Divisor cero - Zero divisor

En álgebra abstracta , un elemento a de un anillo R se llama divisor de cero a la izquierda si existe una x distinta de cero en R tal que ax = 0 , o de manera equivalente si el mapa de R a R que envía x a ax no es inyectivo . De manera similar, un elemento a de un anillo se llama divisor de cero por la derecha si existe una y distinta de cero en R tal que ya = 0 . Este es un caso parcial de divisibilidad en anillos. Un elemento que es un divisor de cero a la izquierda o a la derecha se llama simplemente divisor de cero . Un elemento  a que es un divisor de cero tanto a la izquierda como a la derecha se llama divisor de cero de dos lados (la x distinta de cero tal que ax = 0 puede ser diferente de la y distinta de cero tal que ya = 0 ). Si el anillo es conmutativo , los divisores cero izquierdo y derecho son iguales.

Un elemento de un anillo que no es un divisor de cero a la izquierda se llama regular izquierdo o cancelable a la izquierda . De manera similar, un elemento de un anillo que no es un divisor de cero a la derecha se llama regular a la derecha o cancelable a la derecha . Un elemento de un anillo que se puede cancelar por la izquierda y la derecha y, por lo tanto, no es un divisor de cero, se llama regular o cancelable , o un divisor distinto de cero . Un divisor de cero distinto de cero se denomina divisor de cero distinto de cero o divisor de cero no trivial . Un anillo distinto de cero sin divisores de cero no triviales se llama dominio .

Ejemplos de

• En el anillo ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 4 \ mathbb {Z}}$ , la clase de residuo es un divisor de cero desde . ${\ Displaystyle {\ overline {2}}}$${\ Displaystyle {\ overline {2}} \ times {\ overline {2}} = {\ overline {4}} = {\ overline {0}}}$
• El único divisor cero del anillo de números enteros es . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle 0}$
• Un elemento nilpotente de un anillo distinto de cero es siempre un divisor de cero de dos lados.
• Un elemento idempotente de un anillo es siempre un divisor de cero de dos lados, ya que . ${\ Displaystyle e \ neq 1}$${\ Displaystyle e (1-e) = 0 = (1-e) e}$
• El anillo de matrices ${\ Displaystyle n \ times n}$ sobre un campo tiene divisores de cero distintos de cero si . Aquí se muestran ejemplos de divisores cero en el anillo de matrices (sobre cualquier anillo distinto de cero ): ${\ Displaystyle n \ geq 2}$${\ Displaystyle 2 \ times 2}$

  ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ - 1 & -1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -2 & 1 \\ - 2 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}},}$

  ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix }} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$ .

• Un producto directo de dos o más anillos distintos de cero siempre tiene divisores de cero distintos de cero. Por ejemplo, con cada uno distinto de cero , entonces es un divisor de cero. ${\ Displaystyle R_ {1} \ times R_ {2}}$${\ Displaystyle R_ {i}}$${\ displaystyle (1,0) (0,1) = (0,0)}$${\ displaystyle (1,0)}$
• Sea un campo y sea ​​un grupo . Supongamos que tiene un elemento de orden finito . Luego, en el anillo de grupo, uno tiene , sin que ningún factor sea cero, por lo que es un divisor de cero distinto de cero en . ${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle g}$ ${\ Displaystyle n> 1}$ ${\ Displaystyle K [G]}$${\ Displaystyle (1-g) (1 + g + \ cdots + g ^ {n-1}) = 1-g ^ {n} = 0}$${\ Displaystyle 1-g}$${\ Displaystyle K [G]}$

