Método de matriz de línea de transmisión - Transmission-line matrix method

El método de matriz de línea de transmisión (TLM) es un método de discretización de espacio y tiempo para el cálculo de campos electromagnéticos . Se basa en la analogía entre el campo electromagnético y una malla de líneas de transmisión . El método TLM permite el cálculo de estructuras electromagnéticas tridimensionales complejas y ha demostrado ser uno de los métodos en el dominio del tiempo más poderosos junto con el método en el dominio del tiempo en diferencias finitas ( FDTD ).

Principio básico

Ejemplo de TLM 2D: un impulso de voltaje incidente en dos eventos de dispersión consecutivos.

El método TLM se basa en el modelo de Huygens de propagación y dispersión de ondas y la analogía entre propagación de campo y líneas de transmisión. Por lo tanto, considera el dominio computacional como una malla de líneas de transmisión, interconectadas en nodos. En la figura de la derecha se considera un ejemplo simple de una malla TLM 2D con un pulso de voltaje de amplitud de 1 V incidente en el nodo central. Este pulso se reflejará y transmitirá parcialmente de acuerdo con la teoría de la línea de transmisión. Si asumimos que cada línea tiene una impedancia característica , entonces el pulso incidente ve efectivamente tres líneas de transmisión en paralelo con una impedancia total de . El coeficiente de reflexión y el coeficiente de transmisión están dados por ${\ Displaystyle Z}$${\ Displaystyle Z / 3}$

${\ Displaystyle R = {\ frac {Z / 3-Z} {Z / 3 + Z}} = - 0.5}$

${\ Displaystyle T = {\ frac {2 (Z / 3)} {Z / 3 + Z}} = 0.5}$

La energía inyectada en el nodo por el pulso incidente y la energía total de los pulsos dispersos son correspondientemente

${\ Displaystyle E_ {I} = vi \, \ Delta t = 1 \ left (1 / Z \ right) \ Delta t = \ Delta t / Z}$

${\ Displaystyle E_ {S} = \ left [0.5 ^ {2} + 0.5 ^ {2} + 0.5 ^ {2} + (- 0.5) ^ {2} \ right] (\ Delta t / Z) = \ Delta t / Z}$

Por lo tanto, el modelo cumple la ley de conservación de energía .

El siguiente evento de dispersión excita a los nodos vecinos de acuerdo con el principio descrito anteriormente. Se puede ver que cada nodo se convierte en una fuente secundaria de onda esférica. Estas ondas se combinan para formar la forma de onda general. Esto está de acuerdo con el principio de propagación de la luz de Huygens.

Para mostrar el esquema TLM usaremos la discretización de tiempo y espacio. El paso de tiempo se indicará con y los intervalos de discretización de espacio con , y . El tiempo absoluto y el espacio será, por tanto , , , , donde es el instante de tiempo y son las coordenadas de células. En caso de que se utilice el valor , que es la constante de celosía . En este caso, se cumple lo siguiente: ${\ Displaystyle \ Delta t}$${\ Displaystyle \ Delta x}$${\ Displaystyle \ Delta y}$${\ Displaystyle \ Delta z}$${\ Displaystyle t = k \, \ Delta t}$${\ Displaystyle x = l \, \ Delta x}$${\ Displaystyle y = m \, \ Delta y}$${\ Displaystyle z = n \, \ Delta z}$${\ Displaystyle k = 0,1,2, \ ldots}$${\ Displaystyle m, n, l}$${\ Displaystyle \ Delta x = \ Delta y = \ Delta z}$${\ Displaystyle \ Delta l}$

${\ Displaystyle \ Delta t = {\ frac {\ Delta l} {c_ {0}}},}$

donde está la velocidad de la luz en el espacio libre. ${\ Displaystyle c_ {0}}$

El nodo TLM 2D

La matriz de dispersión de un nodo TLM 2D

Un nodo TLM de la serie 2D

Si consideramos una distribución de campo electromagnético en la que los únicos componentes distintos de cero son , y (es decir, una distribución en modo TE), entonces las ecuaciones de Maxwell en coordenadas cartesianas se reducen a ${\ Displaystyle E_ {x}}$${\ Displaystyle E_ {y}}$${\ Displaystyle H_ {z}}$

