El pequeño teorema de Wedderburn - Wedderburn's little theorem

En matemáticas , el pequeño teorema de Wedderburn establece que todo dominio finito es un campo . En otras palabras, para anillos finitos , no hay distinción entre dominios, anillos de división y campos.

El teorema de Artin-Zorn generaliza el teorema a anillos alternativos : cada anillo de división alternativo finito es un campo.

Historia

La prueba original fue dada por Joseph Wedderburn en 1905, quien pasó a demostrarlo de otras dos formas. Leonard Eugene Dickson dio otra prueba poco después de la prueba original de Wedderburn, y Dickson reconoció la prioridad de Wedderburn. Sin embargo, como se señala en ( Parshall 1983 ), la primera prueba de Wedderburn era incorrecta - tenía un vacío - y sus pruebas posteriores aparecieron sólo después de haber leído la prueba correcta de Dickson. Sobre esta base, Parshall sostiene que a Dickson se le debe atribuir la primera prueba correcta.

Ernst Witt dio más tarde una versión simplificada de la prueba . La prueba de Witt se esboza a continuación. Alternativamente, el teorema es una consecuencia del teorema de Skolem-Noether mediante el siguiente argumento. Sea D un álgebra de división finita con centro k . Sea [ D  : k ] = n ² y q denote la cardinalidad de k . Cada subcampo máximo de D tiene q ⁿ elementos; por lo que son isomorfos y, por lo tanto, están conjugados por Skolem-Noether. Pero un grupo finito (el grupo multiplicativo de D en nuestro caso) no puede ser una unión de conjugados de un subgrupo propio; por tanto, n = 1.

Theodore Kaczynski dio una demostración posterior de la " teoría de grupos " . Esta prueba, el primer escrito matemático publicado por Kaczynski, era una nota corta de dos páginas que también reconocía las pruebas históricas anteriores.

Relación con el grupo Brauer de un campo finito

El teorema es esencialmente equivalente a decir que el grupo de Brauer de un campo finito es trivial. De hecho, esta caracterización arroja inmediatamente una demostración del teorema como sigue: sea k un campo finito. Dado que el cociente de Herbrand desaparece por finitud, coincide con , que a su vez desaparece por Hilbert 90 . ${\ Displaystyle \ operatorname {Br} (k) = H ^ {2} (k ^ {\ text {al}} / k)}$${\ Displaystyle H ^ {1} (k ^ {\ text {al}} / k)}$

Prueba

Sea A un dominio finito. Para cada x distinto de cero en A , los dos mapas

${\ Displaystyle a \ mapsto ax, a \ mapsto xa: A \ to A}$

son inyectables por la propiedad de cancelación y, por lo tanto, sobreyectivas al contar. De la teoría de grupos elemental se deduce que los elementos distintos de cero de A forman un grupo mediante la multiplicación. Por tanto, A es un campo sesgado .

Para probar que cada campo de sesgo finito es un campo, usamos una fuerte inducción sobre el tamaño del campo de sesgo. Por lo tanto, sea A un campo sesgado y suponga que todos los campos sesgados que son subconjuntos propios de A son campos. Dado que el centro Z ( A ) de A es un campo, A es un espacio vectorial sobre Z ( A ) con dimensión finita n . Nuestro objetivo es entonces mostrar n = 1. Si q es el orden de Z ( A ), entonces A tiene el orden q ⁿ . Tenga en cuenta que debido a que Z ( A ) contiene los elementos distintos 0 y 1, q> 1. Para cada x en A que no está en el centro, el centralizador Z _x de x es claramente un campo sesgado y, por lo tanto, un campo, según la hipótesis de inducción, y debido a que Z _x puede verse como un espacio vectorial sobre Z ( A ) y A puede verse como un espacio vectorial sobre Z _x , tenemos que Z _x tiene orden q ^d donde d divide n y es menor que n . Viendo Z ( A ) *, A * y Z * _x como grupos bajo la multiplicación, podemos escribir la ecuación de clase

${\ Displaystyle q ^ {n} -1 = q-1 + \ sum {q ^ {n} -1 \ over q ^ {d} -1}}$

donde la suma se toma sobre las clases de conjugación no contenidas dentro de Z ( A ) *, y las d se definen de modo que para cada clase de conjugación, el orden de Z * _x para cualquier x en la clase es q ^d -1. q ⁿ −1 y q ^d −1 admiten la factorización polinomial en términos de polinomios ciclotómicos

${\ Displaystyle \ Phi _ {f} (q)}$.

En las identidades polinomiales

${\ Displaystyle x ^ {n} -1 = \ prod _ {m | n} \ Phi _ {m} (x)}$y ,${\ Displaystyle x ^ {d} -1 = \ prod _ {m | d} \ Phi _ {m} (x)}$

establecemos x = q . Como cada d es un divisor propio de n ,

${\ Displaystyle \ Phi _ {n} (q)}$divide tanto q ⁿ −1 como cada uno ,${\ Displaystyle {q ^ {n} -1 \ sobre q ^ {d} -1}}$

así que por la ecuación de clase anterior debe dividirse q −1, y por lo tanto ${\ Displaystyle \ Phi _ {n} (q)}$

${\ Displaystyle | \ Phi _ {n} (q) | \ leq q-1}$.

Para ver que esto obliga a n a ser 1, mostraremos

${\ Displaystyle | \ Phi _ {n} (q) |> q-1}$

para n > 1 usando factorización sobre los números complejos. En la identidad polinomial

${\ Displaystyle \ Phi _ {n} (x) = \ prod (x- \ zeta)}$,

donde ζ corre sobre las n -ésimas raíces primitivas de la unidad, establece x en q y luego toma valores absolutos

${\ Displaystyle | \ Phi _ {n} (q) | = \ prod | q- \ zeta |}$.

Para n > 1, vemos que para cada n -ésima raíz primitiva de la unidad ζ,

${\ Displaystyle | q- \ zeta |> | q-1 |}$

debido a la ubicación de q , 1 y ζ en el plano complejo. Por lo tanto

${\ Displaystyle | \ Phi _ {n} (q) |> q-1}$.

Notas

Referencias

• Parshall, KH (1983). "En la búsqueda del teorema del álgebra de división finita y más allá: Joseph HM Wedderburn, Leonard Dickson y Oswald Veblen". Archivos de Historia Internacional de la Ciencia . 33 : 274–99.
• Lam, Tsit-Yuen (2001). Un primer curso en anillos no conmutativos . Textos de Posgrado en Matemáticas . 131 (2 ed.). Saltador. ISBN 0-387-95183-0.

enlaces externos

• Prueba del teorema de Wedderburn en Planet Math
• Prueba del sistema Mizar : http://mizar.org/version/current/html/weddwitt.html#T38