Ruido gaussiano blanco aditivo - Additive white Gaussian noise

El ruido gaussiano blanco aditivo ( AWGN ) es un modelo de ruido básico que se usa en la teoría de la información para imitar el efecto de muchos procesos aleatorios que ocurren en la naturaleza. Los modificadores denotan características específicas:

Aditivo porque se suma a cualquier ruido que pueda ser intrínseco al sistema de información.
White se refiere a la idea de que tiene una potencia uniforme en toda la banda de frecuencia del sistema de información. Es una analogía con el color blanco que tiene emisiones uniformes en todas las frecuencias del espectro visible .
Gaussiano porque tiene una distribución normal en el dominio del tiempo con un valor promedio en el dominio del tiempo de cero.

El ruido de banda ancha proviene de muchas fuentes de ruido natural, como las vibraciones térmicas de los átomos en los conductores (conocido como ruido térmico o ruido de Johnson-Nyquist ), ruido de disparo , radiación de cuerpo negro de la tierra y otros objetos cálidos, y de fuentes celestes como el sol. El teorema del límite central de la teoría de la probabilidad indica que la suma de muchos procesos aleatorios tenderá a tener una distribución denominada gaussiana o normal.

AWGN se utiliza a menudo como un modelo de canal en el que el único impedimento para la comunicación es una adición lineal de banda ancha o ruido blanco con una densidad espectral constante (expresada en vatios por hertz de ancho de banda ) y una distribución de amplitud gaussiana . El modelo no tiene en cuenta el desvanecimiento , la selectividad de frecuencia , la interferencia , la no linealidad o la dispersión . Sin embargo, produce modelos matemáticos simples y manejables que son útiles para comprender el comportamiento subyacente de un sistema antes de considerar estos otros fenómenos.

El canal AWGN es un buen modelo para muchos enlaces de comunicación por satélite y en el espacio profundo. No es un buen modelo para la mayoría de los enlaces terrestres debido al multitrayecto, bloqueo del terreno, interferencia, etc. Sin embargo, para el modelado del trayecto terrestre, AWGN se utiliza comúnmente para simular el ruido de fondo del canal en estudio, además del multitrayecto, bloqueo del terreno interferencia, desorden del suelo y autointerferencia que los sistemas de radio modernos encuentran en la operación terrestre.

Capacidad de canal

El canal AWGN está representado por una serie de salidas en un índice de eventos de tiempo discreto . es la suma de la entrada y el ruido, donde es independiente e idénticamente distribuido y extraído de una distribución normal de media cero con varianza (el ruido). Además, se supone que no están correlacionados con . ${\ Displaystyle Y_ {i}}$ ${\ Displaystyle i}$ ${\ Displaystyle Y_ {i}}$ ${\ Displaystyle X_ {i}}$ ${\ Displaystyle Z_ {i}}$ ${\ Displaystyle Z_ {i}}$ ${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle Z_ {i}}$ ${\ Displaystyle X_ {i}}$

{\ Displaystyle Z_ {i} \ sim {\ mathcal {N}} (0, N) \, \!}

{\ Displaystyle Y_ {i} = X_ {i} + Z_ {i}. \, \!}

La capacidad del canal es infinita a menos que el ruido sea distinto de cero y estén suficientemente restringidos. La restricción más común en la entrada es la llamada restricción de "potencia", que requiere que para una palabra de código transmitida a través del canal, tengamos: ${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle X_ {i}}$ ${\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {k})}$

{\ Displaystyle {\ frac {1} {k}} \ sum _ {i = 1} ^ {k} x_ {i} ^ {2} \ leq P,}

donde representa la potencia máxima del canal. Por lo tanto, la capacidad del canal para el canal con restricción de potencia viene dada por: ${\ Displaystyle P}$

{\ Displaystyle C = \ max _ {f (x) {\ text {st}} E \ left (X ^ {2} \ right) \ leq P} I (X; Y) \, \!}

Dónde está la distribución de . Expanda , escribiéndolo en términos de entropía diferencial : ${\ Displaystyle f (x)}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle I (X; Y)}$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} I (X; Y) = h (Y) -h (Y | X) & = h (Y) -h (X + Z | X) & = h (Y) -h (Z | X) \ end {alineado}} \, \!}

Pero y son independientes, por tanto: ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Z}$

{\ Displaystyle I (X; Y) = h (Y) -h (Z) \, \!}

Al evaluar la entropía diferencial de un gaussiano se obtiene:

{\ Displaystyle h (Z) = {\ frac {1} {2}} \ log (2 \ pi eN) \, \!}

Porque y son independientes y su suma da : ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Z}$ ${\ Displaystyle Y}$

