Teorema de uniformización - Uniformization theorem
En matemáticas, el teorema de la uniformización dice que cada superficie de Riemann simplemente conectada es conforme a una de las tres superficies de Riemann: el disco unitario abierto , el plano complejo o la esfera de Riemann . En particular, implica que cada superficie de Riemann admite una métrica de Riemann de curvatura constante . Para las superficies compactas de Riemann, las que tienen cubierta universal el disco unitario son precisamente las superficies hiperbólicas de género mayor que 1, todas con grupo fundamental no abeliano; aquellos con cobertura universal del plano complejo son las superficies de Riemann del género 1, es decir, los toros complejos o curvas elípticas con grupo fundamental Z 2 ; y los que tienen cobertura universal la esfera de Riemann son los del género cero, es decir, la propia esfera de Riemann, con grupo fundamental trivial.
El teorema de uniformización es una generalización del teorema de mapeo de Riemann desde subconjuntos abiertos del plano adecuados simplemente conectados a superficies de Riemann arbitrarias simplemente conectadas. El teorema de uniformización también tiene un enunciado equivalente en términos de 2-variedades cerradas de Riemann: cada una de estas variedades tiene una métrica de Riemannian conformemente equivalente con curvatura constante.
Muchas demostraciones clásicas del teorema de uniformización se basan en la construcción de una función armónica de valor real en la superficie de Riemann simplemente conectada, posiblemente con una singularidad en uno o dos puntos y que a menudo corresponde a una forma de la función de Green . Se emplean ampliamente cuatro métodos para construir la función armónica: el método Perron ; el método alterno de Schwarz ; Principio de Dirichlet ; y el método de Weyl de proyección ortogonal. En el contexto de dos variedades cerradas de Riemann, varias demostraciones modernas invocan ecuaciones diferenciales no lineales en el espacio de métricas equivalentes conforme. Estos incluyen la ecuación de Beltrami de la teoría de Teichmüller y una formulación equivalente en términos de mapas armónicos ; La ecuación de Liouville , ya estudiada por Poincaré; y Ricci fluyen junto con otros flujos no lineales.
Historia
Felix Klein ( 1883 ) y Henri Poincaré ( 1882 ) conjeturaron el teorema de uniformización para (las superficies de Riemann de) curvas algebraicas. Henri Poincaré ( 1883 ) extendió esto a funciones analíticas arbitrarias de múltiples valores y dio argumentos informales a su favor. Poincaré ( 1907 ) y Paul Koebe ( 1907a , 1907b , 1907c ) dieron las primeras demostraciones rigurosas del teorema de uniformización general . Paul Koebe más tarde dio varias pruebas y generalizaciones más. La historia se describe en Gray (1994) ; una descripción completa de la uniformización hasta los artículos de 1907 de Koebe y Poincaré se da con pruebas detalladas en de Saint-Gervais (2016) (el seudónimo tipo Bourbaki del grupo de quince matemáticos que produjeron conjuntamente esta publicación).
Clasificación de superficies Riemann conectadas
Cada superficie de Riemann es el cociente de la acción libre, propia y holomórfica de un grupo discreto sobre su cobertura universal y esta cobertura universal es holomórfica isomórfica (también se dice: "conformemente equivalente" o "biholomórfico") a uno de los siguientes:
- la esfera de Riemann
- el plano complejo
- el disco unitario en el plano complejo.
El teorema de Rado muestra que cada superficie de Riemann es automáticamente contable en segundos . Aunque el teorema de Rado se usa a menudo en las demostraciones del teorema de uniformización, se han formulado algunas demostraciones de modo que el teorema de Rado se convierta en una consecuencia. La segunda contabilidad es automática para superficies compactas de Riemann.