${\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial {H_ {z}}} {\ parcial {y}}} = \ varepsilon {\ frac {\ parcial {E_ {x}}} {\ parcial {t}}}}$

${\ estilo de visualización - {\ frac {\ parcial {H_ {z}}} {\ parcial {x}}} = \ varepsilon {\ frac {\ parcial {E_ {y}}} {\ parcial {t}}}}$

${\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial {E_ {y}}} {\ parcial {x}}} - {\ frac {\ parcial {E_ {x}}} {\ parcial {y}}} = - \ mu {\ frac {\ parcial {H_ {z}}} {\ parcial {t}}}}$

Podemos combinar estas ecuaciones para obtener

${\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial ^ {2} H_ {z}} {\ parcial {x} ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} {H_ {z}}} {\ parcial {y} ^ {2}}} = \ mu \ varepsilon {\ frac {\ parcial ^ {2} {H_ {z}}} {\ parcial {t} ^ {2}}}}$

La figura de la derecha presenta una estructura denominada nodo en serie . Describe un bloque de dimensiones espaciales , y que consta de cuatro puertos. y son la inductancia y capacitancia distribuidas de las líneas de transmisión. Es posible mostrar que un nodo en serie es equivalente a una onda TE, más precisamente la corriente de malla I , los voltajes en la dirección x (puertos 1 y 3) y los voltajes en la dirección y (puertos 2 y 4) pueden estar relacionados a los componentes de campo , y . Si se consideran los voltajes en los puertos , y la polaridad de la figura anterior se mantiene, entonces lo siguiente es válido ${\ Displaystyle \ Delta x}$${\ Displaystyle \ Delta y}$${\ Displaystyle \ Delta z}$${\ Displaystyle L '}$${\ Displaystyle C '}$${\ Displaystyle H_ {z}}$${\ Displaystyle E_ {x}}$${\ Displaystyle E_ {y}}$${\ Displaystyle L_ {x} = L_ {y}}$

${\ Displaystyle -V_ {1} + V_ {2} + V_ {3} -V_ {4} = 2L '\, \ Delta l {\ frac {\ partial {I}} {\ partial {t}}}}$

donde . ${\ Displaystyle \ Delta x = \ Delta y = \ Delta l}$

${\ Displaystyle \ left (V_ {3} -V_ {1} \ right) - \ left (V_ {4} -V_ {2} \ right) = 2L '\, \ Delta l {\ frac {\ parcial I} {\ parcial t}}}$

${\ Displaystyle \ left [E_ {x} (y + \ Delta y) -E_ {x} (y) \ right] \, \ Delta x- [E_ {y} (x + \ Delta x) -E_ {y} ( x)] \ Delta y = 2L '\, \ Delta l {\ frac {\ parcial {I}} {\ parcial {t}}}}$

y dividiendo ambos lados por ${\ Displaystyle \ Delta x \ Delta y}$

${\ Displaystyle {\ frac {E_ {x} (y + \ Delta y) -E_ {x} (y)} {\ Delta y}} - {\ frac {E_ {y} (x + \ Delta x) -E_ { y} (x)} {\ Delta x}} = 2L '\, \ Delta l {\ frac {\ parcial {I}} {\ parcial {t}}} {\ frac {1} {\ Delta x \, \ Delta y}}}$

Dado que y sustituyendo da ${\ Displaystyle \ Delta x = \ Delta y = \ Delta z = \ Delta l}$${\ Displaystyle I = H_ {z} \, \ Delta z}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ Delta E_ {x}} {\ Delta y}} - {\ frac {\ Delta E_ {y}} {\ Delta x}} = 2L '{\ frac {\ parcial H_ {z }} {\ t parcial}}}$

Esto se reduce a las ecuaciones de Maxwell cuando . ${\ Displaystyle \ Delta l \ rightarrow 0}$

De manera similar, utilizando las condiciones en los condensadores en los puertos 1 y 4, se puede demostrar que las otras dos ecuaciones de Maxwell correspondientes son las siguientes:

${\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial {H_ {z}}} {\ parcial {y}}} = C '{\ frac {\ parcial {E_ {x}}} {\ parcial {t}}}}$

