modelo de turbulencia eólica de von Kármán - von Kármán wind turbulence model

El modelo de turbulencia eólica de von Kármán (también conocido como ráfagas de von Kármán ) es un modelo matemático de ráfagas continuas . Coincide mejor con las ráfagas continuas observadas que el modelo de turbulencia de viento de Dryden y es el modelo preferido del Departamento de Defensa de los Estados Unidos en la mayoría de las aplicaciones de diseño y simulación de aeronaves. El modelo de von Kármán trata los componentes de velocidad lineal y angular de ráfagas continuas como procesos estocásticos que varían espacialmente y especifica la densidad espectral de potencia de cada componente . El modelo de turbulencia eólica de von Kármán se caracteriza por densidades espectrales de potencia irracionales , por lo que se pueden diseñar filtros que tomen las entradas de ruido blanco y los procesos estocásticos de salida con las densidades espectrales de potencia de las ráfagas de von Kármán aproximadas.

Historia

El modelo de turbulencia eólica de von Kármán apareció por primera vez en un informe de la NACA de 1957 basado en un trabajo anterior de Theodore von Kármán .

Densidades espectrales de potencia

El modelo de von Kármán se caracteriza por densidades espectrales de potencia para las tres componentes de velocidad lineal de las ráfagas ( u _g , v _g , w _g ),

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ Phi _ {u_ {g}} (\ Omega) & = \ sigma _ {u} ^ {2} {\ frac {2L_ {u}} {\ pi}} {\ frac {1} {\ left (1+ (1.339L_ {u} \ Omega) ^ {2} \ right) ^ {\ frac {5} {6}}}} \\\ Phi _ {v_ {g}} (\ Omega) & = \ sigma _ {v} ^ {2} {\ frac {2L_ {v}} {\ pi}} {\ frac {1 + {\ frac {8} {3}} (2.678L_ { v} \ Omega) ^ {2}} {\ left (1+ (2.678L_ {v} \ Omega) ^ {2} \ right) ^ {\ frac {11} {6}}}} \\\ Phi _ {w_ {g}} (\ Omega) & = \ sigma _ {w} ^ {2} {\ frac {2L_ {w}} {\ pi}} {\ frac {1 + {\ frac {8} {3 }} (2.678L_ {w} \ Omega) ^ {2}} {\ left (1+ (2.678L_ {w} \ Omega) ^ {2} \ right) ^ {\ frac {11} {6}}} } \ end {alineado}}}$

donde σ _i y L _i son la intensidad de la turbulencia y la longitud de escala, respectivamente, para el componente de velocidad i- ésimo, y Ω es una frecuencia espacial. Estas densidades espectrales de potencia dan al proceso estocástico variaciones espaciales, pero cualquier variación temporal depende del movimiento del vehículo a través del campo de velocidad de ráfaga. La velocidad con la que el vehículo se mueve a través del campo de ráfagas V permite la conversión de estas densidades espectrales de potencia a diferentes tipos de frecuencias,

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ Omega & = {\ frac {\ omega} {V}} \\\ Phi _ {i} (\ Omega) & = V \ Phi _ {i} \ left (\ omega \ right) \ end {alineado}}}$

donde ω tiene unidades de radianes por unidad de tiempo.

Las componentes de la velocidad angular de la ráfaga ( p _g , q _g , r _g ) se definen como las variaciones de las componentes de la velocidad lineal a lo largo de los diferentes ejes del vehículo,

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} p_ {g} & = {\ frac {\ parcial w_ {g}} {\ parcial y}} \\ q_ {g} & = {\ frac {\ parcial w_ {g} } {\ parcial x}} \\ r_ {g} & = - {\ frac {\ parcial v_ {g}} {\ parcial x}} \ end {alineado}}}$

aunque en algunas fuentes se pueden utilizar diferentes convenciones de signos. Las densidades espectrales de potencia para los componentes de velocidad angular son

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ Phi _ {p_ {g}} (\ omega) & = {\ frac {\ sigma _ {w} ^ {2}} {2VL_ {w}}} {\ frac { 0.8 \ left ({\ frac {2 \ pi L_ {w}} {4b}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}}} {1+ \ left ({\ frac {4b \ omega} { \ pi V}} \ right) ^ {2}}} \\\ Phi _ {q_ {g}} (\ omega) & = {\ frac {\ pm \ left ({\ frac {\ omega} {V} } \ right) ^ {2}} {1+ \ left ({\ frac {4b \ omega} {\ pi V}} \ right) ^ {2}}} \ Phi _ {w_ {g}} (\ omega ) \\\ Phi _ {r_ {g}} (\ omega) & = {\ frac {\ mp \ left ({\ frac {\ omega} {V}} \ right) ^ {2}} {1+ \ izquierda ({\ frac {3b \ omega} {\ pi V}} \ right) ^ {2}}} \ Phi _ {v_ {g}} (\ omega) \ end {alineado}}}$

Las especificaciones militares dan criterios basados ​​en las derivadas de la estabilidad del vehículo para determinar si los componentes de la velocidad angular de la ráfaga son significativos.