Clasificación de 2 colectores Riemannianos orientados cerrados
En un 2-múltiple orientado, una métrica de Riemann induce una estructura compleja usando el paso a coordenadas isotérmicas . Si la métrica de Riemann se da localmente como
luego, en la coordenada compleja z = x + i y , toma la forma
dónde
de modo que λ y μ son suaves con λ > 0 y | μ | <1. En coordenadas isotérmicas ( u , v ), la métrica debe tomar la forma
con ρ > 0 suave. La coordenada compleja w = u + i v satisface
de modo que las coordenadas ( u , v ) serán isotérmicas localmente siempre que la ecuación de Beltrami
tiene una solución localmente difeomórfica, es decir, una solución con jacobiano que no desaparece.
Estas condiciones pueden expresarse de manera equivalente en términos de la derivada exterior y el operador de estrella de Hodge ∗ . u y v habrá coordenadas isotérmicas si * du = dv , donde * se define en las diferencias por * ( p dx + Q dy ) = - q dx + P dy . Sea ∆ = ∗ d ∗ d el operador de Laplace-Beltrami . Según la teoría elíptica estándar, se puede elegir que u sea armónico cerca de un punto dado, es decir, Δ u = 0 , con du que no se desvanezca. Según el lema de Poincaré, dv = ∗ du tiene una solución local v exactamente cuando d (∗ du ) = 0 . Esta condición es equivalente a Δ u = 0 , por lo que siempre se puede resolver localmente. Desde du no es cero y el cuadrado de la estrella del operador de Hodge es -1 en 1-formas, du y dv debe ser linealmente independientes, de manera que u y v dar coordenadas locales isotérmicas.
La existencia de coordenadas isotérmicas puede demostrarse por otros métodos, por ejemplo utilizando la teoría general de la ecuación de Beltrami , como en Ahlfors (2006) , o por métodos elementales directos, como en Chern (1955) y Jost (2006) .
A partir de esta correspondencia con superficies compactas de Riemann, se sigue una clasificación de 2-variedades de Riemann orientables cerradas. Cada uno de ellos es conforme de manera equivalente a una única variedad cerrada de 2 de curvatura constante , por lo que un cociente de uno de los siguientes por una acción libre de un subgrupo discreto de un grupo de isometría :
- la esfera (curvatura +1)
- el plano euclidiano (curvatura 0)
- el plano hiperbólico (curvatura -1).
El primer caso da la 2-esfera, la única variedad 2 con curvatura positiva constante y, por tanto, característica de Euler positiva (igual a 2). El segundo da todos los 2 colectores planos, es decir, los tori , que tienen la característica de Euler 0. El tercer caso cubre todos los 2 colectores de curvatura negativa constante, es decir, los 2 colectores hiperbólicos , todos los cuales tienen la característica de Euler negativa. La clasificación es consistente con el teorema de Gauss-Bonnet , que implica que para una superficie cerrada con curvatura constante, el signo de esa curvatura debe coincidir con el signo de la característica de Euler. La característica de Euler es igual a 2 - 2 g , donde g es el género de la variedad 2, es decir, el número de "agujeros".
Métodos de prueba
Métodos espaciales de Hilbert
En 1913, Hermann Weyl publicó su libro de texto clásico "Die Idee der Riemannschen Fläche" basado en sus conferencias de Göttingen de 1911 a 1912. Fue el primer libro en presentar la teoría de las superficies de Riemann en un entorno moderno y, a través de sus tres ediciones, se ha mantenido influyente. Dedicada a Felix Klein , la primera edición incorporó el tratamiento de Hilbert del problema de Dirichlet utilizando técnicas espaciales de Hilbert ; Contribuciones de Brouwer a la topología; y la prueba de Koebe del teorema de uniformización y sus posteriores mejoras. Mucho más tarde, Weyl (1940) desarrolló su método de proyección ortogonal que dio un enfoque simplificado al problema de Dirichlet, también basado en el espacio de Hilbert; esa teoría, que incluía el lema de Weyl sobre la regularidad elíptica , estaba relacionada con la teoría de las integrales armónicas de Hodge ; y ambas teorías fueron subsumidas en la teoría moderna de operadores elípticos y espacios L 2 Sobolev . En la tercera edición de su libro de 1955, traducida al inglés en Weyl (1964) , Weyl adoptó la definición moderna de variedad diferencial, con preferencia a las triangulaciones , pero decidió no hacer uso de su método de proyección ortogonal. Springer (1957) siguió la explicación de Weyl del teorema de uniformación, pero utilizó el método de proyección ortogonal para tratar el problema de Dirichlet. Este enfoque se describirá a continuación. Kodaira (2007) describe el enfoque en el libro de Weyl y también cómo acortarlo utilizando el método de proyección ortogonal. Se puede encontrar un relato relacionado en Donaldson (2011) .