${\ estilo de visualización - {\ frac {\ parcial {H_ {z}}} {\ parcial {x}}} = C '{\ frac {\ parcial {E_ {y}}} {\ parcial {t}}}}$

Teniendo estos resultados, es posible calcular la matriz de dispersión de un nodo de derivación. El pulso de voltaje incidente en el puerto 1 en el intervalo de tiempo k se indica como . Reemplazando los cuatro segmentos de línea de la figura anterior con su equivalente de Thevenin , es posible mostrar que la siguiente ecuación para el pulso de voltaje reflejado se cumple: ${\ Displaystyle _ {k} V_ {1} ^ {i}}$

${\ Displaystyle _ {k} V_ {1} ^ {r} = 0.5 \ left (_ {k} V_ {1} ^ {i} + _ {k} V_ {2} ^ {i} + _ {k} V_ {3} ^ {i} -_ {k} V_ {4} ^ {i} \ right)}$

Si todas las ondas incidentes, así como todas las ondas reflejadas, se recopilan en un vector, entonces esta ecuación se puede escribir para todos los puertos en forma de matriz:

${\ Displaystyle _ {k} \ mathbf {V} ^ {r} = \ mathbf {S} _ {k} \ mathbf {V} ^ {i}}$

donde y son los vectores de amplitud de pulso incidente y reflejado. ${\ Displaystyle _ {k} \ mathbf {V} ^ {i}}$${\ Displaystyle _ {k} \ mathbf {V} ^ {r}}$

Para un nodo en serie, la matriz de dispersión S tiene la siguiente forma

${\ displaystyle \ mathbf {S} = {\ frac {1} {2}} \ left [{\ begin {array} {cccc} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 1 & 1 \ end {array}} \ right]}$

Conexión entre nodos TLM

Un nodo TLM de la serie 2D

Para describir la conexión entre nodos adyacentes mediante una malla de nodos en serie, observe la figura de la derecha. Como el pulso incidente en el paso de tiempo k + 1 en un nodo es el pulso disperso de un nodo adyacente en el paso de tiempo k , se derivan las siguientes ecuaciones de conexión:

${\ Displaystyle _ {k + 1} V_ {1} ^ {i} (x, y) = _ {k + 1} V_ {3} ^ {r} (x, y-1)}$

${\ Displaystyle _ {k + 1} V_ {2} ^ {i} (x, y) = _ {k + 1} V_ {4} ^ {r} (x-1, y)}$

${\ Displaystyle _ {k + 1} V_ {3} ^ {i} (x, y) = _ {k + 1} V_ {1} ^ {r} (x, y + 1)}$

${\ Displaystyle _ {k + 1} V_ {4} ^ {i} (x, y) = _ {k + 1} V_ {2} ^ {r} (x + 1, y)}$

Modificando la matriz de dispersión se pueden modelar materiales no homogéneos y con pérdidas. Al ajustar las ecuaciones de conexión, es posible simular diferentes límites. ${\ Displaystyle {\ textbf {S}}}$

El nodo de derivación TLM

Además del nodo en serie, descrito anteriormente, también está el nodo TLM de derivación , que representa una distribución de campo en modo TM. Los componentes sólo distintos de cero de dicha onda son , , y . Con consideraciones similares a las del nodo en serie, se puede derivar la matriz de dispersión del nodo en derivación. ${\ Displaystyle H_ {x}}$${\ Displaystyle H_ {y}}$${\ Displaystyle E_ {z}}$

Modelos 3D TLM

Un nodo condensado simétrico 3D

La mayoría de los problemas electromagnéticos requieren una rejilla tridimensional. Como ahora tenemos estructuras que describen distribuciones de campo TE y TM, intuitivamente parece posible definir una combinación de nodos en serie y en derivación que brinden una descripción completa del campo electromagnético. Se han realizado tales intentos, pero debido a la complejidad de las estructuras resultantes, demostraron no ser muy útiles. El uso de la analogía que se presentó anteriormente conduce al cálculo de los diferentes componentes del campo en puntos físicamente separados. Esto causa dificultades para proporcionar definiciones de límites simples y eficientes. Johns proporcionó una solución a estos problemas en 1987, cuando propuso la estructura conocida como nodo condensado simétrico (SCN), que se presenta en la figura de la derecha. Consta de 12 puertos porque se deben asignar dos polarizaciones de campo a cada uno de los 6 lados de una celda de malla.

