Vibración de cuerdas - String vibration

Una vibración en una cuerda es una onda . La resonancia hace que una cuerda vibrante produzca un sonido con frecuencia constante , es decir, tono constante . Si la longitud o tensión de la cuerda se ajusta correctamente, el sonido que se produce es un tono musical . Las cuerdas vibrantes son la base de instrumentos de cuerda como guitarras , violonchelos y pianos .

Onda

La velocidad de propagación de una onda en una cuerda ( ) es proporcional a la raíz cuadrada de la fuerza de tensión de la cuerda ( ) e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la densidad lineal ( ) de la cuerda: ${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle \ mu}$

${\ Displaystyle v = {\ sqrt {T \ over \ mu}}.}$

Vincenzo Galilei descubrió esta relación a finales del siglo XVI.

Derivación

Fuente:

Sea la longitud de un trozo de cuerda, su masa y su densidad lineal . Si los ángulos y son pequeños, entonces las componentes horizontales de la tensión en cada lado se pueden aproximar por una constante , para la cual la fuerza horizontal neta es cero. En consecuencia, utilizando la aproximación de ángulo pequeño, las tensiones horizontales que actúan en ambos lados del segmento de cuerda están dadas por ${\ Displaystyle \ Delta x}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle T}$

${\ Displaystyle T_ {1x} = T_ {1} \ cos (\ alpha) \ approx T.}$

${\ Displaystyle T_ {2x} = T_ {2} \ cos (\ beta) \ approx T.}$

De la segunda ley de Newton para el componente vertical, la masa (que es el producto de su densidad lineal y longitud) de esta pieza por su aceleración , será igual a la fuerza neta sobre la pieza: ${\ Displaystyle a}$

${\ Displaystyle \ Sigma F_ {y} = T_ {1y} -T_ {2y} = - T_ {2} \ sin (\ beta) + T_ {1} \ sin (\ alpha) = \ Delta ma \ approx \ mu \ Delta x {\ frac {\ parcial ^ {2} y} {\ parcial t ^ {2}}}.}$

Dividiendo esta expresión y sustituyendo la primera y la segunda ecuación se obtiene (podemos elegir la primera o la segunda ecuación para , por lo que convenientemente elegimos cada una con el ángulo correspondiente y ) ${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle - {\ frac {T_ {2} \ sin (\ beta)} {T_ {2} \ cos (\ beta)}} + {\ frac {T_ {1} \ sin (\ alpha)} {T_ {1} \ cos (\ alpha)}} = - \ tan (\ beta) + \ tan (\ alpha) = {\ frac {\ mu \ Delta x} {T}} {\ frac {\ parcial ^ {2 } y} {\ t parcial ^ {2}}}.}$

De acuerdo con la aproximación de ángulo pequeño, las tangentes de los ángulos en los extremos de la cuerda son iguales a las pendientes en los extremos, con un signo menos adicional debido a la definición de y . Usar este hecho y reorganizar proporciona ${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ beta}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ Delta x}} \ left (\ left. {\ frac {\ parcial y} {\ parcial x}} \ right | ^ {x + \ Delta x} - \ left. { \ frac {\ y parcial} {\ parcial x}} \ derecha | ^ {x} \ derecha) = {\ frac {\ mu} {T}} {\ frac {\ parcial ^ {2} y} {\ parcial t ^ {2}}}.}$

En el límite que se aproxima a cero, el lado izquierdo es la definición de la segunda derivada de : ${\ Displaystyle \ Delta x}$${\ Displaystyle y}$

${\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial ^ {2} y} {\ parcial x ^ {2}}} = {\ frac {\ mu} {T}} {\ frac {\ parcial ^ {2} y} { \ parcial t ^ {2}}}.}$

Esta es la ecuación de onda para , y el coeficiente del segundo término derivado en el tiempo es igual a ; por lo tanto ${\ Displaystyle y (x, t)}$${\ Displaystyle {\ frac {1} {v ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle v = {\ sqrt {T \ over \ mu}},}$

¿Dónde está la velocidad de propagación de la onda en la cuerda (consulte el artículo sobre la ecuación de onda para obtener más información sobre esto). Sin embargo, esta derivación solo es válida para vibraciones de pequeña amplitud; para los de gran amplitud, no es una buena aproximación para la longitud de la cuerda, la componente horizontal de tensión no es necesariamente constante. Las tensiones horizontales no están bien aproximadas por . ${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle \ Delta x}$${\ Displaystyle T}$

Frecuencia de la onda

Una vez que se conoce la velocidad de propagación, se puede calcular la frecuencia del sonido producido por la cuerda. La velocidad de propagación de una onda es igual a la longitud de onda dividida por el período o multiplicada por la frecuencia :${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ tau}$ ${\ Displaystyle f}$

