Geometría sin puntos de Whitehead - Whitehead's point-free geometry

En matemáticas , la geometría libre de puntos es una geometría cuya noción ontológica primitiva es región en lugar de punto . A continuación se exponen dos sistemas axiomáticos , uno basado en la mereología , el otro en la mereotopología y conocido como teoría de la conexión . Un punto puede marcar un espacio u objetos.

Motivación

La geometría libre de puntos se formuló por primera vez en Whitehead (1919, 1920), no como una teoría de la geometría o del espacio-tiempo , sino de "eventos" y de una " relación de extensión " entre eventos. Los propósitos de Whitehead eran tanto filosóficos como científicos y matemáticos.

Whitehead no expuso sus teorías de una manera que satisficiera los cánones de formalidad actuales. Las dos teorías formales de primer orden descritas en esta entrada fueron diseñadas por otros para aclarar y refinar las teorías de Whitehead. El dominio del discurso para ambas teorías consiste en "regiones". Todas las variables no cuantificadas en esta entrada deben tomarse como tácitamente cuantificadas universalmente ; por tanto, todos los axiomas deben tomarse como cierres universales . Ningún axioma requiere más de tres variables cuantificadas; por tanto, es posible una traducción de las teorías de primer orden en álgebra de relaciones . Cada conjunto de axiomas tiene cuatro cuantificadores existenciales .

Geometría libre de puntos basada en inclusión (mereología)

Los axiomas G1 a G7 son, salvo numeración, los de Def. 2.1 en Gerla y Miranda (2008) (ver también Gerla (1995)). Los identificadores de la forma WP n , incluidos en la descripción verbal de cada axioma, se refieren al axioma correspondiente en Simons (1987: 83).

La relación binaria primitiva fundamental es la inclusión , denotada por el infijo "≤", que corresponde a la relación binaria de Parthood que es una característica estándar en las teorías mereológicas . El significado intuitivo de x ≤ y es " x es parte de y ". Suponiendo que la igualdad, denotado por infija "=", es parte de la lógica de fondo, la relación binaria Parte adecuado , denotado por infija "<", se define como:

${\ Displaystyle x <y \ leftrightarrow (x \ leq y \ land x \ not = y).}$

Los axiomas son:

• La inclusión ordena parcialmente el dominio .

G1. ( reflexivo )${\ Displaystyle x \ leq x.}$

G2. ( transitivo ) WP4 .${\ Displaystyle (x \ leq z \ land z \ leq y) \ rightarrow x \ leq y.}$

G3. ( antisimétrico )${\ Displaystyle (x \ leq y \ land y \ leq x) \ rightarrow x = y.}$

• Dadas dos regiones cualesquiera, existe una región que las incluye a ambas. WP6 .

G4. ${\ Displaystyle \ existe z [x \ leq z \ land y \ leq z].}$

• Proper Part ordena densamente el dominio . WP5 .

G5. ${\ Displaystyle x <y \ rightarrow \ existe z [x <z <y].}$

• Ambas regiones atómicas y una región universales no existen. Por tanto, el dominio no tiene límite superior ni inferior. WP2 .

G6. ${\ Displaystyle \ existe y \ existe z [y <x \ land x <z].}$

• Principio de piezas adecuadas. Si todas las partes propias de x son partes propias de y , entonces x se incluye en y . WP3 .

G7. ${\ Displaystyle \ forall z [z <x \ rightarrow z <y] \ rightarrow x \ leq y.}$

Un modelo de G1 – G7 es un espacio de inclusión .

Definición (Gerla y Miranda 2008: Def. 4.1). Dado algún espacio de inclusión S, una clase abstractiva es una clase G de regiones tal que S \ G está totalmente ordenada por inclusión. Por otra parte, no existe una región incluida en todas las regiones incluidas en G .

Intuitivamente, una clase abstractiva define una entidad geométrica cuya dimensionalidad es menor que la del espacio de inclusión. Por ejemplo, si el espacio de inclusión es el plano euclidiano , entonces las clases abstractas correspondientes son puntos y líneas .

La geometría libre de puntos basada en la inclusión (en adelante "geometría libre de puntos") es esencialmente una axiomatización del sistema W. de Simons (1987: 83) . A su vez, W formaliza una teoría en Whitehead (1919) cuyos axiomas no se hacen explícitos. La geometría sin puntos es W con este defecto reparado. Simons (1987) no reparó este defecto, sino que proponía en una nota al pie que el lector lo hiciera a modo de ejercicio. La relación primitiva de W es la parte propia, un orden parcial estricto . La teoría de Whitehead (1919) tiene una única relación binaria primitiva K definida como xKy ↔ y  <  x . Por tanto, K es el inverso de la parte propia. El WP1 de Simons afirma que la parte adecuada es irreflexiva y, por lo tanto, corresponde a G1 . G3 establece que la inclusión, a diferencia de Proper Part, es antisimétrica .

Geometría Point-libre está estrechamente relacionada con una densa orden lineal D , cuyo axiomas son G1-3 , G5 , y el axioma totalidad Por lo tanto la geometría libre de punto basada en la inclusión sería una extensión adecuada de D (a saber, D ∪ { G4 , G6 , G7 }), si no fuera porque la relación D "≤" es un orden total . ${\ Displaystyle x \ leq y \ lor y \ leq x.}$

Teoría de la conexión (mereotopología)

En Whitehead (1929) se propuso un enfoque diferente, inspirado en De Laguna (1922). Whitehead tomó como primitiva la noción topológica de "contacto" entre dos regiones, lo que resultó en una "relación de conexión" primitiva entre eventos. La teoría de la conexión C es una teoría de primer orden que destila los primeros 12 de los 31 supuestos del capítulo 2 de la parte 4 de Proceso y realidad en 6 axiomas, C1-C6 . C es un fragmento propio de las teorías propuestas en Clarke (1981), quien señaló su carácter mereológico . Las teorías que, como C , presentan tanto la inclusión como las primitivas topológicas, se denominan mereotopologías .

