Ecuación de ondas acústicas - Acoustic wave equation

En física , la ecuación de ondas acústicas gobierna la propagación de ondas acústicas a través de un medio material. La forma de la ecuación es una ecuación diferencial parcial de segundo orden . La ecuación describe la evolución de la presión acústica o la velocidad de las partículas u en función de la posición xy el tiempo . Una forma simplificada de la ecuación describe las ondas acústicas en una sola dimensión espacial, mientras que una forma más general describe las ondas en tres dimensiones. ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle t}$

Para medios con pérdida, es necesario aplicar modelos más complejos para tener en cuenta la atenuación dependiente de la frecuencia y la velocidad de fase. Dichos modelos incluyen ecuaciones de ondas acústicas que incorporan términos de derivadas fraccionarias; consulte también el artículo sobre atenuación acústica o el documento de encuesta.

En una dimensión

Ecuación

La ecuación de onda que describe el sonido en una dimensión (posición ) es ${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle {\ partial ^ {2} p \ over \ partial x ^ {2}} - {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} p \ over \ partial t ^ {2}} = 0,}$

donde es la presión acústica (la desviación local de la presión ambiental) y donde es la velocidad del sonido . ${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle c}$

Solución

Siempre que la velocidad sea ​​una constante, que no dependa de la frecuencia (el caso sin dispersión), la solución más general es ${\ Displaystyle c}$

${\ Displaystyle p = f (ct-x) + g (ct + x)}$

donde y son dos funciones dos veces diferenciables. Esto puede representarse como la superposición de dos formas de onda de perfil arbitrario, una ( ) viajando hacia arriba en el eje xy la otra ( ) hacia abajo en el eje x a la velocidad . El caso particular de una onda sinusoidal que viaja en una dirección se obtiene eligiendo o para ser una sinusoide, y la otra para ser cero, dando ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle g}$

${\ Displaystyle p = p_ {0} \ sin (\ omega t \ mp kx)}$.

donde es la frecuencia angular de la onda y es su número de onda . ${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle k}$

Derivación

La derivación de la ecuación de onda implica tres pasos: la derivación de la ecuación de estado, la ecuación de continuidad unidimensional linealizada y la ecuación de fuerza unidimensional linealizada.

La ecuación de estado ( ley de los gases ideales )

${\ Displaystyle PV = nRT}$

En un proceso adiabático , la presión P en función de la densidad se puede linealizar a ${\ Displaystyle \ rho}$

${\ Displaystyle P = C \ rho \,}$

donde C es una constante. Rompiendo la presión y la densidad en sus componentes promedio y total y observando que : ${\ Displaystyle C = {\ frac {\ parcial P} {\ parcial \ rho}}}$

${\ Displaystyle P-P_ {0} = \ izquierda ({\ frac {\ parcial P} {\ parcial \ rho}} \ derecha) (\ rho - \ rho _ {0})}$.

El módulo de volumen adiabático de un fluido se define como

${\ Displaystyle B = \ rho _ {0} \ izquierda ({\ frac {\ parcial P} {\ parcial \ rho}} \ derecha) _ {adiabático}}$

que da el resultado

${\ Displaystyle P-P_ {0} = B {\ frac {\ rho - \ rho _ {0}} {\ rho _ {0}}}}$.

La condensación, s , se define como el cambio de densidad para una determinada densidad de fluido ambiental.

${\ Displaystyle s = {\ frac {\ rho - \ rho _ {0}} {\ rho _ {0}}}}$

La ecuación de estado linealizada se convierte en

${\ Displaystyle p = Bs \,}$donde p es la presión acústica ( ).${\ Displaystyle P-P_ {0}}$

La ecuación de continuidad (conservación de masa) en una dimensión es

${\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial \ rho} {\ parcial t}} + {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} (\ rho u) = 0}$.

Donde u es la velocidad de flujo del fluido. Nuevamente, la ecuación debe linealizarse y las variables divididas en componentes media y variable.

${\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} (\ rho _ {0} + \ rho _ {0} s) + {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} (\ rho _ {0} u + \ rho _ {0} su) = 0}$

Reordenando y observando que la densidad ambiental cambia sin tiempo ni posición y que la condensación multiplicada por la velocidad es un número muy pequeño:

${\ Displaystyle {\ frac {\ Partical S} {\ Particular T}} + {\ frac {\ Particular} {\ Particular x}} u = 0}$

La ecuación de la fuerza de Euler (conservación del momento) es el último componente necesario. En una dimensión, la ecuación es:

${\ Displaystyle \ rho {\ frac {Du} {Dt}} + {\ frac {\ parcial P} {\ parcial x}} = 0}$,

donde representa la derivada convectiva, sustancial o material , que es la derivada en un punto que se mueve junto con el medio en lugar de en un punto fijo. ${\ Displaystyle D / Dt}$

Linealizar las variables:

${\ Displaystyle (\ rho _ {0} + \ rho _ {0} s) \ left ({\ frac {\ Partical} {\ Partical T}} + u {\ frac {\ Partical} {\ Partical x}} \ derecha) u + {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} (P_ {0} + p) = 0}$.

