Catenoide - Catenoid

Un catenoide

animación de una catenaria que barre la forma de una catenoide mientras gira alrededor de un punto central

Un catenoide obtenido de la rotación de una catenaria

Un catenoide es un tipo de superficie que surge al girar una curva catenaria alrededor de un eje. Es una superficie mínima , lo que significa que ocupa la menor superficie cuando está delimitada por un espacio cerrado. Fue descrito formalmente en 1744 por el matemático Leonhard Euler .

La película de jabón adherida a anillos circulares gemelos tomará la forma de un catenoide. Debido a que son miembros de la misma familia asociada de superficies, un catenoide se puede doblar en una porción de un helicoide y viceversa.

Geometría

El catenoide fue la primera superficie mínima no trivial en el espacio euclidiano tridimensional que se descubrió aparte del plano . El catenoide se obtiene girando una catenaria alrededor de su directriz . Leonhard Euler lo encontró y demostró ser mínimo en 1744.

Los primeros trabajos sobre el tema también fueron publicados por Jean Baptiste Meusnier . Sólo hay dos superficies mínimas de revolución ( superficies de revolución que también son superficies mínimas): el plano y el catenoide.

El catenoide puede definirse mediante las siguientes ecuaciones paramétricas:

{\ Displaystyle x = c \ cosh {\ frac {v} {c}} \ cos u}

{\ Displaystyle y = c \ cosh {\ frac {v} {c}} \ sin u}

{\ Displaystyle z = v}

donde y y es una constante real distinta de cero.

{\ Displaystyle u \ in [- \ pi, \ pi)}

{\ Displaystyle v \ in \ mathbb {R}}

{\ Displaystyle c}

En coordenadas cilíndricas:

{\ Displaystyle \ rho = c \ cosh {\ frac {z} {c}}}

donde es una constante real.

{\ Displaystyle c}

Se puede formar un modelo físico de un catenoide sumergiendo dos anillos circulares en una solución de jabón y separando lentamente los círculos.

El catenoide también se puede definir aproximadamente mediante el método de cuadrícula estirada como un modelo de faceta 3D.

Transformación helicoidal

Animación continua que muestra un helicoide que se deforma en un catenoide y vuelve a un helicoide.

Deformación de un helicoide en un catenoide

Debido a que son miembros de la misma familia asociada de superficies, uno puede doblar un catenoide en una porción de un helicoide sin estirarlo. En otras palabras, se puede hacer una deformación (en su mayoría) continua e isométrica de un catenoide en una parte del helicoide de manera que cada miembro de la familia de deformaciones sea mínimo (con una curvatura media de cero). Una parametrización de tal deformación viene dada por el sistema

{\ Displaystyle x (u, v) = \ cos \ theta \, \ sinh v \, \ sin u + \ sin \ theta \, \ cosh v \, \ cos u}

{\ Displaystyle y (u, v) = - \ cos \ theta \, \ sinh v \, \ cos u + \ sin \ theta \, \ cosh v \, \ sin u}

{\ Displaystyle z (u, v) = u \ cos \ theta + v \ sin \ theta}

para , con parámetro de deformación ,

{\ Displaystyle (u, v) \ in (- \ pi, \ pi] \ times (- \ infty, \ infty)}

{\ Displaystyle - \ pi <\ theta \ leq \ pi}

donde corresponde a un helicoide diestro, corresponde a un catenoide y corresponde a un helicoide zurdo. ${\ Displaystyle \ theta = \ pi}$ ${\ Displaystyle \ theta = \ pm \ pi / 2}$ ${\ Displaystyle \ theta = 0}$