Distribución uniforme discreta - Discrete uniform distribution

uniforme discreto

Función de probabilidad n = 5 donde n = b  -  a  + 1
Función de distribución acumulativa
Notación	${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} \ {a, b \}}$ o ${\ Displaystyle \ mathrm {unif} \ {a, b \}}$
Parámetros	${\ Displaystyle a, b}$ enteros con ${\ Displaystyle b \ geq a}$ ${\ Displaystyle n = b-a + 1}$
Apoyo	${\ Displaystyle k \ in \ {a, a + 1, \ dots, b-1, b \}}$
PMF	${\ Displaystyle {\ frac {1} {n}}}$
CDF	${\ displaystyle {\ frac {\ lfloor k \ rfloor -a + 1} {n}}}$
Significar	${\ Displaystyle {\ frac {a + b} {2}}}$
Mediana	${\ Displaystyle {\ frac {a + b} {2}}}$
Modo	N / A
Diferencia	${\ Displaystyle {\ frac {n ^ {2} -1} {12}}}$
Oblicuidad	${\ Displaystyle 0}$
Ex. curtosis	${\ Displaystyle - {\ frac {6 (n ^ {2} +1)} {5 (n ^ {2} -1)}}}$
Entropía	${\ Displaystyle \ ln (n)}$
MGF	${\ Displaystyle {\ frac {e ^ {at} -e ^ {(b + 1) t}} {n (1-e ^ {t})}}}$
CF	${\ Displaystyle {\ frac {e ^ {iat} -e ^ {i (b + 1) t}} {n (1-e ^ {it})}}}$
PGF	${\ Displaystyle {\ frac {z ^ {a} -z ^ {b + 1}} {n (1-z)}}}$

En teoría y estadística de probabilidad , la distribución uniforme discreta es una distribución de probabilidad simétrica en la que es igualmente probable que se observe un número finito de valores; cada uno de n valores tiene la misma probabilidad 1 / n . Otra forma de decir "distribución uniforme discreta" sería "un número finito conocido de resultados con la misma probabilidad de ocurrir".

Un ejemplo simple de la distribución uniforme discreta es tirar los dados . Los valores posibles son 1, 2, 3, 4, 5, 6, y cada vez que se lanza el dado, la probabilidad de una puntuación determinada es de 1/6. Si se lanzan dos dados y se suman sus valores, la distribución resultante ya no es uniforme porque no todas las sumas tienen la misma probabilidad. Aunque es conveniente describir distribuciones uniformes discretas sobre enteros, como este, también se pueden considerar distribuciones uniformes discretas sobre cualquier conjunto finito . Por ejemplo, una permutación aleatoria es una permutación generada uniformemente a partir de las permutaciones de una longitud determinada, y un árbol de expansión uniforme es un árbol de expansión generado uniformemente a partir de los árboles de expansión de un gráfico dado.

La distribución uniforme discreta en sí misma es intrínsecamente no paramétrica. Es conveniente, sin embargo, para representar sus valores en general por todos los números enteros en un intervalo [ a , b ], de modo que una y b se convierten en los principales parámetros de la distribución (a menudo uno simplemente considera el intervalo [1, n ] con la sola parámetro n ). Con estas convenciones, la función de distribución acumulada (CDF) de la distribución uniforme discreta se puede expresar, para cualquier k ∈ [ a , b ], como

${\ Displaystyle F (k; a, b) = {\ frac {\ lfloor k \ rfloor -a + 1} {b-a + 1}}}$

Estimación de máximo

Este ejemplo se describe diciendo que una muestra de k observaciones se obtiene de una distribución uniforme en los enteros , con el problema de ser para estimar el máximo desconocido N . Este problema se conoce comúnmente como el problema de los tanques alemanes , después de la aplicación de la estimación máxima a las estimaciones de la producción de tanques alemanes durante la Segunda Guerra Mundial . ${\ Displaystyle 1,2, \ dotsc, N}$

El estimador insesgado de varianza mínima uniforme (UMVU) para el máximo viene dado por

${\ Displaystyle {\ hat {N}} = {\ frac {k + 1} {k}} m-1 = m + {\ frac {m} {k}} - 1}$

donde m es el máximo de la muestra y K es el tamaño de la muestra , el muestreo sin reemplazo. Esto puede verse como un caso muy simple de estimación de espaciado máximo .

Esto tiene una variación de

${\ Displaystyle {\ frac {1} {k}} {\ frac {(Nk) (N + 1)} {(k + 2)}} \ approx {\ frac {N ^ {2}} {k ^ { 2}}} {\ text {para muestras pequeñas}} k \ ll N}$

por tanto, una desviación estándar de aproximadamente , el tamaño medio (de la población) de una brecha entre muestras; comparar arriba. ${\ Displaystyle {\ tfrac {N} {k}}}$${\ Displaystyle {\ tfrac {m} {k}}}$

El máximo de muestra es el estimador de máxima verosimilitud para el máximo de población, pero, como se discutió anteriormente, está sesgado.

Si las muestras no están numeradas pero son reconocibles o marcables, se puede estimar el tamaño de la población mediante el método de captura-recaptura .

Permutación aleatoria

Consulte números de rencontres para obtener una descripción de la distribución de probabilidad del número de puntos fijos de una permutación aleatoria distribuida uniformemente .

Propiedades

La familia de distribuciones uniformes sobre rangos de números enteros (con uno o ambos límites desconocidos) tiene un estadístico suficiente de dimensión finita , es decir, el triple del máximo de la muestra, el mínimo de la muestra y el tamaño de la muestra, pero no es una familia exponencial de distribuciones, porque el soporte varía con los parámetros. Para las familias cuyo apoyo no depende de los parámetros, el teorema de Pitman-Koopman-Darmois establece que solo las familias exponenciales tienen un estadístico suficiente cuya dimensión está acotada a medida que aumenta el tamaño de la muestra. La distribución uniforme es, por tanto, un ejemplo sencillo que muestra el límite de este teorema.

Ver también

• Distribución delta de Dirac
• Distribución uniforme (continua)

Referencias