Twist (matemáticas) - Twist (mathematics)

En matemáticas ( geometría diferencial ), la torsión es la tasa de rotación de una cinta lisa alrededor de la curva espacial , donde es la longitud del arco de y un vector unitario perpendicular a cada punto . Dado que la cinta tiene bordes y la torsión (o el número de torsión total ) mide el devanado promedio de la curva alrededor y a lo largo de la curva . Según Love (1944) el giro se define por ${\ Displaystyle X = X (s)}$${\ Displaystyle s}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle U = U (s)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle (X, U)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X '= X + \ varepsilon U}$${\ Displaystyle Tw}$${\ Displaystyle X '}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle Tw = {\ dfrac {1} {2 \ pi}} \ int \ left ({\ dfrac {dU} {ds}} \ times U \ right) \ cdot {\ dfrac {dX} {ds}} ds \ ;,}$

donde es el vector unitario tangente a . El número total de torsión se puede descomponer (Moffatt y Ricca 1992) en torsión total normalizada y torsión intrínseca como ${\ displaystyle dX / ds}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Tw}$ ${\ Displaystyle T \ en [0,1)}$ ${\ Displaystyle N \ in \ mathbb {Z}}$

${\ Displaystyle Tw = {\ dfrac {1} {2 \ pi}} \ int \ tau \; ds + {\ dfrac {\ left [\ Theta \ right] _ {X}} {2 \ pi}} = T + NORTE\;,}$

donde es la torsión de la curva espacial y denota el ángulo de rotación total de a lo largo . Ni ni son independientes del campo de la cinta . En cambio, solo la torsión normalizada es una invariante de la curva (Banchoff y White 1975). ${\ Displaystyle \ tau = \ tau (s)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ left [\ Theta \ right] _ {X}}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle Tw}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle X}$

Cuando la cinta se deforma para pasar por un estado de inflexión (es decir, tiene un punto de inflexión ), la torsión se vuelve singular. La torsión total salta y el ángulo total simultáneamente hace un salto igual y opuesto de (Moffatt & Ricca 1992) y permanece continuo. Este comportamiento tiene muchas consecuencias importantes para las consideraciones energéticas en muchos campos de la ciencia. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle \ pm 1}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle \ mp 1}$${\ Displaystyle Tw}$

Junto con el writhe de , torsión es una cantidad geométrica que juega un papel importante en la aplicación de la fórmula Călugăreanu-White-Fuller en la dinámica de fluidos topológicos (por su estrecha relación con cinética y helicidad magnética de un campo de vector), la teoría de nudos física y análisis de complejidad estructural . ${\ displaystyle Wr}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Lk = Wr + Tw}$

Ver también

• Twist (teoría del tornillo)
• Twist (trigonometría racional)
• Gavilla retorcida

Referencias

• Banchoff, TF y White, JH (1975) El comportamiento del número total de torsión y autovinculación de una curva de espacio cerrado bajo inversiones. Matemáticas. Scand. 36 , 254-262.
• Love, AEH (1944) Tratado sobre la teoría matemática de la elasticidad . Dover, 4ª Ed., Nueva York.
• Moffatt, HK & Ricca, RL (1992) Helicity and the Călugăreanu invariant . Proc. R. Soc. A 439 , 411–429.