Propiedad topológica - Topological property

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , una propiedad topológica o invariante topológico es una propiedad de un espacio topológico que es invariante bajo homeomorfismos . Es decir, una propiedad de los espacios es una propiedad topológica si siempre que un espacio X posee esa propiedad, cada espacio homeomorfo a X posee esa propiedad. De manera informal, una propiedad topológica es una propiedad del espacio que se puede expresar mediante conjuntos abiertos .

Un problema común en topología es decidir si dos espacios topológicos son homeomorfos o no. Para demostrar que dos espacios no son homeomorfos, basta con encontrar una propiedad topológica que no sea compartida por ellos.

Propiedades topológicas comunes

Funciones cardinales

La cardinalidad | X | del espacio X .
La cardinalidad τ ( X ) de la topología del espacio X . ${\ Displaystyle \ vert}$ ${\ Displaystyle \ vert}$
Peso w ( X ), el menos cardinalidad de una base de la topología del espacio X .
Densidad d ( X ), el menos cardinalidad de un subconjunto de X cuyo cierre es X .

Separación

Tenga en cuenta que algunos de estos términos se definen de manera diferente en la literatura matemática anterior; ver la historia de los axiomas de separación .

T ₀ o Kolmogorov . Un espacio es Kolmogorov si para cada par de puntos distintos x y Y en el espacio, hay al menos o bien un conjunto abierto que contiene x pero no y , o un conjunto abierto que contiene y pero no x .
T ₁ o Fréchet . Un espacio es Fréchet si para cada par de puntos distintos x y y en el espacio, hay un conjunto abierto que contiene x pero no y . (Compare con T ₀ ; aquí, se nos permite especificar qué punto estará contenido en el conjunto abierto.) De manera equivalente, un espacio es T ₁ si todos sus singletons están cerrados. Los espacios T ₁ son siempre T ₀ .
Sobrio . Un espacio es sobrio si todo conjunto cerrado irreducible C tiene un punto genérico único p . En otras palabras, si C no es la unión (posiblemente no disjunta) de dos subconjuntos cerrados más pequeños, entonces existe un p tal que el cierre de { p } es igual a C , y p es el único punto con esta propiedad.
T ₂ o Hausdorff . Un espacio es Hausdorff si cada dos puntos distintos tienen vecindarios separados. Los espacios T ₂ son siempre T ₁ .
T _2½ o Urysohn . Un espacio es Urysohn si cada dos puntos distintos tienen barrios cerrados inconexos . Los espacios T _2½ son siempre T ₂ .
Completamente T ₂ o completamente Hausdorff . Un espacio es completamente T ₂ si cada dos puntos distintos están separados por una función . Cada espacio completamente de Hausdorff es Urysohn.
Regular . Un espacio es normal si cada vez que C es un conjunto cerrado y p es un punto no en C , entonces C y p tienen los barrios disjuntos.
T ₃ o Hausdorff regular . Un espacio es Hausdorff regular si es un espacio T ₀ regular . (Un espacio regular es Hausdorff si y solo si es T ₀ , por lo que la terminología es coherente ).
Completamente regular . Un espacio es completamente regular si siempre que C es un conjunto cerrado yp es un punto que no está en C , entonces C y { p } están separados por una función .
T _3½ , Tychonoff , Hausdorff completamente regular o T ₃ completamente . Un espacio de Tychonoff es un espacio T ₀ completamente regular . (Un espacio completamente regular es Hausdorff si y solo si es T ₀ , por lo que la terminología es consistente). Los espacios de Tychonoff son siempre Hausdorff regulares.
Normal . Un espacio es normal si dos conjuntos cerrados disjuntos tienen vecindarios disjuntos. Los espacios normales admiten particiones de unidad .
T ₄ o Hausdorff normal . Un espacio normal es Hausdorff si y solo si es T ₁ . Los espacios normales de Hausdorff son siempre Tychonoff.
Completamente normal . Un espacio es completamente normal si dos conjuntos separados tienen vecindarios separados .
T ₅ o Hausdorff completamente normal . Un espacio completamente normal es Hausdorff si y solo si es T ₁ . Los espacios de Hausdorff completamente normales son siempre Hausdorff normales.
Perfectamente normal . Un espacio es perfectamente normal si dos conjuntos cerrados disjuntos están separados con precisión por una función . Un espacio perfectamente normal también debe ser completamente normal.
T ₆ o Hausdorff perfectamente normal , o perfectamente T ₄ . Un espacio es Hausdorff perfectamente normal , si es a la vez perfectamente normal y T ₁ . Un espacio de Hausdorff perfectamente normal también debe ser un Hausdorff completamente normal.
Espacio discreto . Un espacio es discreto si todos sus puntos están completamente aislados, es decir, si algún subconjunto está abierto.
Número de puntos aislados . El número de puntos aislados de un espacio topológico.