{\ Displaystyle E (Y ^ {2}) = E ((X + Z) ^ {2}) = E (X ^ {2}) + 2E (X) E (Z) + E (Z ^ {2} ) \ leq P + N \, \!}

De este límite, inferimos de una propiedad de la entropía diferencial que

{\ Displaystyle h (Y) \ leq {\ frac {1} {2}} \ log (2 \ pi e (P + N)) \, \!}

Por lo tanto, la capacidad del canal viene dada por el límite más alto alcanzable en la información mutua :

{\ Displaystyle I (X; Y) \ leq {\ frac {1} {2}} \ log (2 \ pi e (P + N)) - {\ frac {1} {2}} \ log (2 \ pi eN) \, \!}

Donde se maximiza cuando: ${\ Displaystyle I (X; Y)}$

{\ Displaystyle X \ sim {\ mathcal {N}} (0, P) \, \!}

Por tanto, la capacidad de canal para el canal AWGN viene dada por: ${\ Displaystyle C}$

{\ Displaystyle C = {\ frac {1} {2}} \ log \ left (1 + {\ frac {P} {N}} \ right) \, \!}

Capacidad de canal y empaquetadura de esfera

Supongamos que estamos enviando mensajes a través del canal con un índice que va desde hasta , el número de mensajes distintos posibles. Si codificamos los mensajes en bits, definimos la tasa como: ${\ Displaystyle 1}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle R}$

{\ Displaystyle R = {\ frac {\ log M} {n}} \, \!}

Se dice que una tasa es alcanzable si hay una secuencia de códigos de modo que la probabilidad máxima de error tienda a cero cuando se acerca al infinito. La capacidad es la tasa más alta alcanzable. ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle C}$

Considere una palabra en clave de longitud enviada a través del canal AWGN con nivel de ruido . Cuando se recibe, la varianza del vector de la palabra de código es ahora , y su media es la palabra de código enviada. Es muy probable que el vector esté contenido en una esfera de radio alrededor de la palabra de código enviada. Si decodificamos mapeando cada mensaje recibido en la palabra de código en el centro de esta esfera, entonces se produce un error solo cuando el vector recibido está fuera de esta esfera, lo cual es muy poco probable. ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {n (N + \ epsilon)}}}$

Cada vector de palabra de código tiene una esfera asociada de vectores de palabra de código recibidos que le son decodificados y cada una de dichas esferas debe mapear de forma única una palabra de código. Debido a que estas esferas, por tanto, no deben cruzarse, nos enfrentamos al problema del empaquetamiento de esferas . ¿Cuántas palabras de código distintas podemos empaquetar en nuestro vector de palabras de código de bits? Los vectores recibidos tienen una energía máxima de y por lo tanto deben ocupar una esfera de radio . Cada esfera de palabra en clave tiene un radio . El volumen de una esfera n- dimensional es directamente proporcional a , por lo que el número máximo de esferas decodificables de forma única que se pueden empaquetar en nuestra esfera con potencia de transmisión P es: ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle n (P + N)}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {n (P + N)}}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {nN}}}$ ${\ Displaystyle r ^ {n}}$

{\ Displaystyle {\ frac {(n (P + N)) ^ {\ frac {n} {2}}} {(nN) ^ {\ frac {n} {2}}}} = 2 ^ {{\ frac {n} {2}} \ log (1 + P / N)} \, \!}

Según este argumento, la tasa R no puede ser mayor que . ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} \ log (1 + P / N)}$

Alcanzabilidad

En esta sección, mostramos la posibilidad de alcanzar el límite superior de la tasa de la última sección.

Un libro de códigos, conocido tanto por el codificador como por el decodificador, se genera seleccionando palabras de código de longitud n, iid gaussiana con varianza y media cero. Para n grande, la varianza empírica del libro de códigos estará muy cerca de la varianza de su distribución, evitando así la violación de la restricción de potencia probabilísticamente. ${\ Displaystyle P- \ epsilon}$

Los mensajes recibidos se descodifican en un mensaje en el libro de códigos que es unívocamente típico. Si no hay tal mensaje o si se viola la restricción de potencia, se declara un error de decodificación.

Vamos a denotar la palabra código para el mensaje , mientras que es, como antes de que el vector recibido. Defina los siguientes tres eventos: ${\ Displaystyle X ^ {n} (i)}$ ${\ Displaystyle i}$ ${\ Displaystyle Y ^ {n}}$

Evento : la potencia del mensaje recibido es mayor que . ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle P}$
Evento : las palabras de código transmitidas y recibidas no son típicas en conjunto. ${\ Displaystyle V}$
Evento : está en , el conjunto típico donde , lo que quiere decir que la palabra de código incorrecta es común junto con el vector recibido. ${\ Displaystyle E_ {j}}$ ${\ Displaystyle (X ^ {n} (j), Y ^ {n})}$ ${\ Displaystyle A _ {\ epsilon} ^ {(n)}}$ ${\ Displaystyle i \ neq j}$

