Ecuación de Vlasov - Vlasov equation

La ecuación de Vlasov es una ecuación diferencial que describe la evolución en el tiempo de la función de distribución del plasma que consta de partículas cargadas con interacción de largo alcance, por ejemplo, Coulomb . La ecuación fue sugerida por primera vez para la descripción del plasma por Anatoly Vlasov en 1938 y luego discutida por él en detalle en una monografía.

Dificultades del enfoque cinético estándar

Primero, Vlasov sostiene que el enfoque cinético estándar basado en la ecuación de Boltzmann tiene dificultades cuando se aplica a una descripción del plasma con interacción de Coulomb de largo alcance . Menciona los siguientes problemas que surgen al aplicar la teoría cinética basada en colisiones de pares a la dinámica del plasma:

1. La teoría de las colisiones de pares no está de acuerdo con el descubrimiento de Rayleigh , Irving Langmuir y Lewi Tonks de las vibraciones naturales en el plasma de electrones.
2. La teoría de las colisiones de pares no es aplicable formalmente a la interacción de Coulomb debido a la divergencia de los términos cinéticos.
3. La teoría de las colisiones de pares no puede explicar los experimentos de Harrison Merrill y Harold Webb sobre la dispersión anómala de electrones en el plasma gaseoso.

Vlasov sugiere que estas dificultades se originan en el carácter a largo plazo de la interacción de Coulomb. Comienza con la ecuación de Boltzmann sin colisiones (a veces llamada ecuación de Vlasov, anacrónicamente en este contexto), en coordenadas generalizadas :

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} f (\ mathbf {r}, \ mathbf {p}, t)} {\ operatorname {d} t}} = 0,}$

explícitamente un PDE :

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial f} {\ parcial t}} + {\ frac {\ nombre del operador {d} \ mathbf {r}} {\ nombre del operador {d} t}} \ cdot {\ frac {\ parcial f} {\ parcial \ mathbf {r}}} + {\ frac {\ nombre del operador {d} \ mathbf {p}} {\ nombre del operador {d} t}} \ cdot {\ frac {\ parcial f} {\ parcial \ mathbf {p}}} = 0,}$

y lo adaptó al caso de un plasma, dando lugar a los sistemas de ecuaciones que se muestran a continuación. Aquí f es una función de distribución general de partículas con momento p en las coordenadas r y un tiempo t dado . Tenga en cuenta que el término es la fuerza F que actúa sobre la partícula. ${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} \ mathbf {p}} {\ operatorname {d} t}}}$

El sistema de ecuaciones de Vlasov-Maxwell (unidades gaussianas)

En lugar de una descripción cinética basada en la colisión para la interacción de partículas cargadas en el plasma, Vlasov utiliza un campo colectivo autoconsistente creado por las partículas de plasma cargadas. Tal descripción utiliza funciones de distribución y para electrones e iones de plasma (positivos) . La función de distribución para la especie α describe el número de partículas de la especie α que tienen aproximadamente el momento cercano a la posición en el tiempo t . En lugar de la ecuación de Boltzmann, se propuso el siguiente sistema de ecuaciones para la descripción de los componentes cargados del plasma (electrones e iones positivos): ${\ Displaystyle f_ {e} (\ mathbf {r}, \ mathbf {p}, t)}$${\ Displaystyle f_ {i} (\ mathbf {r}, \ mathbf {p}, t)}$${\ Displaystyle f _ {\ alpha} (\ mathbf {r}, \ mathbf {p}, t)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$