Condiciones de contabilización

Separable . Un espacio es separable si tiene un subconjunto denso contable .
Primero contable . Un espacio es contable primero si cada punto tiene una base local contable .
Segundo contable . Un espacio es contable en segundo lugar si tiene una base contable para su topología. Los espacios del segundo contable son siempre separables, los primeros contables y Lindelöf.

Conectividad

Conectado . Un espacio está conectado si no es la unión de un par de conjuntos abiertos no vacíos disjuntos. De manera equivalente, un espacio está conectado si los únicos conjuntos abiertos son el conjunto vacío y él mismo.
Conectado localmente . Un espacio está conectado localmente si cada punto tiene una base local que consta de conjuntos conectados.
Totalmente desconectado . Un espacio está totalmente desconectado si no tiene ningún subconjunto conectado con más de un punto.
Conectado con el camino . Un espacio X es trayectoria-conectado si por cada dos puntos x , y en X , hay un camino p de x a y , es decir, una aplicación continua p : [0,1] → X con p (0) = x y p (1) = y . Los espacios conectados a caminos siempre están conectados.
Conectado localmente a la ruta . Un espacio está conectado a una ruta localmente si cada punto tiene una base local que consta de conjuntos conectados a una ruta. Un espacio conectado a una ruta local está conectado si y solo si está conectado a una ruta.
Conectado al arco . Un espacio X es de arco conectado si por cada dos puntos x , y en X , existe un arco f de x a y , es decir, un inyectiva aplicación continua f : [0,1] → X con p (0) = x y p (1) = y . Los espacios conectados por arco están conectados por caminos.
Simplemente conectado . Un espacio X simplemente está conectado si está conectado por una ruta y cada mapa continuo f : S ¹ → X es homotópico a un mapa constante.
Localmente simplemente conectado . Un espacio X está simplemente conectado localmente si cada punto x en X tiene una base local de vecindarios U que está simplemente conectado.
Semi-localmente simplemente conectado . Un espacio X es semi-localmente simplemente conexo si cada punto tiene una base local de los barrios U de tal manera que cada bucle en U es contráctil en X . La conectividad simple semilocal, una condición estrictamente más débil que la conectividad simple local, es una condición necesaria para la existencia de una cobertura universal .
Contractible . Un espacio X es contráctil si el mapa de identidad en X es homotópico a un mapa constante. Los espacios contráctiles siempre están simplemente conectados.
Hiperconectado . Un espacio está hiperconectado si no hay dos conjuntos abiertos no vacíos separados. Cada espacio hiperconectado está conectado.
Ultraconectado . Un espacio está ultraconectado si no hay dos conjuntos cerrados no vacíos separados. Cada espacio ultraconectado está conectado por caminos.
Indiscreto o trivial . Un espacio es indiscreto si los únicos conjuntos abiertos son el conjunto vacío y él mismo. Se dice que tal espacio tiene la topología trivial .

Compacidad

Compacto . Un espacio es compacto si cada cubierta abierta tiene una subcubierta finita . Algunos autores llaman a estos espacios cuasicompact y reservan compactos para espacios de Hausdorff donde cada cubierta abierta tiene una subcubierta finita. Los espacios compactos son siempre Lindelöf y paracompactos. Por lo tanto, los espacios compactos de Hausdorff son normales.
Secuencialmente compacto . Un espacio es secuencialmente compacto si cada secuencia tiene una subsecuencia convergente.
Contablemente compacto . Un espacio es sumamente compacto si cada cubierta abierta contable tiene una subcubierta finita.
Pseudocompacto . Un espacio es pseudocompacto si cada función continua de valor real en el espacio está acotada.
σ-compacto . Un espacio es σ-compacto si es la unión de innumerables subconjuntos compactos.
Lindelöf . Un espacio es Lindelöf si cada tapa abierta tiene una subtapa contable .
Paracompacto . Un espacio es paracompacto si cada cubierta abierta tiene un refinamiento finito localmente abierto. Los espacios paracompactos de Hausdorff son normales.
Localmente compacto . Un espacio es localmente compacto si cada punto tiene una base local que consiste en barrios compactos. También se utilizan definiciones ligeramente diferentes. Los espacios de Hausdorff localmente compactos son siempre Tychonoff.
Compacto ultraconectado . En un espacio compacto ultraconectado X, cada cubierta abierta debe contener la propia X. Los espacios compactos ultraconectados no vacíos tienen un subconjunto abierto adecuado más grande llamado monolito .

