Universalidad (sistemas dinámicos) - Universality (dynamical systems)
En mecánica estadística , la universalidad es la observación de que existen propiedades para una gran clase de sistemas que son independientes de los detalles dinámicos del sistema. Los sistemas muestran universalidad en un límite de escala, cuando se unen una gran cantidad de partes que interactúan. El significado moderno del término fue introducido por Leo Kadanoff en la década de 1960, pero una versión más simple del concepto ya estaba implícita en la ecuación de van der Waals y en la teoría anterior de las transiciones de fase de Landau , que no incorporaba la escala correctamente.
El término está ganando poco a poco un uso más amplio en varios campos de las matemáticas, incluida la combinatoria y la teoría de la probabilidad , siempre que las características cuantitativas de una estructura (como el comportamiento asintótico) puedan deducirse de unos pocos parámetros globales que aparecen en la definición, sin requerir conocimiento de los detalles del sistema.
El grupo de renormalización proporciona una explicación de la universalidad intuitivamente atractiva, aunque matemáticamente no rigurosa. Clasifica a los operadores en una teoría de campo estadístico en relevantes e irrelevantes. Los operadores relevantes son los responsables de las perturbaciones a la energía libre, el tiempo imaginario lagrangiano , que afectarán al límite del continuo , y que se pueden ver a grandes distancias. Los operadores irrelevantes son aquellos que solo cambian los detalles de corta distancia. La colección de teorías estadísticas invariantes de escala define las clases de universalidad , y la lista de coeficientes de dimensiones finitas de los operadores relevantes parametriza el comportamiento casi crítico.
Universalidad en mecánica estadística
La noción de universalidad se originó en el estudio de las transiciones de fase en la mecánica estadística. Una transición de fase ocurre cuando un material cambia sus propiedades de manera dramática: el agua, al calentarse, hierve y se convierte en vapor; o un imán, cuando se calienta, pierde su magnetismo. Las transiciones de fase se caracterizan por un parámetro de orden , como la densidad o la magnetización, que cambia en función de un parámetro del sistema, como la temperatura. El valor especial del parámetro en el que el sistema cambia de fase es el punto crítico del sistema . Para los sistemas que exhiben universalidad, cuanto más cerca está el parámetro de su valor crítico , menos sensiblemente el parámetro de orden depende de los detalles del sistema.
Si el parámetro β es crítico en el valor β c , entonces el parámetro de orden a estará bien aproximado por
El exponente α es un exponente crítico del sistema. El notable descubrimiento realizado en la segunda mitad del siglo XX fue que sistemas muy diferentes tenían los mismos exponentes críticos.
En 1975, Mitchell Feigenbaum descubrió la universalidad en mapas iterados.
Ejemplos de
La universalidad recibe su nombre porque se ve en una gran variedad de sistemas físicos. Los ejemplos de universalidad incluyen:
- Avalanchas en montones de arena. La probabilidad de una avalancha está en proporción a la ley de potencia con el tamaño de la avalancha, y se observa que las avalanchas ocurren en todas las escalas de tamaño. Esto se denomina " criticidad autoorganizada ".
- La formación y propagación de grietas y desgarros en materiales que van desde el acero hasta la roca y el papel. Las variaciones de la dirección del desgarro, o la rugosidad de una superficie fracturada, son proporcionales a la ley de potencias a la escala de tamaño.
- La avería eléctrica de los dieléctricos , que se asemejan a grietas y roturas.
- La filtración de fluidos a través de medios desordenados, como el petróleo a través de lechos de rocas fracturadas, o el agua a través de papel de filtro, como en la cromatografía . La escala de la ley de potencias conecta la tasa de flujo con la distribución de fracturas.
- La difusión de moléculas en solución y el fenómeno de agregación limitada por difusión .
- La distribución de rocas de diferentes tamaños en una mezcla agregada que se está sacudiendo (con la gravedad actuando sobre las rocas).
- La aparición de opalescencia crítica en fluidos cercanos a una transición de fase .