Flujos no lineales
Al introducir el flujo de Ricci , Richard S. Hamilton demostró que el flujo de Ricci en una superficie cerrada uniformiza la métrica (es decir, el flujo converge a una métrica de curvatura constante). Sin embargo, su demostración se basó en el teorema de uniformización. El paso faltante involucró el flujo de Ricci en la 2-esfera: Chen, Lu y Tian (2006) proporcionaron un método para evitar una apelación al teorema de uniformización (para el género 0 ) ; Andrews y Bryan (2010) ofrecen un breve relato autónomo del flujo de Ricci en la 2-esfera .
Generalizaciones
Koebe demostró el teorema de uniformización general de que si una superficie de Riemann es homeomórfica a un subconjunto abierto de la esfera compleja (o de manera equivalente si cada curva de Jordan la separa), entonces es conforme a un subconjunto abierto de la esfera compleja.
En 3 dimensiones, hay 8 geometrías, llamadas las ocho geometrías de Thurston . No todas las variedades de 3 admiten una geometría, pero la conjetura de geometrización de Thurston probada por Grigori Perelman establece que cada variedad de 3 se puede cortar en piezas que son geometrizables.
El teorema de uniformización simultánea de Lipman Bers muestra que es posible uniformizar simultáneamente dos superficies compactas de Riemann del mismo género> 1 con el mismo grupo cuasi-fucsiano .
El teorema de mapeo de Riemann medible muestra de manera más general que el mapa de un subconjunto abierto de la esfera compleja en el teorema de uniformización puede elegirse como un mapa cuasiconformal con cualquier coeficiente de Beltrami medible acotado dado.
Ver también
Notas
Referencias
Referencias históricas
- Schwarz, HA (1870), "Über einen Grenzübergang durch alternierendes Verfahren" , Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft en Zürich , 15 : 272-286, JFM 02.0214.02.
- Klein, Felix (1883), "Neue Beiträge zur Riemann'schen Functionentheorie" , Mathematische Annalen , 21 (2): 141-218, doi : 10.1007 / BF01442920 , ISSN 0025-5831 , JFM 15.0351.01 , S2CID 120465625
- Koebe, P. (1907a), "Über die Uniformisierung reeller analytischer Kurven" , Göttinger Nachrichten : 177-190, JFM 38.0453.01
- Koebe, P. (1907b), "Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven" , Göttinger Nachrichten : 191–210, JFM 38.0454.01
- Koebe, P. (1907c), "Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven (Zweite Mitteilung)" , Göttinger Nachrichten : 633–669, JFM 38.0455.02
- Koebe, Paul (1910a), "Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 138 : 192–253, doi : 10.1515 / crll.1910.138.192 , S2CID 120198686
- Koebe, Paul (1910b), "Über die Hilbertsche Uniformlsierungsmethode" (PDF) , Göttinger Nachrichten : 61–65
- Poincaré, H. (1882), "Mémoire sur les fonctions fuchsiennes", Acta Mathematica , 1 : 193–294, doi : 10.1007 / BF02592135 , ISSN 0001-5962 , JFM 15.0342.01
- Poincaré, Henri (1883), "Sur un théorème de la théorie générale des fonctions" , Bulletin de la Société Mathématique de France , 11 : 112–125, doi : 10.24033 / bsmf.261 , ISSN 0037-9484 , JFM 15.0348.01
- Poincaré, Henri (1907), "Sur l'uniformisation des fonctions analytiques", Acta Mathematica , 31 : 1–63, doi : 10.1007 / BF02415442 , ISSN 0001-5962 , JFM 38.0452.02
- Hilbert, David (1909), "Zur Theorie der konformen Abbildung" (PDF) , Göttinger Nachrichten : 314–323