Metrizabilidad

Metrizable . Un espacio es metrizable si es homeomorfo a un espacio métrico . Los espacios metrizables son siempre de Hausdorff y paracompactos (y, por lo tanto, normales y Tychonoff), y los primeros contables. Además, se dice que un espacio topológico (X, T) es metrizable si existe una métrica para X tal que la topología métrica T (d) es idéntica a la topología T.
Polaco . Un espacio se llama polaco si es metrizable con una métrica separable y completa.
Localmente metrizable . Un espacio es localmente metrizable si cada punto tiene un vecindario metrizable.

Diverso

Espacio Baire . Un espacio X es un espacio de Baire si no es exiguo en sí mismo. De manera equivalente, X es un espacio de Baire si la intersección de innumerables conjuntos abiertos densos es densa.
Espacio de puerta . Un espacio topológico es un espacio de puerta si cada subconjunto está abierto o cerrado (o ambos).
Homogeneidad topológica . Un espacio X es (topológicamente) homogénea si para cada x y y en X no es un homeomorfismo tal que Intuitivamente hablando, esto significa que el espacio tiene el mismo aspecto en cada punto. Todos los grupos topológicos son homogéneos. ${\ Displaystyle f: X \ a X}$ ${\ Displaystyle f (x) = y.}$
Finamente generado o Alexandrov . Un espacio X es Alexandrov si las intersecciones arbitrarias de conjuntos abiertos en X están abiertas, o de manera equivalente si las uniones arbitrarias de conjuntos cerrados son cerradas. Estos son precisamente los miembros generados finitamente de la categoría de espacios topológicos y mapas continuos.
Cero-dimensional . Un espacio es de dimensión cero si tiene una base de conjuntos abiertos. Estos son precisamente los espacios con una pequeña dimensión inductiva de 0 .
Casi discreto . Un espacio es casi discreto si todos los conjuntos abiertos están cerrados (por lo tanto, abiertos). Los espacios casi discretos son precisamente los espacios de dimensión cero generados de forma finita.
Booleano . Un espacio es booleano si es de dimensión cero, compacto y Hausdorff (de manera equivalente, totalmente desconectado, compacto y Hausdorff). Estos son precisamente los espacios que son homeomorfos a los espacios de piedra de las álgebras de Boole .
Torsión reidemeister
${\ Displaystyle \ kappa}$ -resoluble . Se dice que un espacio es κ-resolvable (respectivamente: casi κ-resolvable) si contiene κ conjuntos densos que son disjuntos por pares (respectivamente: casi disjuntos sobre el ideal de subconjuntos densos en ninguna parte). Si el espacio no se puede resolver, se denomina irresoluble. ${\ Displaystyle \ kappa}$ ${\ Displaystyle \ kappa}$
Máximamente resoluble . El espacio se puede resolver al máximo si es resoluble, donde Número se llama carácter de dispersión de ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ Delta (X)}$ ${\ Displaystyle \ Delta (X) = \ min \ {| G |: G \ neq \ varnothing, G {\ mbox {está abierto}} \}.}$ ${\ Displaystyle \ Delta (X)}$ ${\ Displaystyle X.}$
Muy discreto . El conjunto es un subconjunto fuertemente discreto del espacio si los puntos en pueden estar separados por vecindades disjuntas por pares. Se dice que el espacio es fuertemente discreto si cada punto no aislado de es el punto de acumulación de algún conjunto fuertemente discreto. ${\ Displaystyle D}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle D}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$

Propiedades no topológicas

Hay muchos ejemplos de propiedades de espacios métricos , etc., que no son propiedades topológicas. Para mostrar una propiedad no es topológico, basta con encontrar dos espacios topológicos homeomorfos tales que tiene , pero no tiene . ${\ Displaystyle P}$ ${\ Displaystyle X \ cong Y}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle P}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle P}$

Por ejemplo, las propiedades del espacio métrico de delimitación y completitud no son propiedades topológicas. Sean y sean espacios métricos con la métrica estándar. Luego, a través del homeomorfismo . Sin embargo, está completo pero no delimitado, mientras que está limitado pero no completo. ${\ Displaystyle X = \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle Y = (- {\ tfrac {\ pi} {2}}, {\ tfrac {\ pi} {2}})}$ ${\ Displaystyle X \ cong Y}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {arctan} \ colon X \ to Y}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Y}$

Ver también

Citas

Referencias

Willard, Stephen (1970). Topología general . Reading, Mass .: Addison-Wesley Pub. Co. p. 369. ISBN 9780486434797.
Munkres, James R. (2000). Topología . Prentice-Hall . ISBN 0-13-181629-2.

[2] Simon Moulieras, Maciej Lewenstein y Graciana Puentes, Ingeniería de entrelazamiento y protección topológica mediante caminatas cuánticas en tiempo discreto, Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics 46 (10), 104005 (2013). https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0953-4075/46/10/104005/pdf

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