${\ Displaystyle v = {\ frac {\ lambda} {\ tau}} = \ lambda f.}$

Si la longitud de la cuerda es , el armónico fundamental es el producido por la vibración cuyos nodos son los dos extremos de la cuerda, entonces es la mitad de la longitud de onda del armónico fundamental. De ahí se obtienen las leyes de Mersenne : ${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle L}$

${\ Displaystyle f = {\ frac {v} {2L}} = {1 \ over 2L} {\ sqrt {T \ over \ mu}}}$

donde es la tensión (en Newtons), es la densidad lineal (es decir, la masa por unidad de longitud) y es la longitud de la parte vibrante de la cuerda. Por lo tanto: ${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle L}$

• Cuanto más corta sea la cuerda, mayor será la frecuencia de la fundamental
• cuanto mayor es la tensión, mayor es la frecuencia de la fundamental
• Cuanto más ligera es la cuerda, mayor es la frecuencia de la fundamental

Además, si consideramos que el n-ésimo armónico tiene una longitud de onda dada por , entonces obtenemos fácilmente una expresión para la frecuencia del n-ésimo armónico: ${\ Displaystyle \ lambda _ {n} = 2L / n}$

${\ Displaystyle f_ {n} = {\ frac {nv} {2L}}}$

Y para una cuerda bajo una tensión T con densidad lineal , entonces ${\ Displaystyle \ mu}$

${\ Displaystyle f_ {n} = {\ frac {n} {2L}} {\ sqrt {\ frac {T} {\ mu}}}}$

Observando las vibraciones de las cuerdas

Uno puede ver las formas de onda en una cuerda vibrante si la frecuencia es lo suficientemente baja y la cuerda vibrante se sostiene frente a una pantalla CRT como una de un televisor o una computadora ( no de un osciloscopio analógico). Este efecto se llama efecto estroboscópico , y la velocidad a la que la cuerda parece vibrar es la diferencia entre la frecuencia de la cuerda y la frecuencia de actualización de la pantalla. Lo mismo puede suceder con una lámpara fluorescente , a una tasa que es la diferencia entre la frecuencia de la cuerda y la frecuencia de la corriente alterna . (Si la frecuencia de actualización de la pantalla es igual a la frecuencia de la cuerda o un múltiplo entero de la misma, la cuerda aparecerá inmóvil pero deformada). A la luz del día y otras fuentes de luz no oscilantes, este efecto no ocurre y la cuerda parece inmóvil pero más espesa y más clara o borrosa, debido a la persistencia de la visión .

Se puede obtener un efecto similar pero más controlable utilizando un estroboscopio . Este dispositivo permite hacer coincidir la frecuencia de la lámpara de flash de xenón con la frecuencia de vibración de la cuerda. En una habitación oscura, esto muestra claramente la forma de onda. De lo contrario, se puede usar la flexión o, quizás más fácilmente, ajustando los cabezales de la máquina, para obtener la misma frecuencia de CA, o un múltiplo, para lograr el mismo efecto. Por ejemplo, en el caso de una guitarra, la sexta cuerda (con el tono más bajo) presionada en el tercer traste da un G a 97,999 Hz. Un ligero ajuste puede alterarlo a 100 Hz, exactamente una octava por encima de la frecuencia de corriente alterna en Europa y la mayoría de los países de África y Asia, 50 Hz. En la mayoría de los países de América, donde la frecuencia de CA es de 60 Hz, la alteración de A # en la quinta cuerda, el primer traste de 116,54 Hz a 120 Hz produce un efecto similar.

Ejemplo del mundo real

De A Wikipedia usuario Jackson guitarra eléctrica Profesional Solista XL tiene una tuerca -a-- puente distancia (correspondiente a arriba) de 25 5 / 8 pulg. Y D'Addario XL de níquel-herida súper ligero de calibre-EXL 120 cuerdas de guitarra eléctrica con el siguientes especificaciones del fabricante: ${\ Displaystyle L}$

Especificaciones del fabricante D'Addario EXL-120

Cadena no.	Espesor [pulg.] ( )${\ Displaystyle d}$	Tensión recomendada [lbs.] ( )${\ Displaystyle T}$	${\ Displaystyle \ rho}$[g / cm 3 ]
1	0,00899	13,1	7.726 (aleación de acero)
2	0.0110	11,0	"
3	0.0160	14,7	"
4	0.0241	15,8	6.533 (aleación de acero bobinado con níquel)
5	0.0322	15,8	"
6	0.0416	14,8	"

Dadas las especificaciones anteriores, ¿cuáles serían las frecuencias vibratorias calculadas ( ) de los armónicos fundamentales de las cuerdas anteriores si las cuerdas estuvieran ensartadas a las tensiones recomendadas por el fabricante? ${\ Displaystyle f}$

Para responder a esto, podemos comenzar con la fórmula del apartado anterior, con : ${\ Displaystyle n = 1}$