- Perron, O. (1923), "Eine neue Behandlung der ersten Randwertaufgabe für Δu = 0", Mathematische Zeitschrift , 18 (1): 42–54, doi : 10.1007 / BF01192395 , ISSN 0025-5874 , S2CID 122843531
- Weyl, Hermann (1913), Die Idee der Riemannschen Fläche (reimpresión de 1997 del original alemán de 1913) , Teubner, ISBN 978-3-8154-2096-6
- Weyl, Hermann (1940), "El método de las proyecciones ortogonales en la teoría del potencial", Duke Math. J. , 7 : 411–444, doi : 10.1215 / s0012-7094-40-00725-6
Encuestas históricas
- Abikoff, William (1981), "El teorema de la uniformización", Amer. Matemáticas. Mensual , 88 (8): 574–592, doi : 10.2307 / 2320507 , JSTOR 2320507
- Gray, Jeremy (1994), "Sobre la historia del teorema del mapeo de Riemann" (PDF) , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Serie II. Suplemento (34): 47–94, MR 1295591
- Bottazzini, Umberto; Gray, Jeremy (2013), Armonía oculta — Fantasías geométricas: El surgimiento de la teoría de funciones complejas , Fuentes y estudios en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas, Springer, ISBN 978-1461457251
- de Saint-Gervais, Henri Paul (2016), Uniformización de superficies de Riemann: revisitando un teorema de cien años , traducido por Robert G. Burns, European Mathematical Society, doi : 10.4171 / 145 , ISBN 978-3-03719-145-3, traducción de texto francés (preparada en 2007 durante el centenario de 1907 artículos de Koebe y Poincaré)
Funciones armónicas
El método de Perron
- Heins, M. (1949), "El mapeo conforme de superficies de Riemann simplemente conectadas", Ann. de Matemáticas. , 50 (3): 686–690, doi : 10.2307 / 1969555 , JSTOR 1969555
- Heins, M. (1951), "Mapeo interior de una superficie orientable en S 2 ", Proc. Amer. Matemáticas. Soc. , 2 (6): 951–952, doi : 10.1090 / s0002-9939-1951-0045221-4
- Heins, M. (1957), "El mapeo conforme de superficies de Riemann simplemente conectadas. II", Nagoya Math. J. , 12 : 139–143, doi : 10.1017 / s002776300002198x
- Pfluger, Albert (1957), Theorie der Riemannschen Flächen , Springer
- Ahlfors, Lars V. (2010), Invariantes conformales: temas de la teoría de funciones geométricas , AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-5270-5
- Beardon, AF (1984), "Una introducción a las superficies de Riemann" , Serie de notas de conferencia de la London Mathematical Society , Cambridge University Press, 78 , ISBN 978-0521271042
- Forster, Otto (1991), Conferencias sobre superficies de Riemann , Textos de posgrado en matemáticas, 81 , traducido por Bruce Gilligan, Springer, ISBN 978-0-387-90617-1
- Farkas, Hershel M .; Kra, Irwin (1980), superficies de Riemann (2a ed.), Springer, ISBN 978-0-387-90465-8
- Gamelin, Theodore W. (2001), Análisis complejo , Textos de pregrado en matemáticas, Springer, ISBN 978-0-387-95069-3
- Hubbard, John H. (2006), Teoría de Teichmüller y aplicaciones a la geometría, topología y dinámica. Vol. 1. Teoría de Teichmüller , Matrix Editions, ISBN 978-0971576629
- Schlag, Wilhelm (2014), Un curso de análisis complejo y superficies de Riemann. , Estudios de posgrado en matemáticas, 154 , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-9847-5
Método alternativo de Schwarz
- Nevanlinna, Rolf (1953), Uniformisierung , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, 64 , Springer
