Secuencia espectral Atiyah-Hirzebruch - Atiyah–Hirzebruch spectral sequence

En matemáticas , la secuencia espectral Atiyah-Hirzebruch es una secuencia espectral para calcular la cohomología generalizada , introducida por Michael Atiyah y Friedrich Hirzebruch ( 1961 ) en el caso especial de la teoría K topológica . Para un complejo CW y una teoría de cohomología generalizada , relaciona los grupos de cohomología generalizada ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle E ^ {\ bullet}}$

{\ Displaystyle E ^ {i} (X)}

con grupos de cohomología "ordinaria" con coeficientes en la cohomología generalizada de un punto. Más precisamente, el término de la secuencia espectral es , y la secuencia espectral converge condicionalmente a . ${\ Displaystyle H ^ {j}}$ ${\ Displaystyle E_ {2}}$ ${\ Displaystyle H ^ {p} (X; E ^ {q} (pt))}$ ${\ Displaystyle E ^ {p + q} (X)}$

Atiyah e Hirzebruch señalaron una generalización de su secuencia espectral que también generaliza la secuencia espectral de Serre , y la reduce en el caso donde . Puede derivarse de un par exacto que da la página de la secuencia espectral de Serre, excepto con los grupos de cohomología ordinarios reemplazados por . En detalle, suponga que es el espacio total de una fibración Serre con espacio de fibra y base . La filtración de por sus esqueletos da lugar a una filtración de . Hay una secuencia espectral correspondiente con término ${\ Displaystyle E = H _ {\ text {Sing}}}$ ${\ Displaystyle E_ {1}}$ ${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle B}$ ${\ Displaystyle B}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle X_ {n}}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle E_ {2}}$

{\ Displaystyle H ^ {p} (B; E ^ {q} (F))}

y convergiendo al anillo graduado asociado del anillo filtrado

{\ Displaystyle E _ {\ infty} ^ {p, q} = E ^ {p + q} (X)}

.

Esta es la secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch en el caso de que la fibra sea un punto. ${\ Displaystyle F}$

Ejemplos de

Teoría K topológica

Por ejemplo, la compleja teoría topológica de un punto es ${\ Displaystyle K}$

{\ Displaystyle KU (*) = \ mathbb {Z} [x, x ^ {- 1}]}

donde esta en grado

{\ Displaystyle x}

{\ Displaystyle 2}

Por definición, los términos en la -página de un complejo CW finito parecen ${\ Displaystyle E_ {2}}$ ${\ Displaystyle X}$

{\ Displaystyle E_ {2} ^ {p, q} (X) = H ^ {p} (X; KU ^ {q} (pt))}

Dado que la teoría de un punto es ${\ Displaystyle K}$

{\ Displaystyle K ^ {q} (pt) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & {\ text {si q es par}} \\ 0 & {\ text {de lo contrario}} \ end {cases}} }

siempre podemos garantizar que

{\ Displaystyle E_ {2} ^ {p, 2k + 1} (X) = 0}

Esto implica que la secuencia espectral colapsa en muchos espacios. Esto se puede verificar en cada , curvas algebraicas o espacios con cohomología distinta de cero en grados pares. Por lo tanto, colapsa para todas las intersecciones completas lisas (complejas) incluso dimensionales en . ${\ Displaystyle E_ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {n}}$

Paquete cotangente en un círculo

Por ejemplo, considere el paquete cotangente de . Este es un paquete de fibra con fibra, por lo que la página se lee como ${\ Displaystyle S ^ {1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle E_ {2}}$

{\ Displaystyle {\ begin {array} {c | cc} \ vdots & \ vdots & \ vdots \\ 2 & H ^ {0} (S ^ {1}; \ mathbb {Q}) & H ^ {1} (S ^ {1}; \ mathbb {Q}) \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & H ^ {0} (S ^ {1}; \ mathbb {Q}) & H ^ {1} (S ^ {1}; \ mathbb {Q} ) \\ - 1 & 0 & 0 \\ - 2 & H ^ {0} (S ^ {1}; \ mathbb {Q}) & H ^ {1} (S ^ {1}; \ mathbb {Q}) \\\ vdots & \ vdots & \ vdots \\\ hline & 0 & 1 \ end {array}}}