Resumen teórico
Uno de los avances importantes en la ciencia de los materiales en las décadas de 1970 y 1980 fue la comprensión de que la teoría de campos estadísticos, similar a la teoría cuántica de campos, podría usarse para proporcionar una teoría microscópica de la universalidad. La observación central fue que, para todos los diferentes sistemas, el comportamiento en una transición de fase se describe mediante un campo continuo, y que la misma teoría de campos estadísticos describirá diferentes sistemas. Los exponentes de escala en todos estos sistemas pueden derivarse únicamente de la teoría de campo y se conocen como exponentes críticos .
La observación clave es que cerca de una transición de fase o un punto crítico , las perturbaciones ocurren en todas las escalas de tamaño y, por lo tanto, uno debe buscar una teoría explícitamente invariante de escala para describir los fenómenos, como parece haber sido puesto en un marco teórico formal primero por Pokrovsky y Patashinsky en 1965. La universalidad es un subproducto del hecho de que hay relativamente pocas teorías invariantes de escala. Para cualquier sistema físico específico, la descripción detallada puede tener muchos parámetros y aspectos dependientes de la escala. Sin embargo, a medida que se acerca la transición de fase, los parámetros dependientes de la escala juegan un papel cada vez menos importante, y dominan las partes invariantes de escala de la descripción física. Por lo tanto, se puede utilizar un modelo simplificado y, a menudo , con una solución exacta , para aproximar el comportamiento de estos sistemas cerca del punto crítico.
La filtración puede ser modelada por una red de resistencias eléctricas al azar , con electricidad fluyendo de un lado de la red al otro. La resistencia general de la red se ve descrita por la conectividad promedio de las resistencias en la red.
La formación de roturas y grietas puede modelarse mediante una red aleatoria de fusibles eléctricos . A medida que aumenta el flujo de corriente eléctrica a través de la red, algunos fusibles pueden explotar, pero en general, la corriente se desvía alrededor de las áreas problemáticas y se distribuye uniformemente. Sin embargo, en un cierto punto (en la transición de fase) puede ocurrir una falla en cascada , donde el exceso de corriente de un fusible reventado sobrecarga el siguiente fusible sucesivamente, hasta que los dos lados de la red estén completamente desconectados y no fluya más corriente.
Para realizar el análisis de tales sistemas de redes aleatorias, se considera el espacio estocástico de todas las redes posibles (es decir, el conjunto canónico ) y se realiza una suma (integración) sobre todas las configuraciones de red posibles. Como en la discusión anterior, se entiende que cada configuración aleatoria dada se extrae del conjunto de todas las configuraciones con alguna distribución de probabilidad dada; el papel de la temperatura en la distribución suele sustituirse por la conectividad media de la red.
Los valores esperados de los operadores, como la tasa de flujo, la capacidad calorífica , etc., se obtienen integrando todas las configuraciones posibles. Este acto de integración sobre todas las configuraciones posibles es el punto de concordancia entre los sistemas de la mecánica estadística y la teoría cuántica de campos . En particular, el lenguaje del grupo de renormalización puede aplicarse a la discusión de los modelos de red aleatorios. En las décadas de 1990 y 2000, se descubrieron conexiones más fuertes entre los modelos estadísticos y la teoría de campo conforme . El estudio de la universalidad sigue siendo un área vital de investigación.
Aplicaciones a otros campos
Al igual que otros conceptos de la mecánica estadística (como la entropía y las ecuaciones maestras ), la universalidad ha demostrado ser una construcción útil para caracterizar sistemas distribuidos a un nivel superior, como los sistemas multiagente . El término se ha aplicado a simulaciones de múltiples agentes, donde el comportamiento a nivel de sistema exhibido por el sistema es independiente del grado de complejidad de los agentes individuales, siendo impulsado casi en su totalidad por la naturaleza de las restricciones que gobiernan sus interacciones. En dinámica de redes, la universalidad se refiere al hecho de que a pesar de la diversidad de modelos dinámicos no lineales, que difieren en muchos detalles, el comportamiento observado de muchos sistemas diferentes se adhiere a un conjunto de leyes universales. Estas leyes son independientes de los detalles específicos de cada sistema.