Conjuntos causales - Causal sets

Más allá del modelo estándar
Datos simulados del detector de partículas CMS del gran colisionador de hadrones que muestran un bosón de Higgs producido por la colisión de protones que se descomponen en chorros de hadrones y electrones
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El programa de conjuntos causales es un enfoque de la gravedad cuántica . Sus principios fundamentales son que el espacio-tiempo es fundamentalmente discreto (una colección de puntos discretos del espacio-tiempo, llamados elementos del conjunto causal) y que los eventos del espacio-tiempo están relacionados por un orden parcial . Este orden parcial tiene el significado físico de las relaciones de causalidad entre eventos espaciotemporales.

El programa se basa en un teorema de David Malament que establece que si hay un mapa biyectivo entre dos tiempos espaciales distintivos pasados ​​y futuros que conserva su estructura causal, entonces el mapa es un isomorfismo conforme . El factor conforme que queda indeterminado está relacionado con el volumen de regiones en el espacio-tiempo. Este factor de volumen se puede recuperar especificando un elemento de volumen para cada punto del espacio-tiempo. El volumen de una región de espacio-tiempo se puede encontrar contando el número de puntos en esa región.

Los conjuntos causales fueron iniciados por Rafael Sorkin, quien sigue siendo el principal impulsor del programa. Ha acuñado el lema "Orden + Número = Geometría" para caracterizar el argumento anterior. El programa proporciona una teoría en la que el espacio-tiempo es fundamentalmente discreto al tiempo que conserva la invariancia de Lorentz local .

Definición

Un conjunto causal (o causa ) es un conjunto con una relación de orden parcial que es ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle \ preceq}$

• Reflexivo : Para todos , tenemos .${\ Displaystyle x \ in C}$${\ Displaystyle x \ preceq x}$
• Antisimétrico : Para todos , tenemos e implica .${\ Displaystyle x, y \ en C}$${\ Displaystyle x \ preceq y}$${\ Displaystyle y \ preceq x}$${\ Displaystyle x = y}$
• Transitivo : Para todos , tenemos e implica .${\ Displaystyle x, y, z \ en C}$${\ Displaystyle x \ preceq y}$${\ Displaystyle y \ preceq z}$${\ Displaystyle x \ preceq z}$
• Localmente finito : Para todos , tenemos un conjunto finito.${\ Displaystyle x, z \ en C}$${\ Displaystyle \ {y \ en C | x \ preceq y \ preceq z \}}$

Escribiremos si y . ${\ Displaystyle x \ prec y}$${\ Displaystyle x \ preceq y}$${\ Displaystyle x \ neq y}$

El conjunto representa el conjunto de eventos espaciotemporales y la relación de orden representa la relación causal entre eventos (ver estructura causal para la idea análoga en una variedad de Lorentz ). ${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle \ preceq}$

Aunque esta definición utiliza la convención reflexiva, podríamos haber elegido la convención irreflexiva en la que la relación de orden es irreflexiva y asimétrica .

La relación causal de una variedad de Lorentz (sin curvas causales cerradas ) satisface las tres primeras condiciones. Es la condición de finitud local la que introduce la discreción espaciotemporal.

Comparación con el continuo

Dado un conjunto causal, podemos preguntarnos si se puede incrustar en una variedad de Lorentz . Una incrustación sería un mapa que toma elementos del conjunto causal en puntos en la variedad, de modo que la relación de orden del conjunto causal coincide con el ordenamiento causal de la variedad. Sin embargo, se necesita un criterio adicional antes de que la incrustación sea adecuada. Si, en promedio, el número de elementos del conjunto causal mapeados en una región de la variedad es proporcional al volumen de la región, entonces se dice que la incrustación es fiel . En este caso, podemos considerar que el conjunto causal es 'múltiple'

Una conjetura central del programa del conjunto causal es que el mismo conjunto causal no se puede incrustar fielmente en dos espaciotiempos que no son similares a gran escala. Esto se llama Hauptvermutung , que significa "conjetura fundamental". Es difícil definir esta conjetura precisamente porque es difícil decidir cuándo dos espaciotiempo son "similares a gran escala".

Modelar el espacio-tiempo como un conjunto causal requeriría que limitáramos la atención a esos conjuntos causales que son "múltiples". Dado un conjunto causal, esta es una propiedad difícil de determinar.

Aspersión

Una parcela de 1000 puntos rociados en 1 + 1 dimensiones

La dificultad de determinar si un conjunto causal puede integrarse en una variedad puede abordarse desde la otra dirección. Podemos crear un conjunto causal esparciendo puntos en una variedad de Lorentz. Al esparcir puntos en proporción al volumen de las regiones del espacio-tiempo y al usar las relaciones de orden causal en la variedad para inducir relaciones de orden entre los puntos esparcidos, podemos producir un conjunto causal que (por construcción) se puede incrustar fielmente en la variedad.

Para mantener la invariancia de Lorentz, esta dispersión de puntos se debe realizar al azar mediante un proceso de Poisson . Por tanto, la probabilidad de rociar puntos en una región de volumen es ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle V}$

${\ Displaystyle P (n) = {\ frac {(\ rho V) ^ {n} e ^ {- \ rho V}} {n!}}}$

donde es la densidad de la aspersión. ${\ Displaystyle \ rho}$

Rociar puntos como una celosía regular no mantendría el número de puntos proporcional al volumen de la región.

Geometría

Algunas construcciones geométricas en variedades se trasladan a conjuntos causales. Al definir estos, debemos recordar confiar solo en el conjunto causal en sí, no en ningún espacio-tiempo de fondo en el que pueda estar incrustado. Para obtener una descripción general de estas construcciones, consulte.