Diferenciales

Los diferenciales de dimensión impar de la AHSS para la teoría K topológica compleja se pueden calcular fácilmente. Porque es el cuadrado Steenrod donde lo tomamos como composición. ${\ Displaystyle d_ {3}}$ ${\ Displaystyle Sq ^ {3}}$

{\ Displaystyle \ beta \ circ Sq ^ {2} \ circ r}

donde es el mod de reducción y es el homomorfismo de Bockstein (morfismo de conexión) de la secuencia exacta corta ${\ Displaystyle r}$ ${\ Displaystyle 2}$ ${\ Displaystyle \ beta}$

{\ Displaystyle 0 \ to \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} / 2 \ to 0}

Intersección completa 3 veces

Considere una intersección completa suave de 3 pliegues (como una intersección completa Calabi-Yau de 3 pliegues). Si miramos la -página de la secuencia espectral ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle E_ {2}}$

{\ Displaystyle {\ begin {array} {c | ccccc} \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \\ 2 & H ^ {0} (X; \ mathbb { Z}) & 0 & H ^ {2} (X; \ mathbb {Z}) & H ^ {3} (X; \ mathbb {Z}) & H ^ {4} (X; \ mathbb {Z}) & 0 & H ^ {6} (X; \ mathbb {Z}) \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & H ^ {0} (X; \ mathbb {Z}) & 0 & H ^ {2} (X; \ mathbb {Z}) & H ^ {3} (X; \ mathbb {Z}) & H ^ {4} (X; \ mathbb {Z}) & 0 & H ^ {6} (X; \ mathbb {Z}) \\ - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & H ^ {0} (X; \ mathbb {Z}) & 0 & H ^ {2} (X; \ mathbb {Z}) & H ^ {3} (X; \ mathbb {Z}) & H ^ {4} (X; \ mathbb {Z}) & 0 & H ^ { 6} (X; \ mathbb {Z}) \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \\\ hline & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \ end {array}}}

podemos ver de inmediato que los únicos diferenciales potencialmente no triviales son

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} d_ {3}: E_ {3} ^ {0,2k} \ to E_ {3} ^ {3,2k-2} \\ d_ {3}: E_ {3} ^ {3,2k} \ to E_ {3} ^ {6,2k-2} \ end {alineado}}}

Resulta que estos diferenciales se desvanecen en ambos casos, por lo tanto . En el primer caso, dado que es trivial , tenemos el primer conjunto de diferenciales que son cero. El segundo conjunto son triviales porque envía la identificación muestra que el diferencial es trivial. ${\ Displaystyle E_ {2} = E _ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle Sq ^ {k}: H ^ {i} (X; \ mathbb {Z} / 2) \ to H ^ {k + i} (X; \ mathbb {Z} / 2)}$ ${\ Displaystyle k> i}$ ${\ Displaystyle Sq ^ {2}}$ ${\ Displaystyle H ^ {3} (X; \ mathbb {Z} / 2) \ to H ^ {5} (X) = 0}$ ${\ Displaystyle Sq ^ {3} = \ beta \ circ Sq ^ {2} \ circ r}$

Teoría K retorcida

La secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch también se puede utilizar para calcular grupos de teoría K retorcidos. En resumen, la teoría K retorcida es la finalización grupal de las clases de isomorfismo de paquetes de vectores definidos mediante el encolado de datos donde ${\ Displaystyle (U_ {ij}, g_ {ij})}$

{\ Displaystyle g_ {ij} g_ {jk} g_ {ki} = \ lambda _ {ijk}}

para alguna clase de cohomología . Luego, la secuencia espectral se lee como ${\ Displaystyle \ lambda \ en H ^ {3} (X, \ mathbb {Z})}$