Divisor de cero unilateral

• Considere el anillo de matrices (formales) con y . Entonces y . Si , entonces es un divisor de cero a la izquierda si y solo si es par, ya que , y es un divisor de cero a la derecha si y solo si es par por razones similares. Si cualquiera de los dos lo es , entonces es un divisor de cero de dos lados. ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x & y \\ 0 & z \ end {pmatrix}}}$${\ Displaystyle x, z \ in \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle y \ in \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x & y \\ 0 & z \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & c \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} xa & xb + yc \\ 0 & zc \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & c \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x & y \\ 0 & z \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} xa & ya + zb \\ 0 & zc \ end {pmatrix}}}$${\ Displaystyle x \ neq 0 \ neq z}$${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x & y \\ 0 & z \ end {pmatrix}}}$ ${\ Displaystyle x}$${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x & y \\ 0 & z \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & x \\ 0 & 0 \ end {pmatrix }}}$${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle x, z}$${\ displaystyle 0}$
• Aquí hay otro ejemplo de un anillo con un elemento que es un divisor de cero en un solo lado. Sea el conjunto de todas las secuencias de números enteros . Tome para el anillo todos los mapas aditivos del a , con la adición y composición puntuales como las operaciones del anillo. (Es decir, nuestro anillo es el anillo de endomorfismo del grupo aditivo ). Tres ejemplos de elementos de este anillo son el desplazamiento a la derecha , el desplazamiento a la izquierda y el mapa de proyección sobre el primer factor . Los tres mapas aditivos no son cero, y los compuestos y ambos son cero, por lo que es un divisor cero izquierdo y un divisor cero derecho en el anillo de mapas aditivos de a . Sin embargo, no es un divisor de cero a la derecha y no es un divisor de cero a la izquierda: el compuesto es la identidad. es un divisor de cero de dos lados ya que , while no está en ninguna dirección. ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ...)}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle \ mathrm {Fin} (S)}$${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle R (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ...) = (0, a_ {1}, a_ {2}, ...)}$ ${\ Displaystyle L (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ...) = (a_ {2}, a_ {3}, a_ {4}, ...)}$${\ Displaystyle P (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ...) = (a_ {1}, 0,0, ...)}$${\ displaystyle LP}$${\ Displaystyle PR}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle R}$${\ displaystyle LR}$${\ displaystyle RL}$${\ Displaystyle RLP = 0 = PRL}$${\ displaystyle LR = 1}$

No ejemplos

• El anillo de números enteros módulo un número primo no tiene divisores de cero distintos de 0. Dado que cada elemento distinto de cero es una unidad , este anillo es un campo finito .
• De manera más general, un anillo de división no tiene divisores de cero excepto 0.
• Un anillo conmutativo distinto de cero cuyo único divisor de cero es 0 se denomina dominio integral .

Propiedades

• En el anillo de n- por- n matrices sobre un campo , los divisores cero izquierdo y derecho coinciden; son precisamente las matrices singulares . En el anillo de n- por- n matrices sobre un dominio integral , los divisores de cero son precisamente las matrices con determinante cero .
• Los divisores de cero izquierdo o derecho nunca pueden ser unidades , porque si a es invertible y ax = 0 para alguna x distinta de cero , entonces 0 = a ⁻¹ 0 = a ⁻¹ ax = x , una contradicción.
• Un elemento es cancelable en el lado en el que es regular. Es decir, si a es una regular de la izquierda, ax = ay implica que x = y , y de manera similar para la regular de la derecha.

Cero como divisor de cero

No hay necesidad de una convención separada para el caso a = 0 , porque la definición también se aplica en este caso:

• Si R es un anillo distinto del anillo cero , entonces 0 es un divisor cero (de dos lados), porque cualquier elemento x distinto de cero satisface 0 x = 0 = x 0 .
• Si R es el anillo cero , en el que 0 = 1 , entonces 0 no es un divisor de cero, porque no hay ningún elemento distinto de cero que cuando se multiplica por 0 da como resultado 0 .

Algunas referencias incluyen o excluyen 0 como divisor de cero en todos los anillos por convención, pero luego sufren de tener que introducir excepciones en declaraciones como las siguientes:

• En un anillo conmutativo R , el conjunto de los no-cero divisores es un conjunto multiplicativo en R . (Esto, a su vez, es importante para la definición del anillo del cociente total ). Lo mismo ocurre con el conjunto de divisores que no son cero a la izquierda y el conjunto de divisores que no son cero a la derecha en un anillo arbitrario, conmutativo o no.
• En una conmutativa anillo noetheriano R , el conjunto de divisores de cero es la unión de los ideales primos asociados de R .

Divisor cero en un módulo

Deje que R sea un anillo conmutativo, deje M sea un R - módulo , y dejó un ser un elemento de R . Se dice que a es M -regular si el mapa de "multiplicación por a " es inyectivo, y que a es un divisor cero en M en caso contrario. El conjunto de M elementos -Regular es un conjunto multiplicativo en R . ${\ Displaystyle M \, {\ stackrel {a} {\ to}} \, M}$

Al especializar las definiciones de " M -regular" y "divisor cero en M " al caso M = R, se recuperan las definiciones de "regular" y "divisor cero" dadas anteriormente en este artículo.

Ver también

• Propiedad de producto cero
• Glosario de álgebra conmutativa (divisor cero exacto)
• Gráfico de divisor cero

Notas

Referencias

Otras lecturas

• "Divisor cero" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Michiel Hazewinkel ; Nadiya Gubareni; Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni; Vladimir V. Kirichenko. (2004), Álgebras, anillos y módulos , Vol. 1, Springer, ISBN   1-4020-2690-0 |volume= tiene texto extra ( ayuda )
• Weisstein, Eric W. "Divisor cero" . MathWorld .