${\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ parcial f_ {e}} {\ parcial t}} + \ mathbf {v} _ {e} \ cdot \ nabla f_ {e} & - e \ left ( \ mathbf {E} + {\ frac {\ mathbf {v_ {e}}} {c}} \ times \ mathbf {B} \ derecha) \ cdot {\ frac {\ parcial f_ {e}} {\ parcial \ mathbf {p}}} = 0 \\ {\ frac {\ parcial f_ {i}} {\ parcial t}} + \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ nabla f_ {i} & + Z_ {i } e \ left (\ mathbf {E} + {\ frac {\ mathbf {v_ {i}}} {c}} \ times \ mathbf {B} \ right) \ cdot {\ frac {\ parcial f_ {i} } {\ partial \ mathbf {p}}} = 0 \\\ nabla \ times \ mathbf {B} & = {\ frac {4 \ pi \ mathbf {j}} {c}} + {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ parcial \ mathbf {E}} {\ parcial t}} \\\ nabla \ veces \ mathbf {E} & = - {\ frac {1} {c}} {\ frac { \ parcial \ mathbf {B}} {\ parcial t}} \\\ nabla \ cdot \ mathbf {E} & = 4 \ pi \ rho \\\ nabla \ cdot \ mathbf {B} & = 0 \\\ end {alineado}}}$

${\ Displaystyle \ rho = e \ int (Z_ {i} f_ {i} -f_ {e}) d ^ {3} p, \ quad \ mathbf {j} = e \ int (Z_ {i} f_ {i } \ mathbf {v} _ {i} -f_ {e} \ mathbf {v} _ {e}) d ^ {3} p, \ quad \ mathbf {v} _ {\ alpha} = {\ frac {\ frac {\ mathbf {p}} {m _ {\ alpha}}} {\ left (1 + {\ frac {p ^ {2}} {(m _ {\ alpha} c) ^ {2}}} \ right) ^ {1/2}}}}$

Aquí e es la carga elemental ( ), c es la velocidad de la luz , m _i es la masa del ion y representan el campo electromagnético colectivo autoconsistente creado en el punto en el momento t por todas las partículas de plasma. La diferencia esencial de este sistema de ecuaciones con las ecuaciones para partículas en un campo electromagnético externo es que el campo electromagnético autoconsistente depende de manera compleja de las funciones de distribución de electrones e iones y . ${\ Displaystyle e> 0}$${\ Displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t)}$${\ Displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t)}$${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$${\ Displaystyle f_ {e} (\ mathbf {r}, \ mathbf {p}, t)}$${\ Displaystyle f_ {i} (\ mathbf {r}, \ mathbf {p}, t)}$

La ecuación de Vlasov-Poisson

Las ecuaciones de Vlasov-Poisson son una aproximación de las ecuaciones de Vlasov-Maxwell en el límite de campo magnético cero no relativista:

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial f _ {\ alpha}} {\ parcial t}} + \ mathbf {v} _ {\ alpha} \ cdot {\ frac {\ parcial f _ {\ alpha}} {\ parcial \ mathbf {x}}} + {\ frac {q _ {\ alpha} \ mathbf {E}} {m _ {\ alpha}}} \ cdot {\ frac {\ parcial f _ {\ alpha}} {\ parcial \ mathbf { v}}} = 0,}$

y la ecuación de Poisson para campo eléctrico autoconsistente:

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi + \ rho = 0.}$

Aquí q _α es la carga eléctrica de la partícula, m _α es la masa de la partícula, es el campo eléctrico autoconsistente , el potencial eléctrico autoconsistente y ρ es la densidad de carga eléctrica . ${\ Displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {x}, t)}$${\ Displaystyle \ phi (\ mathbf {x}, t)}$

Las ecuaciones de Vlasov-Poisson se utilizan para describir varios fenómenos en el plasma, en particular el amortiguamiento de Landau y las distribuciones en un plasma de doble capa , donde son necesariamente fuertemente no maxwellianas y, por lo tanto, inaccesibles para los modelos de fluidos.

Ecuaciones de momento

En descripciones fluidas de plasmas (ver modelado de plasma y magnetohidrodinámica (MHD)) no se considera la distribución de velocidades. Esto se logra reemplazando con momentos de plasma tales como densidad numérica n , velocidad de flujo u y presión p . Se denominan momentos de plasma porque el n -ésimo momento de se puede encontrar integrando la sobrevelocidad. Estas variables son solo funciones de posición y tiempo, lo que significa que se pierde parte de la información. En la teoría de multifluidos, las diferentes especies de partículas se tratan como diferentes fluidos con diferentes presiones, densidades y velocidades de flujo. Las ecuaciones que gobiernan los momentos del plasma se denominan ecuaciones de momento o de fluido. ${\ Displaystyle f (\ mathbf {r}, \ mathbf {v}, t)}$ ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle v ^ {n} f}$

A continuación se presentan las dos ecuaciones de momento más utilizadas (en unidades SI ). Derivar las ecuaciones de momento a partir de la ecuación de Vlasov no requiere suposiciones sobre la función de distribución.