Geodésicas

Una trama de geodésicas entre dos puntos en un conjunto causal de 180 puntos hecho mediante la aspersión en dimensiones 1 + 1

Un vínculo en un conjunto causal es un par de elementos tal que pero sin tal eso . ${\ Displaystyle x, y \ en C}$${\ Displaystyle x \ prec y}$${\ Displaystyle z \ in C}$${\ Displaystyle x \ prec z \ prec y}$

Una cadena es una secuencia de elementos tal que para . La longitud de una cadena es . Si todos en la cadena forman un eslabón, entonces la cadena se llama camino . ${\ Displaystyle x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$${\ Displaystyle x_ {i} \ prec x_ {i + 1}}$${\ Displaystyle i = 0, \ ldots, n-1}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle x_ {i}, x_ {i + 1}}$

Podemos usar esto para definir la noción de una geodésica entre dos elementos del conjunto causal, siempre que sean comparables en orden, es decir, conectados causalmente (físicamente, esto significa que son similares al tiempo). Una geodésica entre dos elementos es una cadena que consta solo de enlaces de modo que ${\ Displaystyle x \ preceq y \ in C}$

1. ${\ Displaystyle x_ {0} = x}$ y ${\ Displaystyle x_ {n} = y}$
2. La longitud de la cadena`` es máxima en todas las cadenas desde a .${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$

En general, puede haber más de una geodésica entre dos elementos comparables.

Myrheim sugirió primero que la longitud de dicha geodésica debería ser directamente proporcional al tiempo adecuado a lo largo de una geodésica temporal que une los dos puntos del espacio-tiempo. Se han realizado pruebas de esta conjetura utilizando conjuntos causales generados a partir de aspersiones en espaciotiempos planos. Se ha demostrado que la proporcionalidad se mantiene y se conjetura que también se mantiene para las aspersiones en espaciotiempo curvo.

Estimadores de dimensiones

Se ha trabajado mucho para estimar la dimensión múltiple de un conjunto causal. Esto implica algoritmos que utilizan el conjunto causal con el objetivo de dar la dimensión de la variedad en la que se puede incrustar fielmente. Los algoritmos desarrollados hasta ahora se basan en encontrar la dimensión de un espacio-tiempo de Minkowski en el que se puede incrustar fielmente el conjunto causal.

• Dimensión Myrheim-Meyer

Este enfoque se basa en estimar el número de cadenas de longitudes presentes en un espaciotiempo de Minkowski que se esparce en una dimensión. Contar el número de cadenas de longitudes en el conjunto causal permite hacer una estimación . ${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle d}$

• Dimensión de escala de punto medio

Este enfoque se basa en la relación entre el tiempo adecuado entre dos puntos en el espacio-tiempo de Minkowski y el volumen del intervalo de espacio-tiempo entre ellos. Calculando la longitud máxima de la cadena (para estimar el tiempo adecuado) entre dos puntos y contando el número de elementos de manera que (para estimar el volumen del intervalo espaciotemporal) se pueda calcular la dimensión del espaciotiempo. ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle x \ prec z \ prec y}$

Estos estimadores deberían dar la dimensión correcta para los conjuntos causales generados por aspersiones de alta densidad en el espacio-tiempo dimensional de Minkowski. Las pruebas en espaciotiempo conforme a la plana han demostrado que estos dos métodos son precisos. ${\ Displaystyle d}$

Dinámica

Una tarea continua es desarrollar la dinámica correcta para conjuntos causales. Estos proporcionarían un conjunto de reglas que determinarían qué conjuntos causales corresponden a espaciotiempos físicamente realistas . El enfoque más popular para desarrollar la dinámica de conjuntos causales se basa en la versión de suma sobre historias de la mecánica cuántica . Este enfoque realizaría un "conjunto de suma sobre causal" haciendo crecer un conjunto causal de un elemento a la vez. Los elementos se agregarían de acuerdo con las reglas de la mecánica cuántica y la interferencia garantizaría que un gran espacio-tiempo similar a una variedad domine las contribuciones. El mejor modelo de dinámica en este momento es un modelo clásico en el que los elementos se agregan de acuerdo con probabilidades. Este modelo, debido a David Rideout y Rafael Sorkin , se conoce como dinámica de crecimiento secuencial clásico (CSG). El modelo clásico de crecimiento secuencial es una forma de generar conjuntos causales agregando nuevos elementos uno tras otro. Se especifican reglas sobre cómo se agregan nuevos elementos y, según los parámetros del modelo, se obtienen diferentes conjuntos causales.

De manera análoga a la formulación integral de trayectoria de la mecánica cuántica, un enfoque para desarrollar una dinámica cuántica para conjuntos causales ha sido aplicar un principio de acción en el enfoque de conjuntos de suma sobre conjuntos causales. Sorkin ha propuesto un análogo discreto para el d'Alembertian , que a su vez puede usarse para definir el escalar de curvatura de Ricci y, por lo tanto, la acción de Benincasa-Dowker sobre un conjunto causal. Las simulaciones de Monte-Carlo han proporcionado evidencia de una fase continua en 2D utilizando la Acción Benincasa-Dowker.

Ver también

• Triangulación dinámica causal (CDT)
• Estructura causal
• Relatividad general
• Teoría del orden

Referencias

Otras lecturas

enlaces externos

• El enfoque del conjunto causal para la gravedad cuántica un artículo de revisión de Joe Henson sobre conjuntos causales
• El espacio-tiempo como conjunto causal : uno de los primeros artículos de Luca Bombelli, Joohan Lee, David Meyer y Rafael D. Sorkin
• Geometría del orden: conjuntos causales - artículo no técnico de Rafael D. Sorkin en Einstein Online