La topología del SCN no se puede analizar utilizando circuitos equivalentes de Thevenin. Se utilizarán principios más generales de conservación de la energía y la carga.

Los campos eléctricos y magnéticos en los lados del número de nodo SCN (l, m, n) en el instante de tiempo k pueden resumirse en vectores de 12 dimensiones.

${\ Displaystyle _ {k} \ mathbf {E} _ {l, m, n} = _ {k} \ left [E_ {1}, E_ {2}, \ ldots, E_ {11}, E_ {12} \ right] _ {l, m, n} ^ {T}}$

${\ Displaystyle _ {k} \ mathbf {H} _ {l, m, n} = _ {k} \ left [H_ {1}, H_ {2}, \ ldots, H_ {11}, H_ {12} \ right] _ {l, m, n} ^ {T}}$

Se pueden vincular con los vectores de amplitud incidente y dispersa mediante

${\ Displaystyle _ {k} \ mathbf {a} _ {l, m, n} = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {Z_ {F}}}}} {_ {k} \ mathbf {E }} _ {l, m, n} + {\ frac {\ sqrt {Z_ {F}}} {2}} {_ {k} \ mathbf {H}} _ {l, m, n}}$

${\ Displaystyle _ {k} \ mathbf {b} _ {l, m, n} = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {Z_ {F}}}}} {_ {k} \ mathbf {E }} _ {l, m, n} - {\ frac {\ sqrt {Z_ {F}}} {2}} {_ {k} \ mathbf {H}} _ {l, m, n}}$

donde es la impedancia de campo, es el vector de las amplitudes de las ondas incidentes al nodo y es el vector de las amplitudes dispersas. La relación entre las ondas incidente y dispersa viene dada por la ecuación matricial ${\ Displaystyle Z_ {F} = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {\ varepsilon}}}}$${\ Displaystyle _ {k} \ mathbf {a} _ {l, m, n}}$${\ Displaystyle _ {k} \ mathbf {b} _ {l, m, n}}$

${\ Displaystyle _ {k} \ mathbf {b} _ {l, m, n} = \ mathbf {S} _ {k} \ mathbf {a} _ {l, m, n}}$

Se puede calcular la matriz de dispersión S. Para el nodo condensado simétrico con puertos definidos como en la figura se obtiene el siguiente resultado

${\ Displaystyle \ mathbf {S} = \ left [{\ begin {array} {ccc} 0 & \ mathbf {S} _ {0} & \ mathbf {S} _ {0} ^ {T} \\\ mathbf { S} _ {0} ^ {T} & 0 & \ mathbf {S} _ {0} \\\ mathbf {S} _ {0} & \ mathbf {S} _ {0} ^ {T} & 0 \ end {matriz }}\derecho]}$

donde se utilizó la siguiente matriz

${\ displaystyle \ mathbf {S} _ {0} = {\ frac {1} {2}} \ left [{\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \ end {array}} \ right]}$

La conexión entre diferentes SCN se realiza de la misma manera que para los nodos 2D.

Implementación de código de fuente abierta de 3D-TLM

El Instituto George Green de Investigación Electromagnética (GGIEMR) ha creado una implementación eficiente de 3D-TLM, capaz de computación en paralelo por medio de MPI llamado GGITLM y disponible en línea.

Referencias

• C. Christopoulos, El método de modelado de la línea de transmisión: TLM , Piscataway, NY, IEEE Press, 1995. ISBN  978-0-19-856533-8
• Russer, P., Electromagnetics, Microwave Circuit and Antenna Design for Communications Engineering, Segunda edición, Artec House, Boston, 2006, ISBN  978-1-58053-907-4
• PB Johns y M.O'Brien. "Uso del método de modelado de líneas de transmisión (tlm) para resolver redes agrupadas no lineales", The Radio Electron and Engineer. 1980.
• JL Herring, Desarrollos en el método de modelado de líneas de transmisión para estudios de compatibilidad electromagnética, tesis doctoral , Universidad de Nottingham, 1993.
• Mansour Ahmadian, modelo de matriz de línea de transmisión (TLM) de tesis de doctorado en ultrasonido médico , Universidad de Edimburgo 2001