Para encontrar la inversa de C creamos ( C | I ) donde I es la matriz identidad 2 × 2 . Luego reducimos la parte de ( C | I ) correspondiente a C a la matriz identidad usando solo operaciones de fila elementales en ( C | I ).

${\ displaystyle (C | I) = \ left [{\ begin {array} {cc | cc} 1 & 3 & 1 & 0 \\ - 5 & 0 & 0 & 1 \ end {array}} \ right]}$

${\ displaystyle (I | C ^ {- 1}) = \ left [{\ begin {array} {cc | cc} 1 & 0 & 0 & - {\ frac {1} {5}} \\ 0 & 1 & {\ frac {1} { 3}} & {\ frac {1} {15}} \ end {array}} \ right]}$,

cuya parte derecha es la inversa de la matriz original.

Existencia y cantidad de soluciones

Considere el sistema de ecuaciones

${\ displaystyle {\ begin {alineado} x + y + 2z & = 2 \\ x + y + z & = 3 \\ 2x + 2y + 2z & = 6. \ end {alineado}}}$

La matriz de coeficientes es

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\\ end {bmatrix}},}$

y la matriz aumentada es

${\ displaystyle (A | B) = \ left [{\ begin {array} {ccc | c} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 2 & 6 \ end {array}} \ right].}$

Dado que ambos tienen el mismo rango, a saber 2, existe al menos una solución; y dado que su rango es menor que el número de incógnitas, siendo este último 3, hay un número infinito de soluciones.

Por el contrario, considere el sistema

${\ displaystyle {\ begin {alineado} x + y + 2z & = 3 \\ x + y + z & = 1 \\ 2x + 2y + 2z & = 5. \ end {alineado}}}$

La matriz de coeficientes es

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\\ end {bmatrix}},}$

y la matriz aumentada es

${\ displaystyle (A | B) = \ left [{\ begin {array} {ccc | c} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 5 \ end {array}} \ right].}$

En este ejemplo, la matriz de coeficientes tiene rango 2 mientras que la matriz aumentada tiene rango 3; entonces este sistema de ecuaciones no tiene solución. De hecho, un aumento en el número de filas linealmente independientes ha hecho que el sistema de ecuaciones sea inconsistente .

Solución de un sistema lineal

Como se usa en álgebra lineal, se usa una matriz aumentada para representar los coeficientes y el vector solución de cada conjunto de ecuaciones. Para el conjunto de ecuaciones

${\ displaystyle {\ begin {alineado} x + 2y + 3z & = 0 \\ 3x + 4y + 7z & = 2 \\ 6x + 5y + 9z & = 11 \ end {alineado}}}$

los coeficientes y los términos constantes dan las matrices

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 7 \\ 6 & 5 & 9 \ end {bmatrix}}, \ quad B = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 2 \\ 11 \ end {bmatrix}},}$

y por lo tanto dar la matriz aumentada

${\ displaystyle (A | B) = \ left [{\ begin {array} {ccc | c} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 3 & 4 & 7 & 2 \\ 6 & 5 & 9 & 11 \ end {array}} \ right]}$.

Tenga en cuenta que el rango de la matriz de coeficientes, que es 3, es igual al rango de la matriz aumentada, por lo que existe al menos una solución; y dado que este rango es igual al número de incógnitas, hay exactamente una solución.

Para obtener la solución, las operaciones de fila se pueden realizar en la matriz aumentada para obtener la matriz de identidad en el lado izquierdo, lo que produce

${\ Displaystyle \ left [{\ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\\ end {array}} \ right],}$

entonces la solución del sistema es ( x , y , z ) = (4, 1, -2).

Referencias

• Marvin Marcus y Henryk Minc, Un estudio de la teoría de matrices y las desigualdades de matrices , Publicaciones de Dover , 1992, ISBN  0-486-67102-X . Página 31.