Ecuación de continuidad

La ecuación de continuidad describe cómo cambia la densidad con el tiempo. Se puede encontrar mediante la integración de la ecuación de Vlasov en todo el espacio de velocidades.

${\ Displaystyle \ int {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} fd ^ {3} v = \ int \ left ({\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} f + (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla _ {r}) f + (\ mathbf {a} \ cdot \ nabla _ {v}) f \ right) d ^ {3} v = 0}$

Después de algunos cálculos, uno termina con

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} n + \ nabla \ cdot (n \ mathbf {u}) = 0.}$

La densidad numérica n y la densidad de momento n u son momentos cero y de primer orden:

${\ Displaystyle n = \ int fd ^ {3} v}$

${\ Displaystyle n \ mathbf {u} = \ int \ mathbf {v} fd ^ {3} v}$

Ecuación de momento

La tasa de cambio del momento de una partícula viene dada por la ecuación de Lorentz:

${\ Displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}) }$

Al usar esta ecuación y la ecuación de Vlasov, la ecuación de momento para cada fluido se convierte en

${\ Displaystyle mn {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} \ mathbf {u} = - \ nabla \ cdot {\ mathcal {P}} + qn \ mathbf {E} + qn \ mathbf {u} \ times \ mathbf {B}}$,

donde está el tensor de presión. El derivado material es ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} = {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla.}$

El tensor de presión se define como la masa de la partícula multiplicada por la matriz de covarianza de la velocidad:

${\ Displaystyle p_ {ij} = m \ int (v_ {i} -u_ {i}) (v_ {j} -u_ {j}) fd ^ {3} v.}$

La aproximación congelada

En cuanto al MHD ideal , se puede considerar que el plasma está ligado a las líneas del campo magnético cuando se cumplen ciertas condiciones. A menudo se dice que las líneas del campo magnético se congelan en el plasma. Las condiciones de congelación se pueden derivar de la ecuación de Vlasov.

Introducimos las escalas T, L y V para tiempo, distancia y velocidad respectivamente. Representan magnitudes de los diferentes parámetros que dan grandes cambios en . Por grande queremos decir que ${\ Displaystyle f}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial f} {\ parcial t}} T \ sim f \ quad \ left | {\ frac {\ parcial f} {\ parcial \ mathbf {r}}} \ right | L \ sim f \ quad \ left | {\ frac {\ parcial f} {\ parcial \ mathbf {v}}} \ right | V \ sim f.}$

Luego escribimos

${\ Displaystyle t ^ {\ prime} = {\ frac {t} {T}} \ quad \ mathbf {r} ^ {\ prime} = {\ frac {\ mathbf {r}} {L}} \ quad \ mathbf {v} ^ {\ prime} = {\ frac {\ mathbf {v}} {V}}.}$

La ecuación de Vlasov ahora se puede escribir

${\ Displaystyle {\ frac {1} {T}} {\ frac {\ parcial f} {\ parcial t ^ {\ prime}}} + {\ frac {V} {L}} \ mathbf {v} ^ { \ prime} \ cdot {\ frac {\ parcial f} {\ parcial \ mathbf {r} ^ {\ prime}}} + {\ frac {q} {mV}} (\ mathbf {E} + V \ mathbf { v} ^ {\ prime} \ times \ mathbf {B}) \ cdot {\ frac {\ parcial f} {\ parcial \ mathbf {v} ^ {\ prime}}} = 0.}$

Hasta ahora no se han realizado aproximaciones. Para poder continuar, establecemos , donde es la frecuencia del giróscopo y R es el radio del giro . Al dividir por ω _g , obtenemos ${\ Displaystyle V = R \ omega _ {g}}$${\ Displaystyle \ omega _ {g} = qB / m}$