${\ Displaystyle f = {\ frac {1} {2L}} {\ sqrt {\ frac {T} {\ mu}}}}$

La densidad lineal se puede expresar en términos de densidad espacial (masa / volumen) a través de la relación , donde es el radio de la cuerda y es el diámetro (también conocido como espesor) en la tabla de arriba: ${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle \ mu = \ pi r ^ {2} \ rho = \ pi d ^ {2} \ rho / 4}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle d}$

${\ Displaystyle f = {\ frac {1} {2L}} {\ sqrt {\ frac {T} {\ pi d ^ {2} \ rho / 4}}} = {\ frac {1} {2Ld}} {\ sqrt {\ frac {4T} {\ pi \ rho}}} = {\ frac {1} {Ld}} {\ sqrt {\ frac {T} {\ pi \ rho}}}}$

Para fines de cálculo, podemos sustituir la tensión anterior, mediante la segunda ley de Newton (Fuerza = masa × aceleración), la expresión , donde es la masa que, en la superficie de la Tierra, tendría el peso equivalente correspondiente a los valores de tensión en la tabla de arriba, en relación con la aceleración estándar debida a la gravedad en la superficie de la Tierra, cm / s ² . (Esta sustitución es conveniente aquí, ya que las tensiones de las cuerdas proporcionadas por el fabricante anterior están en libras de fuerza , que se pueden convertir más convenientemente a masas equivalentes en kilogramos mediante el factor de conversión familiar 1 lb. = 453,59237 g.) La fórmula anterior entonces explícitamente se convierte en: ${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle T = ma}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle T}$${\ displaystyle g_ {0} = 980.665}$

${\ Displaystyle f _ {\ mathrm {Hz}} = {\ frac {1} {L _ {\ mathrm {in}} \ times 2.54 \ \ mathrm {cm / in} \ times d _ {\ mathrm {in}} \ times 2.54 \ \ mathrm {cm / in}}} {\ sqrt {\ frac {T _ {\ mathrm {lb}} \ times 453.59237 \ \ mathrm {g / lb} \ times 980.665 \ \ mathrm {cm / s ^ {2 " }}} {\ pi \ times \ rho _ {\ mathrm {g / cm ^ {3}}}}}}}$

Usando esta fórmula para calcular la cadena no. 1 anterior rinde: ${\ Displaystyle f}$

${\ displaystyle f_ {1} = {\ frac {1} {25.625 \ \ mathrm {in} \ times 2.54 \ \ mathrm {cm / in} \ times 0.00899 \ \ mathrm {in} \ times 2.54 \ \ mathrm {cm / in}}} {\ sqrt {\ frac {13.1 \ \ mathrm {lb} \ times 453.59237 \ \ mathrm {g / lb} \ times 980.665 \ \ mathrm {cm / s ^ {2}}} {\ pi \ veces 7.726 \ \ mathrm {g / cm ^ {3}}}}} \ approx 330 \ \ mathrm {Hz}}$

La repetición de este cálculo para las seis cadenas da como resultado las siguientes frecuencias. Junto a cada frecuencia se muestra la nota musical (en notación científica de tono ) en la afinación de guitarra estándar cuya frecuencia es la más cercana, lo que confirma que ensartar las cuerdas anteriores con las tensiones recomendadas por el fabricante da como resultado los tonos estándar de una guitarra:

Armónicos fundamentales calculados por las fórmulas de vibración de cuerdas anteriores

Cadena no.	Frecuencia calculada [Hz]	Nota más cercana en la afinación A440 12-TET
1	330	E 4 (= 440 ÷ 2 5/12 ≈ 329,628 Hz)
2	247	B 3 (= 440 ÷ 2 10/12 ≈ 246,942 Hz)
3	196	G 3 (= 440 ÷ 2 14/12 ≈ 195,998 Hz)
4	147	D 3 (= 440 ÷ 2 19/12 ≈ 146,832 Hz)
5	110	A 2 (= 440 ÷ 2 24/12 = 110 Hz)
6	82,4	E 2 (= 440 ÷ 2 29/12 ≈ 82,407 Hz)

Ver también

• Instrumentos con trastes
• Acústica musical
• Vibraciones de un tambor circular
• El experimento de Melde
• 3er puente (resonancia armónica basada en divisiones de cuerdas iguales)
• Resonancia de cuerdas
• Cambio de fase de reflexión

Referencias

• Molteno, TCA; NB Tufillaro (septiembre de 2004). "Una investigación experimental sobre la dinámica de una cuerda". Revista estadounidense de física . 72 (9): 1157-1169. Código Bibliográfico : 2004AmJPh..72.1157M . doi : 10.1119 / 1.1764557 .
• Tufillaro, NB (1989). "Vibraciones de cuerdas caóticas y no lineales". Revista estadounidense de física . 57 (5): 408. Código Bibliográfico : 1989AmJPh..57..408T . doi : 10.1119 / 1.16011 .

Específico

enlaces externos

• " La cuerda vibrante " de Alain Goriely y Mark Robertson-Tessi, Proyecto de demostraciones de Wolfram .