Zitterbewegung - Zitterbewegung

En física , el zitterbewegung ("movimiento de nerviosismo " en alemán ) es el movimiento oscilatorio rápido predicho de partículas elementales que obedecen a ecuaciones de onda relativistas . La existencia de tal movimiento fue discutida por primera vez por Gregory Breit en 1928 y más tarde por Erwin Schrödinger en 1930 como resultado del análisis de las soluciones de paquetes de ondas de la ecuación de Dirac para electrones relativistas en el espacio libre, en el que una interferencia entre energía positiva y negativa estados produce lo que parece ser una fluctuación (hasta la velocidad de la luz) de la posición de un electrón alrededor de la mediana, con una frecuencia angular de 2 mc ²/ℏ, o aproximadamente 1,6 × 10 ²¹ radianes por segundo. Para el átomo de hidrógeno , se puede invocar zitterbewegung como una forma heurística de derivar el término de Darwin , una pequeña corrección del nivel de energía de los orbitales s .

Teoría

Fermión libre

La ecuación de Dirac dependiente del tiempo se escribe como

${\ Displaystyle H \ psi (\ mathbf {x}, t) = i \ hbar {\ frac {\ parcial \ psi} {\ parcial t}} (\ mathbf {x}, t)}$,

donde es la constante de Planck (reducida) , es la función de onda ( bispinor ) de una partícula fermiónica spin-½ , y H es el Hamiltoniano de Dirac de una partícula libre : ${\ Displaystyle \ hbar}$${\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {x}, t)}$

${\ Displaystyle H = \ beta mc ^ {2} + \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ alpha _ {j} p_ {j} c}$,

donde es la masa de la partícula, es la velocidad de la luz , es el operador del momento , y y son matrices relacionadas con las matrices gamma , como y . ${\ textstyle m}$${\ textstyle c}$${\ textstyle p_ {j}}$${\ Displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle \ alpha _ {j}}$ ${\ textstyle \ gamma _ {\ mu}}$${\ textstyle \ beta = \ gamma _ {0}}$${\ textstyle \ alpha _ {j} = \ gamma _ {0} \ gamma _ {j}}$

En la imagen de Heisenberg , la dependencia temporal de un Q observable arbitrario obedece a la ecuación

${\ Displaystyle -i \ hbar {\ frac {\ parcial Q} {\ parcial t}} = \ izquierda [H, Q \ derecha].}$

En particular, la dependencia del tiempo del operador de posición viene dada por

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial x_ {k} (t)} {\ parcial t}} = {\ frac {i} {\ hbar}} \ izquierda [H, x_ {k} \ derecha] = c \ alpha _ {k}}$.

donde x _k ( t ) es el operador de posición en el momento t .

La ecuación anterior muestra que el operador α _k puede interpretarse como el k -ésimo componente de un "operador de velocidad".

Tenga en cuenta que esto implica que

${\ Displaystyle \ left \ langle \ left ({\ frac {\ parcial x_ {k} (t)} {\ parcial t}} \ derecha) ^ {2} \ right \ rangle = c ^ {2}}$,

como si la "velocidad cuadrática media" en todas las direcciones del espacio fuera la velocidad de la luz.

Para agregar dependencia del tiempo a α _k , se implementa la imagen de Heisenberg, que dice

${\ Displaystyle \ alpha _ {k} (t) = e ^ {\ frac {iHt} {\ hbar}} \ alpha _ {k} e ^ {- {\ frac {iHt} {\ hbar}}}}$.

La dependencia del tiempo del operador de velocidad está dada por

${\ Displaystyle \ hbar {\ frac {\ parcial \ alpha _ {k} (t)} {\ parcial t}} = i \ left [H, \ alpha _ {k} \ right] = 2 \ left (i \ gamma _ {k} m- \ sigma _ {kl} p ^ {l} \ right) = 2i \ left (p_ {k} - \ alpha _ {k} H \ right)}$,

dónde

${\ Displaystyle \ sigma _ {kl} \ equiv {\ frac {i} {2}} \ left [\ gamma _ {k}, \ gamma _ {l} \ right].}$

Ahora, debido a que tanto p _k como H son independientes del tiempo, la ecuación anterior se puede integrar fácilmente dos veces para encontrar la dependencia temporal explícita del operador de posición.

Primero:

${\ Displaystyle \ alpha _ {k} (t) = \ left (\ alpha _ {k} (0) -cp_ {k} H ^ {- 1} \ right) e ^ {- {\ frac {2iHt} { \ hbar}}} + cp_ {k} H ^ {- 1}}$,

y finalmente

${\ Displaystyle x_ {k} (t) = x_ {k} (0) + c ^ {2} p_ {k} H ^ {- 1} t + {\ tfrac {1} {2}} i \ hbar cH ^ {-1} \ left (\ alpha _ {k} (0) -cp_ {k} H ^ {- 1} \ right) \ left (e ^ {- {\ frac {2iHt} {\ hbar}}} - 1 \ right)}$.

La expresión resultante consta de una posición inicial, un movimiento proporcional al tiempo y un término de oscilación con una amplitud igual a la longitud de onda reducida de Compton . Ese término de oscilación es el llamado zitterbewegung.

La interpretación como un artefacto

En mecánica cuántica, el término zitterbewegung desaparece al tomar los valores esperados para los paquetes de ondas que están formados completamente por ondas de energía positivas (o completamente negativas). La velocidad relativista estándar se puede recuperar tomando una transformación de Foldy-Wouthuysen , cuando los componentes positivo y negativo están desacoplados. Por lo tanto, llegamos a la interpretación del zitterbewegung como causado por la interferencia entre los componentes de onda de energía positiva y negativa.

En la electrodinámica cuántica, los estados de energía negativa son reemplazados por estados de positrones , y el zitterbewegung se entiende como el resultado de la interacción del electrón con pares electrón-positrón que se forman y aniquilan espontáneamente .

Más recientemente, se ha observado que en el caso de las partículas libres podría ser simplemente un artefacto de la teoría simplificada. Zitterbewegung aparece debido a los "pequeños componentes" del dirac 4-spinor, debido a un poco de antipartícula mezclada en la función de onda de la partícula para un movimiento no relativista. No aparece en la segunda teoría cuantificada correcta , o más bien, se resuelve usando propagadores de Feynman y haciendo QED . Sin embargo, es una forma interesante de comprender heurísticamente ciertos efectos QED a partir de la imagen de una sola partícula.

Simulación experimental

El zitterbewegung de una partícula relativista libre nunca ha sido observado directamente, aunque algunos autores creen haber encontrado evidencia a favor de su existencia. También se ha simulado dos veces en sistemas modelo que proporcionan análogos de materia condensada del fenómeno relativista. El primer ejemplo, en 2010, colocó un ion atrapado en un entorno tal que la ecuación de Schrödinger no relativista para el ion tenía la misma forma matemática que la ecuación de Dirac (aunque la situación física es diferente). Luego, en 2013, se simuló en una configuración con condensados ​​de Bose-Einstein .

Otras propuestas de análogos de materia condensada incluyen nanoestructuras semiconductoras, grafeno y aislantes topológicos .

Ver también

• Efecto Casimir
• Turno de cordero

Referencias

Otras lecturas

• Mesías, A. (1962). "XX, Sección 37" (pdf) . Mecánica cuántica . II . págs. 950–952. ISBN 9780471597681.

enlaces externos

• Zitterbewegung en New Scientist
• Álgebra geométrica en mecánica cuántica