Por lo tanto produce un error si , o cualquiera de los produzca. Según la ley de los grandes números, va a cero cuando n se aproxima al infinito, y según la propiedad de equipartición asintótica conjunta se aplica lo mismo . Por lo tanto, para un tamaño suficientemente grande , ambos y son menores que . Dado que y son independientes para , tenemos eso y también somos independientes. Por lo tanto, por el AEP conjunta, . Esto nos permite calcular la probabilidad de error de la siguiente manera: ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle E_ {i}}$ ${\ Displaystyle P (U)}$ ${\ Displaystyle P (V)}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle P (U)}$ ${\ Displaystyle P (V)}$ ${\ Displaystyle \ epsilon}$ ${\ Displaystyle X ^ {n} (i)}$ ${\ Displaystyle X ^ {n} (j)}$ ${\ Displaystyle i \ neq j}$ ${\ Displaystyle X ^ {n} (i)}$ ${\ Displaystyle Y ^ {n}}$ ${\ Displaystyle P (E_ {j}) = 2 ^ {- n (I (X; Y) -3 \ epsilon)}}$ ${\ Displaystyle P_ {e} ^ {(n)}}$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} P_ {e} ^ {(n)} & \ leq P (U) + P (V) + \ sum _ {j \ neq i} P (E_ {j}) \\ & \ leq \ epsilon + \ epsilon + \ sum _ {j \ neq i} 2 ^ {- n (I (X; Y) -3 \ epsilon)} \\ & \ leq 2 \ epsilon + (2 ^ {nR } -1) 2 ^ {- n (I (X; Y) -3 \ epsilon)} \\ & \ leq 2 \ epsilon + (2 ^ {3n \ epsilon}) 2 ^ {- n (I (X; Y) -R)} \\ & \ leq 3 \ epsilon \ end {alineado}}}

Por lo tanto, cuando n se acerca al infinito, va a cero y . Por lo tanto, existe un código de tasa R arbitrariamente cercano a la capacidad derivada anteriormente. ${\ Displaystyle P_ {e} ^ {(n)}}$ ${\ Displaystyle R <I (X; Y) -3 \ epsilon}$

Teorema de codificación inverso

Aquí mostramos que no se pueden alcanzar tasas por encima de la capacidad . ${\ Displaystyle C = {\ frac {1} {2}} \ log (1 + {\ frac {P} {N}})}$

Suponga que se satisface la restricción de potencia para un libro de códigos y, además, suponga que los mensajes siguen una distribución uniforme. Sean los mensajes de entrada y los mensajes de salida. Por tanto, la información fluye como: ${\ Displaystyle W}$ ${\ Displaystyle {\ hat {W}}}$

${\ Displaystyle W \ longrightarrow X ^ {(n)} (W) \ longrightarrow Y ^ {(n)} \ longrightarrow {\ hat {W}}}$

Haciendo uso de la desigualdad de Fano da:

${\ Displaystyle H (W | {\ hat {W}}) \ leq 1 + nRP_ {e} ^ {(n)} = n \ epsilon _ {n}}$ donde como ${\ Displaystyle \ epsilon _ {n} \ rightarrow 0}$ ${\ displaystyle P_ {e} ^ {(n)} \ rightarrow 0}$

Sea el mensaje codificado de la palabra clave índice i. Entonces: ${\ Displaystyle X_ {i}}$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} nR & = H (W) \\ & = I (W; {\ hat {W}}) + H (W | {\ hat {W}}) \\ & \ leq I (W; {\ hat {W}}) + n \ epsilon _ {n} \\ & \ leq I (X ^ {(n)}; Y ^ {(n)}) + n \ epsilon _ {n} \\ & = h (Y ^ {(n)}) - h (Y ^ {(n)} | X ^ {(n)}) + n \ epsilon _ {n} \\ & = h (Y ^ { (n)}) - h (Z ^ {(n)}) + n \ epsilon _ {n} \\ & \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} h (Y_ {i}) - h (Z ^ {(n)}) + n \ epsilon _ {n} \\ & \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} I (X_ {i}; Y_ {i}) + n \ epsilon _ {n} \ end {alineado}}}

Sea la potencia media de la palabra de código del índice i: ${\ Displaystyle P_ {i}}$

{\ Displaystyle P_ {i} = {\ frac {1} {2 ^ {nR}}} \ sum _ {w} x_ {i} ^ {2} (w) \, \!}

Donde la suma está sobre todos los mensajes de entrada . y son independientes, por lo que la expectativa de la potencia de es, para el nivel de ruido : ${\ Displaystyle w}$ ${\ Displaystyle X_ {i}}$ ${\ Displaystyle Z_ {i}}$ ${\ Displaystyle Y_ {i}}$ ${\ Displaystyle N}$