Reordenando y despreciando términos pequeños, la ecuación resultante se convierte en la Ecuación de Euler unidimensional linealizada:

${\ estilo de visualización \ rho _ {0} {\ frac {\ u parcial} {\ t parcial}} + {\ frac {\ p parcial} {\ parcial x}} = 0}$.

Tomando la derivada en el tiempo de la ecuación de continuidad y la derivada espacial de la ecuación de fuerza se obtiene:

${\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial ^ {2} s} {\ parcial t ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial x \ parcial t}} = 0}$

${\ Displaystyle \ rho _ {0} {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial x \ parcial t}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} p} {\ parcial x ^ {2 }}} = 0}$.

Multiplicando el primero por , restando los dos y sustituyendo la ecuación de estado linealizada, ${\ Displaystyle \ rho _ {0}}$

${\ estilo de visualización - {\ frac {\ rho _ {0}} {B}} {\ frac {\ parcial ^ {2} p} {\ parcial t ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ { 2} p} {\ partial x ^ {2}}} = 0}$.

El resultado final es

${\ Displaystyle {\ partial ^ {2} p \ over \ partial x ^ {2}} - {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} p \ over \ partial t ^ {2}} = 0}$

donde es la velocidad de propagación. ${\ Displaystyle c = {\ sqrt {\ frac {B} {\ rho _ {0}}}}}$

En tres dimensiones

Ecuación

Feynman proporciona una derivación de la ecuación de onda para el sonido en tres dimensiones como

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} p- {1 \ sobre c ^ {2}} {\ parcial ^ {2} p \ sobre \ parcial t ^ {2}} = 0,}$

donde es el operador de Laplace , es la presión acústica (la desviación local de la presión ambiental) y es la velocidad del sonido . ${\ Displaystyle \ nabla ^ {2}}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle c}$

Una ecuación de onda de aspecto similar, pero para el campo vectorial, la velocidad de las partículas viene dada por

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {u} \; - {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ mathbf {u} \; \ sobre \ parcial t ^ {2}} = 0}$.

En algunas situaciones, es más conveniente resolver la ecuación de onda para un potencial de velocidad de campo escalar abstracto que tiene la forma

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi - {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ Phi \ over \ partial t ^ {2}} = 0}$

y luego derivar las cantidades físicas de velocidad de partícula y presión acústica mediante las ecuaciones (o definición, en el caso de la velocidad de partícula):

${\ Displaystyle \ mathbf {u} = \ nabla \ Phi \;}$,

${\ Displaystyle p = - \ rho {\ parcial \ sobre \ parcial t} \ Phi}$.

Solución

Las siguientes soluciones se obtienen por separación de variables en diferentes sistemas de coordenadas. Son soluciones fasoriales , es decir, tienen un factor de dependencia temporal implícito de dónde está la frecuencia angular . La dependencia explícita del tiempo viene dada por ${\ Displaystyle e ^ {i \ omega t}}$${\ Displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$

${\ Displaystyle p (r, t, k) = \ operatorname {Real} \ left [p (r, k) e ^ {i \ omega t} \ right]}$

Aquí está el número de oleada . ${\ Displaystyle k = \ omega / c \}$

Coordenadas cartesianas

${\ Displaystyle p (r, k) = Ae ^ {\ pm ikr}}$.

Coordenadas cilíndricas

${\ Displaystyle p (r, k) = AH_ {0} ^ {(1)} (kr) + \ BH_ {0} ^ {(2)} (kr)}$.

donde las aproximaciones asintóticas a las funciones de Hankel , cuando , son ${\ displaystyle kr \ rightarrow \ infty}$

${\ Displaystyle H_ {0} ^ {(1)} (kr) \ simeq {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi kr}}} e ^ {i (kr- \ pi / 4)}}$

${\ Displaystyle H_ {0} ^ {(2)} (kr) \ simeq {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi kr}}} e ^ {- i (kr- \ pi / 4)}}$.

Coordenadas esféricas

${\ Displaystyle p (r, k) = {\ frac {A} {r}} e ^ {\ pm ikr}}$.

Dependiendo de la convención de Fourier elegida, una de estas representa una onda que viaja hacia afuera y la otra una onda que viaja hacia adentro no física. La onda de solución que viaja hacia adentro es sólo no física debido a la singularidad que ocurre en r = 0; existen ondas que viajan hacia el interior.

Ver también

• Acústica
• Atenuación acústica
• Teoría acústica
• Ecuación de onda
• Ecuaciones diferenciales
• Termodinámica
• Dinámica de fluidos
• Presión
• Ley de los gases ideales

Referencias