- Behnke, Heinrich; Sommer, Friedrich (1965), Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen , Die Grundlehren der mathischen Wissenschaften, 77 (3.a ed.), Springer
- Freitag, Eberhard (2011), Análisis complejo. 2. Superficies de Riemann, varias variables complejas, funciones abelianas, funciones modulares superiores , Springer, ISBN 978-3-642-20553-8
Principio de Dirichlet
- Weyl, Hermann (1964), El concepto de una superficie de Riemann , traducido por Gerald R. MacLane, Addison-Wesley, MR 0069903
- Courant, Richard (1977), principio de Dirichlet, mapeo conforme y superficies mínimas , Springer, ISBN 978-0-387-90246-3
- Siegel, CL (1988), Temas de la teoría de funciones complejas. Vol. I. Funciones elípticas y teoría de la uniformización , traducida por A. Shenitzer; D. Solitar, Wiley, ISBN 978-0471608448
Método de proyección ortogonal de Weyl
- Springer, George (1957), Introducción a las superficies de Riemann , Addison-Wesley, MR 0092855
- Kodaira, Kunihiko (2007), Análisis complejo , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 107 , Cambridge University Press, ISBN 9780521809375
- Donaldson, Simon (2011), superficies de Riemann , Oxford Graduate Texts in Mathematics, 22 , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-960674-0
Operadores de Sario
- Sario, Leo (1952), "Un método de operador lineal en superficies arbitrarias de Riemann", Trans. Amer. Matemáticas. Soc. , 72 (2): 281–295, doi : 10.1090 / s0002-9947-1952-0046442-2
- Ahlfors, Lars V .; Sario, Leo (1960), superficies de Riemann , Princeton Mathematical Series, 26 , Princeton University Press
Ecuaciones diferenciales no lineales
Ecuación de Beltrami
- Ahlfors, Lars V. (2006), Lectures on cuasiconformal mappings , University Lecture Series, 38 (2nd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3644-6
- Ahlfors, Lars V .; Bers, Lipman (1960), "Teorema de mapeo de Riemann para métricas variables", Ann. de Matemáticas. , 72 (2): 385–404, doi : 10.2307 / 1970141 , JSTOR 1970141
- Bers, Lipman (1960), "Uniformización simultánea", Bull. Amer. Matemáticas. Soc. , 66 (2): 94–97, doi : 10.1090 / s0002-9904-1960-10413-2
- Bers, Lipman (1961), "Uniformización por ecuaciones de Beltrami", Comm. Pure Appl. Matemáticas. , 14 (3): 215–228, doi : 10.1002 / cpa.3160140304
- Bers, Lipman (1972), "Uniformización, módulos y grupos kleinianos", The Bulletin of the London Mathematical Society , 4 (3): 257–300, doi : 10.1112 / blms / 4.3.257 , ISSN 0024-6093 , MR 0348097
Mapas de armónicos
- Jost, Jürgen (2006), Superficies Compact Riemann: una introducción a las matemáticas contemporáneas (3a ed.), Springer, ISBN 978-3-540-33065-3
Ecuación de Liouville
- Berger, Melvyn S. (1971), "Estructuras riemannianas de curvatura gaussiana prescrita para 2 variedades compactas", Journal of Differential Geometry , 5 (3-4): 325-332, doi : 10.4310 / jdg / 1214429996
- Berger, Melvyn S. (1977), Análisis funcional y no lineal , Academic Press, ISBN 978-0-12-090350-4
- Taylor, Michael E. (2011), Ecuaciones diferenciales parciales III. Ecuaciones no lineales , Ciencias Matemáticas Aplicadas, 117 (2a ed.), Springer, ISBN 978-1-4419-7048-0
Flujos en métricas riemannianas
- Hamilton, Richard S. (1988), "El flujo de Ricci sobre superficies", Matemáticas y relatividad general (Santa Cruz, CA, 1986) , Contemp. Math., 71 , American Mathematical Society, págs. 237–262
