Desigualdad Turán-Kubilius - Turán–Kubilius inequality

La desigualdad de Turán-Kubilius es un teorema matemático de la teoría probabilística de números . Es útil para probar resultados sobre el orden normal de una función aritmética . El teorema fue probado en un caso especial en 1934 por Pál Turán y generalizado en 1956 y 1964 por Jonas Kubilius .

Declaración del teorema

Esta formulación es de Tenenbaum . Otras formulaciones se encuentran en Narkiewicz y en Cojocaru & Murty.

Suponga que f es una función aritmética aditiva con valores complejos y escriba p para un primo arbitrario y ν para un entero positivo arbitrario. Escribir

${\ Displaystyle A (x) = \ sum _ {p ^ {\ nu} \ leq x} f (p ^ {\ nu}) p ^ {- \ nu} (1-p ^ {- 1})}$

y

${\ Displaystyle B (x) ^ {2} = \ sum _ {p ^ {\ nu} \ leq x} \ left | f (p ^ {\ nu}) \ right | ^ {2} p ^ {- \ nu}.}$

Entonces hay una función ε ( x ) que va a cero cuando x va a infinito, y tal que para x ≥ 2 tenemos

${\ Displaystyle {\ frac {1} {x}} \ sum _ {n \ leq x} | f (n) -A (x) | ^ {2} \ leq (2+ \ varepsilon (x)) B ( x) ^ {2}.}$

Aplicaciones del teorema

Turán desarrolló la desigualdad para crear una prueba más simple del teorema de Hardy-Ramanujan sobre el orden normal del número ω ( n ) de divisores primos distintos de un número entero n . Hay una exposición de la prueba de Turán en Hardy & Wright, §22.11. Tenenbaum da una prueba del teorema de Hardy-Ramanujan usando la desigualdad de Turán-Kubilius y establece sin prueba varias otras aplicaciones.

Notas