{\ Displaystyle E (Y_ {i} ^ {2}) = P_ {i} + N \, \!}

Y, si se distribuye normalmente, tenemos que ${\ Displaystyle Y_ {i}}$

{\ Displaystyle h (Y_ {i}) \ leq {\ frac {1} {2}} \ log {2 \ pi e} (P_ {i} + N) \, \!}

Por lo tanto,

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} nR & \ leq \ sum (h (Y_ {i}) - h (Z_ {i})) + n \ epsilon _ {n} \\ & \ leq \ sum \ left ({ \ frac {1} {2}} \ log (2 \ pi e (P_ {i} + N)) - {\ frac {1} {2}} \ log (2 \ pi eN) \ right) + n \ épsilon _ {n} \\ & = \ sum {\ frac {1} {2}} \ log (1 + {\ frac {P_ {i}} {N}}) + n \ epsilon _ {n} \ end {alineado}}}

Podemos aplicar la igualdad de Jensen a una función cóncava (descendente) de x , para obtener: ${\ Displaystyle \ log (1 + x)}$

{\ Displaystyle {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {2}} \ log \ left (1 + {\ frac {P_ {i} } {N}} \ right) \ leq {\ frac {1} {2}} \ log \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} { \ frac {P_ {i}} {N}} \ right) \, \!}

Dado que cada palabra de código satisface individualmente la restricción de potencia, el promedio también satisface la restricción de potencia. Por lo tanto,

{\ Displaystyle {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {P_ {i}} {N}} \, \!}

Lo cual podemos aplicar para simplificar la desigualdad anterior y obtener:

{\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} \ log \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {P_ {i} } {N}} \ right) \ leq {\ frac {1} {2}} \ log \ left (1 + {\ frac {P} {N}} \ right) \, \!}

Por lo tanto, debe ser eso . Por lo tanto, R debe ser menor que un valor arbitrariamente cercano a la capacidad derivada anteriormente, como . ${\ Displaystyle R \ leq {\ frac {1} {2}} \ log \ left (1 + {\ frac {P} {N}} \ right) + \ epsilon _ {n}}$ ${\ Displaystyle \ epsilon _ {n} \ rightarrow 0}$

Efectos en el dominio del tiempo

Cruces por cero de un coseno ruidoso

En las comunicaciones de datos en serie, el modelo matemático AWGN se utiliza para modelar el error de temporización causado por la fluctuación aleatoria (RJ).

El gráfico de la derecha muestra un ejemplo de errores de sincronización asociados con AWGN. La variable Δ t representa la incertidumbre en el cruce por cero. A medida que aumenta la amplitud del AWGN, la relación señal / ruido disminuye. Esto da como resultado una mayor incertidumbre Δ t .

Cuando se ve afectado por AWGN, el número promedio de cruces por cero positivos o negativos por segundo en la salida de un filtro de paso de banda estrecho cuando la entrada es una onda sinusoidal es

{\ displaystyle {\ frac {\ text {cruces por cero positivos}} {\ text {segundo}}} = {\ frac {\ text {cruces por cero negativos}} {\ text {segundo}}}}

{\ Displaystyle \ quad = f_ {0} {\ sqrt {\ frac {{\ text {SNR}} + 1 + {\ frac {B ^ {2}} {12f_ {0} ^ {2}}}} { {\ text {SNR}} + 1}}},}

dónde

f ₀ = la frecuencia central del filtro,

B = el ancho de banda del filtro,

SNR = la relación de potencia señal / ruido en términos lineales.

Efectos en el dominio fasorial

Contribuciones de AWGN en el dominio fasorial

En los sistemas de comunicación modernos, no se puede ignorar la AWGN con banda limitada. Al modelar AWGN de banda limitada en el dominio fasorial , el análisis estadístico revela que las amplitudes de las contribuciones reales e imaginarias son variables independientes que siguen el modelo de distribución de Gauss . Cuando se combina, la magnitud del fasor resultante es una variable aleatoria distribuida por Rayleigh , mientras que la fase se distribuye uniformemente de 0 a 2π.

El gráfico de la derecha muestra un ejemplo de cómo la AWGN de banda limitada puede afectar una señal portadora coherente. La respuesta instantánea del vector de ruido no se puede predecir con precisión, sin embargo, su respuesta promediada en el tiempo se puede predecir estadísticamente. Como se muestra en el gráfico, predecimos con seguridad que el fasor de ruido residirá aproximadamente el 38% del tiempo dentro del círculo 1σ, aproximadamente el 86% del tiempo dentro del círculo 2σ y aproximadamente el 98% del tiempo dentro del círculo 3σ.

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