${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ omega _ {g} T}} {\ frac {\ parcial f} {\ parcial t ^ {\ prime}}} + {\ frac {R} {L}} \ mathbf {v} ^ {\ prime} \ cdot {\ frac {\ parcial f} {\ parcial \ mathbf {r} ^ {\ prime}}} + \ left ({\ frac {\ mathbf {E}} {VB }} + \ mathbf {v} ^ {\ prime} \ times {\ frac {\ mathbf {B}} {B}} \ right) \ cdot {\ frac {\ parcial f} {\ parcial \ mathbf {v} ^ {\ prime}}} = 0}$

Si y , los dos primeros términos serán mucho menores que desde y debido a las definiciones de T, L y V anteriores. Dado que el último término es del orden de , podemos descuidar los dos primeros términos y escribir ${\ Displaystyle 1 / \ omega _ {g} \ ll T}$${\ Displaystyle R \ ll L}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ parcial f / \ parcial t ^ {\ prime} \ sim f, v ^ {\ prime} \ lesssim 1}$${\ Displaystyle \ parcial f / \ parcial \ mathbf {r} ^ {\ prime} \ sim f}$${\ Displaystyle f}$

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {\ mathbf {E}} {VB}} + \ mathbf {v} ^ {\ prime} \ times {\ frac {\ mathbf {B}} {B}} \ right) \ cdot {\ frac {\ parcial f} {\ parcial \ mathbf {v} ^ {\ prime}}} \ approx 0 \ Rightarrow (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}) \ cdot {\ frac {\ parcial f} {\ parcial \ mathbf {v}}} \ approx 0}$

Esta ecuación se puede descomponer en un campo alineado y una parte perpendicular:

${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {\ |} {\ frac {\ parcial f} {\ parcial \ mathbf {v} _ {\ |}}} + (\ mathbf {E} _ {\ perp} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}) \ cdot {\ frac {\ parcial f} {\ parcial \ mathbf {v} _ {\ perp}}} \ approx 0}$

El siguiente paso es escribir , donde ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ {0} + \ Delta \ mathbf {v}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {0} \ times \ mathbf {B} = - \ mathbf {E} _ {\ perp}}$

Pronto quedará claro por qué se hace esto. Con esta sustitución, obtenemos

${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {\ |} {\ frac {\ parcial f} {\ parcial \ mathbf {v} _ {\ |}}} + (\ Delta \ mathbf {v} _ {\ perp} \ veces \ mathbf {B}) \ cdot {\ frac {\ parcial f} {\ parcial \ mathbf {v} _ {\ perp}}} \ approx 0}$

Si el campo eléctrico paralelo es pequeño,

${\ Displaystyle (\ Delta \ mathbf {v} _ {\ perp} \ times \ mathbf {B}) \ cdot {\ frac {\ parcial f} {\ parcial \ mathbf {v} _ {\ perp}}} \ aproximadamente 0}$

Esta ecuación significa que la distribución es girotrópica. La velocidad media de una distribución girotrópica es cero. Por tanto, es idéntica a la velocidad media, u , y tenemos ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {0}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {E} + \ mathbf {u} \ times \ mathbf {B} \ approx 0}$

En resumen, el período del giro y el radio del giro deben ser mucho más pequeños que los tiempos y longitudes típicos que producen grandes cambios en la función de distribución. El radio del giróscopo a menudo se estima reemplazando V con la velocidad térmica o la velocidad de Alfvén . En el último caso, a menudo se le llama longitud inercial a R. Las condiciones de congelación deben evaluarse para cada especie de partícula por separado. Debido a que los electrones tienen un período de giro y un radio de giro mucho más pequeños que los iones, las condiciones de congelación se satisfarán con mayor frecuencia.

Ver también

• Lista de artículos de física del plasma
• Ecuación de Fokker-Planck

Referencias

Otras lecturas

• Vlasov, AA (1961). "Teoría de muchas partículas y su aplicación al plasma". Nueva York . Bibcode : 1961temc.book ..... V .