C tiene una primitiva relación , "conexión" binaria denotada por el prefijo carta predicado C . Que x esté incluido en y ahora se puede definir como x ≤ y ↔ ∀z [ Czx → Czy ]. A diferencia del caso de los espacios de inclusión, la teoría de la conexión permite definir la inclusión "no tangencial", un orden total que permite la construcción de clases abstractas. Gerla y Miranda (2008) sostienen que solo así la mereotopología puede definir un punto de manera inequívoca .

Los axiomas C1-C6 a continuación son, pero para la numeración, los de Def. 3.1 en Gerla y Miranda (2008):

• C es reflexivo . C.1.

C1. ${\ Displaystyle \ Cxx.}$

• C es simétrico . C.2.

C2. ${\ displaystyle Cxy \ rightarrow Cyx.}$

• C es extensional . C.11.

C3. ${\ Displaystyle \ forall z [Czx \ leftrightarrow Czy] \ rightarrow x = y.}$

• Todas las regiones tienen partes propias, de modo que C es una teoría sin átomos . P.9.

C4. ${\ Displaystyle \ existe y [y <x].}$

• Dadas dos regiones cualesquiera, hay una región conectada a ambas.

C5. ${\ Displaystyle \ existe z [Czx \ land Czy].}$

• Todas las regiones tienen al menos dos partes no conectadas. C.14.

C6. ${\ Displaystyle \ existe y \ existe z [(y \ leq x) \ land (z \ leq x) \ land \ neg Cyz].}$

Un modelo de C es un espacio de conexión .

Después de la descripción verbal de cada axioma está el identificador del axioma correspondiente en Casati y Varzi (1999). Su sistema SMT ( mereotopología fuerte ) consiste en C1-C3 , y se debe esencialmente a Clarke (1981). Cualquier mereotopología puede hacerse sin átomos invocando C4 , sin correr el riesgo de paradojas o trivialidades. Por tanto, C extiende la variante sin átomos de SMT por medio de los axiomas C5 y C6 , sugeridos por el capítulo 2 de la parte 4 de Proceso y realidad . Para una discusión avanzada y detallada de los sistemas relacionados con C , vea Roeper (1997).

Biacino y Gerla (1991) demostraron que cada modelo de la teoría de Clarke es un álgebra booleana , y los modelos de tales álgebras no pueden distinguir la conexión de la superposición. Es dudoso que alguno de los dos hechos sea fiel a la intención de Whitehead.

Ver también

• Mereología
• Mereotopología
• Topología sin sentido

Notas

Referencias

• Biacino L. y Gerla G., 1991, " Estructuras de conexión ", Notre Dame Journal of Formal Logic 32: 242-47.
• Casati, R. y Varzi, AC, 1999. Partes y lugares: las estructuras de la representación espacial . Prensa del MIT.
• Clarke, Bowman, 1981, " Un cálculo de individuos basado en 'conexión' ", Notre Dame Journal of Formal Logic 22 : 204-18.
• ------, 1985, " Individuos y puntos ", Notre Dame Journal of Formal Logic 26 : 61-75.
• De Laguna, T., 1922, "Punto, línea y superficie como conjuntos de sólidos", The Journal of Philosophy 19 : 449-61.
• Gerla, G., 1995, " Geometrías sin sentido " en Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Manual de geometría de incidencia: edificios y cimientos . Holanda Septentrional: 1015-31.
• --------, y Miranda A., 2008, " Inclusion and Connection in Whitehead's Point-free Geometry ", en Michel Weber y Will Desmond, (eds.), Handbook of Whiteheadian Process Thought , Frankfurt / Lancaster, ontos verlag, Process Thought X1 y X2.
• Gruszczynski R. y Pietruszczak A., 2008, " Desarrollo completo de la geometría de sólidos de Tarski ", Boletín de lógica simbólica 14: 481-540. El artículo contiene una presentación de un sistema de geometría libre de puntos que se origina a partir de las ideas de Whitehead y se basa en la mereología de Lesniewski. También se analiza brevemente la relación entre los sistemas de geometría basados ​​en puntos y sin puntos. También se dan las propiedades básicas de las estructuras mereológicas.
• Grzegorczyk, A., 1960, "Axiomatizabilidad de la geometría sin puntos", Synthese 12 : 228-235.
• Kneebone, G., 1963. La lógica matemática y los fundamentos de las matemáticas . Reimpresión de Dover, 2001.
• Lucas, JR , 2000. Raíces conceptuales de las matemáticas . Routledge. Cap. 10, sobre "prototopología", analiza los sistemas de Whitehead y está fuertemente influenciado por los escritos inéditos de David Bostock .
• Roeper, P., 1997, "Topología basada en regiones", Journal of Philosophical Logic 26 : 251-309.
• Simons, P., 1987. Partes: Un estudio en ontología . Universidad de Oxford. Presionar.
• Whitehead, AN , 1916, "La Theorie Relationiste de l'Espace", Revue de Metaphysique et de Morale 23 : 423-454. Traducido como Hurley, PJ, 1979, "La teoría relacional del espacio", Philosophy Research Archives 5 : 712-741.
• --------, 1919. Una investigación sobre los principios del conocimiento natural . Cambridge Univ. Presionar. 2a ed., 1925.
• --------, 1920. El concepto de naturaleza . Cambridge Univ. Presionar. Libro de bolsillo de 2004, Prometheus Books. Siendo las Conferencias Tarner de 1919 dictadas en el Trinity College .
• --------, 1979 (1929). Proceso y realidad . Prensa Libre.