Factorización espectral

Las ráfagas generadas por el modelo de von Kármán no son un proceso de ruido blanco y, por lo tanto, pueden denominarse ruido de color . El ruido de color puede, en algunas circunstancias, generarse como la salida de un filtro lineal de fase mínima a través de un proceso conocido como factorización espectral. Considere un sistema invariante en el tiempo lineal con una entrada de ruido blanco que tiene varianza unitaria , función de transferencia G ( s ) y salida y ( t ). La densidad espectral de potencia de y ( t ) es

${\ Displaystyle \ Phi _ {y} (\ omega) = | G (i \ omega) | ^ {2}}$

donde i ² = -1. Para densidades espectrales de potencia irracionales, como la del modelo de von Kármán, se puede encontrar una función de transferencia adecuada cuya magnitud al cuadrado evaluada a lo largo del eje imaginario se aproxima a la densidad espectral de potencia. La documentación de MATLAB proporciona una realización de dicha función de transferencia para ráfagas de von Kármán que es consistente con las especificaciones militares,

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} G_ {u_ {g}} (s) & = {\ frac {\ sigma _ {u} {\ sqrt {\ frac {2L_ {u}} {\ pi V}}} \ left (1 + 0.25 {\ frac {L_ {u}} {V}} s \ right)} {1 + 1.357 {\ frac {L_ {u}} {V}} s + 0.1987 \ left ({\ frac {L_ {u}} {V}} s \ right) ^ {2}}} \\ G_ {v_ {g}} (s) & = {\ frac {\ sigma _ {v} {\ sqrt {\ frac {2L_ {v}} {\ pi V}}} \ left (1 + 2.7478 {\ frac {2L_ {v}} {V}} s + 0.3398 \ left ({\ frac {2L_ {v}} {V} } s \ right) ^ {2} \ right)} {1 + 2.9958 {\ frac {2L_ {v}} {V}} s + 1.9754 \ left ({\ frac {2L_ {v}} {V}} s \ right) ^ {2} +0.1539 \ left ({\ frac {2L_ {v}} {V}} s \ right) ^ {3}}} \\ G_ {w_ {g}} (s) & = { \ frac {\ sigma _ {w} {\ sqrt {\ frac {2L_ {w}} {\ pi V}}} \ left (1 + 2.7478 {\ frac {2L_ {w}} {V}} s + 0.3398 \ left ({\ frac {2L_ {w}} {V}} s \ right) ^ {2} \ right)} {1 + 2.9958 {\ frac {2L_ {w}} {V}} s + 1.9754 \ left ({\ frac {2L_ {w}} {V}} s \ right) ^ {2} +0.1539 \ left ({\ frac {2L_ {w}} {V}} s \ right) ^ {3}}} \\ G_ {p_ {g}} (s) & = \ sigma _ {w} {\ sqrt {\ frac {0.8} {V}}} {\ frac {\ left ({\ frac {\ pi} {4b }} \ right) ^ {\ frac {1} {6}}} {(2L_ {w}) ^ {\ frac {1} {3}} \ left (1 + {\ frac {4b} {\ pi V }} s \ right)}} \\ G_ {q_ {g}} (s) & = {\ frac {\ pm {\ frac {s} {V}}} {1 + {\ frac {4b} {\ pi V}} s}} G_ {w_ {g}} (s) \\ G_ { r_ {g}} (s) & = {\ frac {\ mp {\ frac {s} {V}}} {1 + {\ frac {3b} {\ pi V}} s}} G_ {v_ {g }} (s) \ end {alineado}}}$

La activación de estos filtros con un ruido blanco de banda limitada e independiente de varianza unitaria produce salidas con densidades espectrales de potencia que se aproximan a las densidades espectrales de potencia de los componentes de velocidad del modelo de von Kármán. Las salidas pueden, a su vez, utilizarse como entradas de perturbación del viento para aeronaves u otros sistemas dinámicos.

Dependencia de la altitud

El modelo de von Kármán está parametrizado por una escala de longitud e intensidad de turbulencia. La combinación de estos dos parámetros determina la forma de las densidades espectrales de potencia y, por lo tanto, la calidad del ajuste del modelo a los espectros de turbulencia observada. Muchas combinaciones de escala de longitud e intensidad de turbulencia dan densidades espectrales de potencia realistas en los rangos de frecuencia deseados. Las especificaciones del Departamento de Defensa incluyen opciones para ambos parámetros, incluida su dependencia de la altitud.

Ver también

• Ráfagas continuas
• Modelo Dryden de turbulencia eólica

Notas

Referencias