{\ Displaystyle E_ {2} ^ {p, q} = H ^ {p} (X; KU ^ {q} (*)) \ Rightarrow KU _ {\ lambda} ^ {p + q} (X)}

pero con diferenciales diferentes. Por ejemplo,

{\ Displaystyle E_ {3} ^ {p, q} = E_ {2} ^ {p, q} = {\ begin {array} {c | cccc} \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \\ 2 & H ^ {0} (S ^ {3}; \ mathbb {Z}) & 0 & 0 & H ^ {3} (S ^ {3}; \ mathbb {Z}) \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & H ^ {0} (S ^ {3}; \ mathbb {Z}) & 0 & 0 & H ^ {3} (S ^ {3}; \ mathbb {Z}) \\ - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 2 & H ^ {0} (S ^ {3}; \ mathbb {Z}) & 0 & 0 & H ^ {3} (S ^ {3}; \ mathbb {Z}) \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \\\ hline & 0 & 1 & 2 & 3 \ end {array}}}

En la página, el diferencial es ${\ Displaystyle E_ {3}}$

{\ Displaystyle d_ {3} = Sq ^ {3} + \ lambda}

Los productos de Massey dan mayores diferenciales de dimensiones impares para la teoría K retorcida censurada por . Entonces ${\ Displaystyle d_ {2k + 1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} d_ {5} & = \ {\ lambda, \ lambda, - \} \\ d_ {7} & = \ {\ lambda, \ lambda, \ lambda, - \} \ end {alineado}}}

Tenga en cuenta que si el espacio subyacente es formal , lo que significa que su tipo de homotopía racional está determinado por su cohomología racional, por lo tanto, tiene productos de Massey que desaparecen, entonces los diferenciales de dimensión impar son cero. Pierre Deligne , Phillip Griffiths , John Morgan y Dennis Sullivan demostraron esto para todos los colectores compactos de Kähler , de ahí que en este caso. En particular, esto incluye todas las variedades proyectivas suaves. ${\ Displaystyle E _ {\ infty} = E_ {4}}$

Teoría K retorcida de 3 esferas

La teoría K retorcida para se puede calcular fácilmente. En primer lugar, dado que y , tenemos que el diferencial en la página -página está comparando con la clase dada por . Esto da el cálculo ${\ Displaystyle S ^ {3}}$ ${\ Displaystyle Sq ^ {3} = \ beta \ circ Sq ^ {2} \ circ r}$ ${\ Displaystyle H ^ {2} (S ^ {3}) = 0}$ ${\ Displaystyle E_ {3}}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$

{\ displaystyle KU _ {\ lambda} ^ {k} = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & k {\ text {es par}} \\\ mathbb {Z} / \ lambda & k {\ text {es impar }} \ end {cases}}}

Bordismo racional

Recuerde que el grupo de bordismo racional es isomorfo al anillo ${\ Displaystyle \ Omega _ {*} ^ {\ text {SO}} \ otimes \ mathbb {Q}}$

{\ Displaystyle \ mathbb {Q} [[\ mathbb {CP} ^ {0}], [\ mathbb {CP} ^ {2}], [\ mathbb {CP} ^ {4}], [\ mathbb {CP } ^ {6}], \ ldots]}

generado por las clases de bordismo de los (complejos) espacios proyectivos incluso dimensionales en grado . Esto da una secuencia espectral computacionalmente manejable para calcular los grupos de bordismo racionales. ${\ Displaystyle [\ mathbb {CP} ^ {2k}]}$ ${\ Displaystyle 4k}$

Cobordismo complejo

Recuerda que donde . Luego, podemos usar esto para calcular el cobordismo complejo de un espacio a través de la secuencia espectral. Tenemos la -página dada por ${\ Displaystyle MU ^ {*} (pt) = \ mathbb {Z} [x_ {1}, x_ {2}, \ ldots]}$ ${\ Displaystyle x_ {i} \ in \ pi _ {2i} (MU)}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle E_ {2}}$