Tabla de senos de Āryabhaṭa - Āryabhaṭa's sine table

El tratado astronómico Āryabhaṭīya fue compuesto durante el siglo V por el matemático y astrónomo indio Āryabhaṭa (476–550 d. C.), para el cálculo de las medias cuerdas de cierto conjunto de arcos de un círculo. No es una tabla en el sentido moderno de una tabla matemática; es decir, no es un conjunto de números dispuestos en filas y columnas.

Arco y cuerda de un círculo

La tabla de Āryabhaṭa tampoco es un conjunto de valores de la función seno trigonométrica en un sentido convencional; es una tabla de las primeras diferencias de los valores de los senos trigonométricos expresados ​​en minutos de arco , y debido a esto, la tabla también se conoce como la tabla de diferencias de senos de Āryabhaṭa .

La tabla de Āryabhaṭa fue la primera tabla de seno jamás construida en la historia de las matemáticas . Las tablas ahora perdidas de Hiparco (c. 190 a. C. - c. 120 a. C.) y Menelao (c. 70–140 d. C.) y las de Ptolomeo (c. 90 d . C. - c. 168) eran todas tablas de acordes y no de medias -acordes. La mesa de Āryabhaṭa permaneció como la tabla de seno estándar de la antigua India. Hubo continuos intentos de mejorar la precisión de esta tabla. Estos esfuerzos culminaron con el eventual descubrimiento de las expansiones en series de potencia de las funciones seno y coseno por Madhava de Sangamagrama (c.1350 - c.1425), el fundador de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala , y la tabulación de una tabla de senos. por Madhava con valores precisos de siete u ocho lugares decimales.

Algunos historiadores de las matemáticas han argumentado que la tabla de senos que figura en Āryabhaṭiya era una adaptación de tablas anteriores construidas por matemáticos y astrónomos de la antigua Grecia. David Pingree , uno de los principales historiadores estadounidenses de las ciencias exactas en la antigüedad, fue un exponente de tal punto de vista. Suponiendo esta hipótesis, escribe GJ Toomer , "apenas existe documentación sobre la llegada más temprana de modelos astronómicos griegos a la India, o en realidad, cómo habrían sido esos modelos. Por lo tanto, es muy difícil determinar hasta qué punto lo que ha sucedido para nosotros representa el conocimiento transmitido, y lo que es original para los científicos indios ... La verdad es probablemente una mezcla enredada de ambos ".

La mesa

En notaciones modernas

Los valores codificados en el verso sánscrito de Āryabhaṭa se pueden decodificar utilizando el esquema numérico explicado en Āryabhaṭīya , y los números decodificados se enumeran en la siguiente tabla. En la tabla, las medidas de los ángulos relevantes para la tabla de senos de Āryabhaṭa se enumeran en la segunda columna. La tercera columna contiene la lista de los números contenidos en el verso sánscrito dado arriba en escritura devanagari . Para comodidad de los usuarios que no pueden leer Devanagari, estos números de palabras se reproducen en la cuarta columna en la transliteración ISO 15919 . La siguiente columna contiene estos números en los números arábigos hindúes . Los números de Āryabhaṭa son las primeras diferencias en los valores de los senos. El valor correspondiente de seno (o más precisamente, de jya ) se puede obtener sumando las diferencias hasta esa diferencia. Así, el valor de jya correspondiente a 18 ° 45 ′ es la suma 225 + 224 + 222 + 219 + 215 = 1105. Para evaluar la precisión de los cálculos de Āryabhaṭa, los valores modernos de jya s se dan en la última columna de la tabla.

En la tradición matemática india, el seno (o jya ) de un ángulo no es una proporción de números. Es la longitud de un cierto segmento de línea, un cierto medio acorde. El radio del círculo base es un parámetro básico para la construcción de tales tablas. Históricamente, se han construido varias tablas utilizando diferentes valores para este parámetro. Āryabhaṭa ha elegido el número 3438 como el valor del radio del círculo base para el cálculo de su tabla de senos. El fundamento de la elección de este parámetro es la idea de medir la circunferencia de un círculo en medidas de ángulo. En los cálculos astronómicos, las distancias se miden en grados , minutos , segundos , etc. En esta medida, la circunferencia de un círculo es 360 ° = (60 × 360) minutos = 21600 minutos. El radio del círculo, cuya circunferencia mide 21600 minutos, es 21600 / 2π minutos. Calculando esto usando el valor π = 3.1416 conocido por Aryabhata, se obtiene el radio del círculo como aproximadamente 3438 minutos. La tabla de senos de Āryabhaṭa se basa en este valor para el radio del círculo base. Aún no se ha establecido quién es el primero en utilizar este valor para el radio base. Pero Aryabhatiya es el texto sobreviviente más antiguo que contiene una referencia a esta constante básica.

Método computacional de Āryabhaṭa

La segunda sección de Āryabhaṭiya titulada Ganitapādd a contiene una estrofa que indica un método para el cálculo de la tabla de senos. Hay varias ambigüedades al interpretar correctamente el significado de este versículo. Por ejemplo, la siguiente es una traducción del versículo dado por Katz donde las palabras entre corchetes son inserciones del traductor y no traducciones de textos en el versículo.

• "Cuando la segunda mitad [cuerda] dividida es menor que la primera mitad de la cuerda, que es [aproximadamente igual a] el arco [correspondiente], en una cierta cantidad, las [diferencias sinusoidales] restantes son menores [que las anteriores unos] cada uno por la cantidad de eso dividido por el primer medio acorde ".

Esto puede referirse al hecho de que la segunda derivada de la función seno es igual a la negativa de la función seno.

Ver también

• Tabla de seno de Madhava
• Fórmula de aproximación del seno de Bhaskara I

Referencias