Agujero negro virtual - Virtual black hole

donde está el

${\ Displaystyle G _ {\ mu \ nu} = R _ {\ mu \ nu} - {R \ over 2} g _ {\ mu \ nu}}$

${\ Displaystyle \ Lambda}$

${\ Displaystyle T _ {\ mu \ nu}}$

${\ Displaystyle \ pi}$

${\ Displaystyle c}$

${\ Displaystyle G}$

Einstein sugirió que el espacio físico es riemanniano, es decir, curvo y, por lo tanto, puso la geometría riemanniana en la base de la teoría de la gravedad. Una pequeña región del espacio riemanniano está cerca del espacio plano.

Para cualquier campo tensorial , podemos llamar densidad de tensor, donde es el

${\ Displaystyle N _ {\ mu \ nu ...}}$

${\ Displaystyle N _ {\ mu \ nu ...} {\ sqrt {-g}}}$

${\ Displaystyle g}$

${\ Displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$

${\ Displaystyle \ int N _ {\ mu \ nu ...} {\ sqrt {-g}} \, d ^ {4} x}$

${\ Displaystyle S ^ {\ nu}}$

Por lo tanto, las ecuaciones de Einstein para el dominio del espacio-tiempo pequeño pueden integrarse mediante la hipersuperficie tridimensional . Tengo ${\ Displaystyle S ^ {\ nu}}$

${\ Displaystyle {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int \ left (G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} \ right) {\ sqrt {-g}} \, dS ^ {\ nu} = {2G \ sobre c ^ {4}} \ int T _ {\ mu \ nu} {\ sqrt {-g}} \, dS ^ {\ nu}}$

Dado que el dominio del espacio-tiempo integrable es pequeño, obtenemos la ecuación del tensor

donde es el componente del

${\ Displaystyle P _ {\ mu} = {\ frac {1} {c}} \ int T _ {\ mu \ nu} {\ sqrt {-g}} \, dS ^ {\ nu}}$

${\ Displaystyle R _ {\ mu} = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int \ left (G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} \ right) {\ sqrt { -g}} \, dS ^ {\ nu}}$

La ecuación tensorial resultante se puede reescribir en otra forma. Desde entonces ${\ Displaystyle P _ {\ mu} = mc \, U _ {\ mu}}$

${\ Displaystyle R _ {\ mu} = {\ frac {2G} {c ^ {3}}} mc \, U _ {\ mu} = r_ {s} \, U _ {\ mu}}$

donde es el

${\ Displaystyle r_ {s}}$

${\ Displaystyle U _ {\ mu}}$

${\ Displaystyle m}$

${\ Displaystyle R _ {\ mu}}$

${\ Displaystyle r_ {s}}$

En un área pequeña del espacio-tiempo es casi plano y esta ecuación se puede escribir en forma de operador

${\ Displaystyle {\ hat {R}} _ {\ mu} = {\ frac {2G} {c ^ {3}}} {\ hat {P}} _ {\ mu} = {\ frac {2G} { c ^ {3}}} (- i \ hbar) {\ frac {\ parcial} {\ parcial \, x ^ {\ mu}}} = - 2i \, \ ell _ {P} ^ {2} {\ frac {\ parcial} {\ parcial \, x ^ {\ mu}}}}$

o

Entonces el conmutador de operadores y es ${\ Displaystyle {\ hat {R}} _ {\ mu}}$${\ Displaystyle {\ hat {x}} _ {\ mu}}$

${\ Displaystyle [{\ hat {R}} _ {\ mu}, {\ hat {x}} _ {\ mu}] = - 2i \ ell _ {P} ^ {2}}$

A partir de aquí, siga las relaciones de incertidumbre especificadas.

Sustituyendo los valores de y y reduciendo constantes idénticas de dos lados, obtenemos el principio de

${\ Displaystyle R _ {\ mu} = {\ frac {2G} {c ^ {3}}} m \, c \, U _ {\ mu}}$

${\ Displaystyle \ ell _ {P} ^ {2} = {\ frac {\ hbar \, G} {c ^ {3}}}}$

${\ Displaystyle \ Delta P _ {\ mu} \ Delta x _ {\ mu} = \ Delta (mc \, U _ {\ mu}) \ Delta x _ {\ mu} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}} }$

En el caso particular de un campo simétrico esférico estático y distribución estática de materia y se han mantenido ${\ Displaystyle U_ {0} = 1, U_ {i} = 0 \, (i = 1,2,3)}$

${\ Displaystyle \ Delta R_ {0} \ Delta x_ {0} = \ Delta r_ {s} \ Delta r \ geq \ ell _ {P} ^ {2}}$

donde es el

${\ Displaystyle r_ {s}}$

${\ Displaystyle r}$

${\ Displaystyle R_ {0} = r_ {s}}$

${\ Displaystyle x_ {0} = c \, t = r}$

La última relación de incertidumbre nos permite realizar algunas estimaciones de las ecuaciones de la relatividad general en la escala de Planck . Por ejemplo, la ecuación para el intervalo invariante в en la

${\ displaystyle dS}$

${\ Displaystyle dS ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {r_ {s}} {r}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2} - {\ frac {dr ^ {2} } {1- {r_ {s}} / {r}}} - r ^ {2} (d \ Omega ^ {2} + \ sin ^ {2} \ Omega d \ varphi ^ {2})}$

Sustituir según las relaciones de incertidumbre . Obtenemos ${\ Displaystyle r_ {s} \ approx \ ell _ {P} ^ {2} / r}$

${\ Displaystyle dS ^ {2} \ approx \ left (1 - {\ frac {\ ell _ {P} ^ {2}} {r ^ {2}}} \ right) c ^ {2} dt ^ {2 } - {\ frac {dr ^ {2}} {1 - {\ ell _ {P} ^ {2}} / {r ^ {2}}}} - r ^ {2} (d \ Omega ^ {2 } + \ sin ^ {2} \ Omega d \ varphi ^ {2})}$

Se ve que en la escala de Planck, la métrica del espacio-tiempo está limitada por la

${\ Displaystyle r = \ ell _ {P}}$

Se pueden hacer estimaciones similares en otras ecuaciones de la relatividad general . Por ejemplo, el análisis de la ecuación de Hamilton-Jacobi para un campo gravitacional simétrico centralmente en espacios de diferentes dimensiones (con la ayuda de la relación de incertidumbre resultante) indica una preferencia por el espacio tridimensional para la aparición de agujeros negros virtuales ( espuma cuántica , la base del "tejido" del Universo.). Esto puede haber predeterminado la tridimensionalidad del espacio observado.

La relación de incertidumbre prescrita anteriormente es válida para campos gravitacionales fuertes, ya que en cualquier dominio suficientemente pequeño de un campo fuerte, el espacio-tiempo es esencialmente plano.