- Chow, Bennett (1991), "El flujo de Ricci en la 2-esfera", J. Differential Geom. , 33 (2): 325–334, doi : 10.4310 / jdg / 1214446319
- Osgood, B .; Phillips, R .; Sarnak, P. (1988), "Extremos de determinantes de laplacianos", J. Funct. Anal. , 80 : 148–211, CiteSeerX 10.1.1.486.558 , doi : 10.1016 / 0022-1236 (88) 90070-5
- Chrusciel, P. (1991), "Existencia semi-global y convergencia de soluciones de la ecuación de Robinson-Trautman (Calabi bidimensional)", Communications in Mathematical Physics , 137 (2): 289–313, Bibcode : 1991CMaPh.137 ..289C , CiteSeerX 10.1.1.459.9029 , doi : 10.1007 / bf02431882 , S2CID 53641998
- Chang, Shu-Cheng (2000), "Existencia global y convergencia de soluciones de flujo de Calabi en superficies del género h ≥ 2", J. Math. Univ. De Kioto , 40 (2): 363–377, doi : 10.1215 / kjm / 1250517718
- Brendle, Simon (2010), el flujo de Ricci y el teorema de la esfera , Estudios de posgrado en matemáticas, 111 , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4938-5
- Chen, Xiuxiong; Lu, Peng; Tian, Gang (2006), "A note on uniformization of Riemann surface by Ricci flow", Proceedings of the American Mathematical Society , 134 (11): 3391–3393, doi : 10.1090 / S0002-9939-06-08360-2 , ISSN 0002-9939 , Sr. 2231924
- Andrews, Ben; Bryan, Paul (2010), "Límites de curvatura por comparación isoperimétrica para el flujo de Ricci normalizado en las dos esferas", Calc. Var. Ecuaciones diferenciales parciales , 39 (3–4): 419–428, arXiv : 0908.3606 , doi : 10.1007 / s00526-010-0315-5 , S2CID 1095459
- Mazzeo, Rafe; Taylor, Michael (2002), "Curvatura y uniformización", Israel Journal of Mathematics , 130 : 323–346, arXiv : math / 0105016 , doi : 10.1007 / bf02764082 , S2CID 7192529
- Struwe, Michael (2002), "La curvatura fluye sobre las superficies", Ann. Carolina del Sur. Norma. Súper. Pisa Cl. Sci. , 1 : 247–274
Referencias generales
- Chern, Shiing-shen (1955), "Una prueba elemental de la existencia de parámetros isotérmicos en una superficie", Proc. Amer. Matemáticas. Soc. , 6 (5): 771–782, doi : 10.2307 / 2032933 , JSTOR 2032933
- DeTurck, Dennis M .; Kazdan, Jerry L. (1981), "Algunos teoremas de regularidad en la geometría de Riemann" , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 14 (3): 249-260, doi : 10.24033 / asens.1405 , ISSN 0012- 9593 , MR 0644518.
- Gusevskii, NA (2001) [1994], "Uniformización" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Krushkal, SL; Apanasov, BN; Gusevskiĭ, NA (1986) [1981], Grupos kleinianos y uniformización en ejemplos y problemas , Traducciones de monografías matemáticas, 62 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4516-5, MR 0647770
- Taylor, Michael E. (1996a), Ecuaciones diferenciales parciales I: Teoría básica , Springer, págs. 376–378, ISBN 978-0-387-94654-2
- Taylor, Michael E. (1996b), Ecuaciones diferenciales parciales II: Estudios cualitativos de ecuaciones lineales , Springer, ISBN 978-0-387-94651-1
- Bers, Lipman; John, Fritz; Schechter, Martin (1979), Ecuaciones diferenciales parciales (reimpresión del original de 1964) , Lectures in Applied Mathematics, 3A , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0049-2
- Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley, ISBN 978-0-471-05059-9
- Warner, Frank W. (1983), Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de Lie , Textos de posgrado en matemáticas, 94 , Springer, ISBN 978-0-387-90894-6