Operación algebraica - Algebraic operation

Operaciones algebraicas en la solución de la ecuación cuadrática . El signo radical, √ ​​que denota una raíz cuadrada , equivale a una exponenciación a la potencia de ½. El signo ± significa que la ecuación se puede escribir con un signo + o con un signo -.

En matemáticas , un básico operación algebraica es uno cualquiera de los comunes operaciones de aritmética , que incluyen adición , substracción , multiplicación , división , elevando a un número entero de potencia , y teniendo raíces (potencia fraccionaria). Estas operaciones pueden realizarse con números , en cuyo caso a menudo se denominan operaciones aritméticas . También se pueden realizar, de forma similar, sobre variables , expresiones algebraicas y, más en general, sobre elementos de estructuras algebraicas , como grupos y campos . Una operación algebraica también se puede definir simplemente como una función de una potencia cartesiana de un conjunto al mismo conjunto.

El término operación algebraica también puede usarse para operaciones que pueden definirse combinando operaciones algebraicas básicas, como el producto escalar . En cálculo y análisis matemático , la operación algebraica también se usa para las operaciones que pueden definirse mediante métodos puramente algebraicos . Por ejemplo, la exponenciación con un exponente entero o racional es una operación algebraica, pero no la exponenciación general con un exponente real o complejo . Además, la derivada es una operación que no es algebraica.

Notación

Los símbolos de multiplicación generalmente se omiten y están implícitos cuando no hay un operador entre dos variables o términos, o cuando se usa un coeficiente . Por ejemplo, 3 × x ² se escribe 3 x ² y 2 × x × y se escribe 2 xy . A veces, los símbolos de multiplicación se reemplazan con un punto o un punto central, de modo que x  × y se escribe como x . y o x · y . El texto sin formato , los lenguajes de programación y las calculadoras también usan un solo asterisco para representar el símbolo de multiplicación, y debe usarse explícitamente; por ejemplo, 3 x se escribe 3 * x .

En lugar de usar el signo de división ambiguo (÷), la división generalmente se representa con un vínculo , una línea horizontal, como en3/x + 1. En el texto plano y los lenguajes de programación, se usa una barra (también llamada solidus ), por ejemplo, 3 / ( x + 1).

Los exponentes generalmente se formatean con superíndices, como en x ² . En texto plano , el lenguaje de marcado TeX y algunos lenguajes de programación como MATLAB y Julia , el símbolo de intercalación , ^, representa exponentes, por lo que x ² se escribe como x ^ 2. En lenguajes de programación como Ada , Fortran , Perl , Python y Ruby , se usa un asterisco doble, por lo que x ² se escribe x ** 2.

El signo más-menos , ±, se utiliza como notación abreviada para dos expresiones escritas como una, que representa una expresión con un signo más y la otra con un signo menos. Por ejemplo, y = x ± 1 representa las dos ecuaciones y = x + 1 e y = x - 1. A veces, se usa para denotar un término positivo o negativo como ± x .

Operaciones aritméticas vs algebraicas

Las operaciones algebraicas funcionan de la misma manera que las operaciones aritméticas , como se puede ver en la siguiente tabla.

Operación	Ejemplo aritmético	Ejemplo de álgebra	Comentarios ≡ significa "equivalente a" ≢ significa "no equivalente a"
Adición	${\ displaystyle (5 \ times 5) + 5 + 5 + 3}$ equivalente a: ${\ Displaystyle 5 ^ {2} + (2 \ times 5) +3}$	${\ Displaystyle (b \ times b) + b + b + a}$ equivalente a: ${\ Displaystyle b ^ {2} + 2b + a}$	${\ Displaystyle {\ begin {alineado} 2 \ times b & \ equiv 2b \\ b + b + b & \ equiv 3b \\ b \ times b & \ equiv b ^ {2} \ end {alineado}}}$
Sustracción	${\ displaystyle (7 \ times 7) -7-5}$ equivalente a: ${\ Displaystyle 7 ^ {2} -7-5}$	${\ Displaystyle (b \ times b) -ba}$ equivalente a: ${\ Displaystyle b ^ {2} -ba}$	${\ Displaystyle {\ begin {alineado} b ^ {2} -b & \ not \ equiv b \\ 3b-b & \ equiv 2b \\ b ^ {2} -b & \ equiv b (b-1) \ end {alineado }}}$
Multiplicación	${\ Displaystyle 3 \ times 5}$ o ${\ Displaystyle 3 \. \ 5}$   o   ${\ Displaystyle 3 \ cdot 5}$ o   ${\ Displaystyle (3) (5)}$	${\ Displaystyle a \ times b}$ o ${\ displaystyle ab}$   o   ${\ Displaystyle a \ cdot b}$ o   ${\ displaystyle ab}$	${\ Displaystyle a \ times a \ times a}$ es lo mismo que ${\ Displaystyle a ^ {3}}$
División	${\ Displaystyle 12 \ div 4}$ o   ${\ Displaystyle 12/4}$ o   ${\ displaystyle {\ frac {12} {4}}}$	${\ Displaystyle b \ div a}$ o   ${\ Displaystyle b / a}$ o   ${\ Displaystyle {\ frac {b} {a}}}$	${\ Displaystyle {\ frac {(a + b)} {3}} \ equiv {\ tfrac {1} {3}} \ times (a + b)}$
Exponenciación	${\ Displaystyle 3 ^ {\ frac {1} {2}}}$   ${\ Displaystyle 2 ^ {3}}$	${\ Displaystyle a ^ {\ frac {1} {2}}}$   ${\ Displaystyle a ^ {3}}$	${\ Displaystyle a ^ {\ frac {1} {2}}}$ es lo mismo que ${\ Displaystyle {\ sqrt {a}}}$   ${\ Displaystyle a ^ {3}}$ es lo mismo que ${\ Displaystyle a \ times a \ times a}$

Nota: el uso de las letras y es arbitraria, y los ejemplos habrían sido igualmente válida si y fueron utilizados. ${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$

Propiedades de las operaciones aritméticas y algebraicas

Propiedad	Ejemplo aritmético	Ejemplo de álgebra	Comentarios ≡ significa "equivalente a" ≢ significa "no equivalente a"
Conmutatividad	${\ Displaystyle 3 + 5 = 5 + 3}$ ${\ Displaystyle 3 \ times 5 = 5 \ times 3}$	${\ Displaystyle a + b = b + a}$ ${\ Displaystyle a \ times b = b \ times a}$	La suma y la multiplicación son conmutativas y asociativas La resta y la división no son: p.ej ${\ Displaystyle (ab) \ not \ equiv (ba)}$
Asociatividad	${\ displaystyle (3 + 5) + 7 = 3 + (5 + 7)}$ ${\ Displaystyle (3 \ times 5) \ times 7 = 3 \ times (5 \ times 7)}$	${\ Displaystyle (a + b) + c = a + (b + c)}$ ${\ Displaystyle (a \ times b) \ times c = a \ times (b \ times c)}$

Ver también

• Expresión algebraica
• Función algebraica
• Álgebra elemental
• Factorizar una expresión cuadrática
• Orden de operaciones

Notas

Referencias